Bt chương 3

Tích phân xác định 1 Giới hạn của tổng tích phân √ 2 Ước lượng tích phân... Ứng dụng hình học.

Bài tập chương 3

1 Đổi biến tích phân bất định

1) ∫

Giải

 t = sinx, dt = cosxdx

I = − ∫ =

2) ∫

√

3) ∫

5) ∫

√

2 Tích phân từng phần tích phân bất định

1) ∫

5) ∫ cos ln 6) ∫ sin

3 Tích phân hàm hữu tỷ

1) ∫( ) (

) 2) ∫( )( )

3) ∫ ( ) 4) ∫

( )( )

4 Tích phân hàm lượng giác

1) ∫

3) ∫ sin sin 2 sin 3 4) ∫

5) ∫( )(

) 5) ∫

5 Tích phân hàm vô tỷ

√ √

3) ∫

Giải

 u = ln(x)

I = − ∫ ( )

√

= − √6 + 4 − + ∫ √6 + 4 − − 2√6 + 4 −

+ 4 ∫

√

 I1 = ∫ √6 + 4 − = ∫ 10 − ( − 2)

I2 = ∫√ = ∫

( )

4) ∫ √ + 4 − 5

5) ∫

6 Tính tích phân bất định sau đây

1) ∫

3) ∫ (( ) ) 4) ∫ √ + 1 ln √ − 1

5) ∫

√ 6) ∫ (1 + ln )

7 Tích phân xác định

1) Giới hạn của tổng tích phân

√

2) Ước lượng tích phân

a) ∫

3) So sánh tích phân

a) ∫

√ và ∫

b) ∫ cos và ∫ cos

4) Đạo hàm hàm cận trên

a) ∫√ sin b) ∫

5) Giới hạn của tích phân

a)

c)

e)

8 Chứng minh các đẳng thức

1)  x > 0, ∫ = ∫

2) ∫ + ∫ ( ) = 1

3) ∫ ( ) = 0 ℎà ℎẵ

2 ∫ ( ) ℎà ẻ

4) ∫ ( ) = ∫ ( ) f là hàm T – tuần hoàn

5 a) ∫ ln cos = ∫ ln cos −

b) Suy ra ∫ ln(1 + tan )

6 a) ∫ (sin ) = ∫ (sin ) 

9 Đổi biến tích phân xác định

1) ∫

√

3) ∫

5) ∫ √ 6) ∫ ( )

Giải

 x = tan(t), dx = (1 + x2)dt

I = ∫ ln(1 + tan( )) = ∫ ln √

= ∫ ln √2 + ∫ ln cos − – ∫ ln cos t

10 Tích phân từng phân tích phân xác định

1) ∫

Giải

 u = arcsinx, dv =

√  du =

√ , v = 2√1 +

I = 2√1 + arcsinx – ∫ √

2) ∫ ln

3) ∫ √ √

Giải

 u = √ + 4 , dv =  du =

√ , v = −

I = − √ + 4 √ + ∫

√

√

4) ∫ cos 2

5) ∫ (1 + ) arctan 6) ∫ cos

11 Cho n  ℕ*, tính các tích phân sau đây

1) ∫ (1 − )

Giải

 (1 – x2) = ∑ (−1)

I = ∑ (−1) ∫

2) ∫ tan

Giải

 tan2nx = tan2(n–1)x(1 + tan2x – 1)

In = ∫ tan ( ) − ( )

= − ( )

= − + ( ) =

3) ∫

√

Giải

 x = sint  t = arcsinx

dx = costdt, √1 − = cost, t(0) = 0, t(1) =

 In = − ∫ sin =

= ∫ sin

Giải

 In = − ∫

= − + ∫

= − +

 f(x) = xne–x

I(x) = (anxn + + a0)e–x + C

 I’(x) = (nanxn–1 + + a1)e–x – (anxn + + a0)e–x

= xne–x

– an = 1

nan – an–1 = 0

(n–1)an–1 – an–2 = 0

1.a1 – a0 = 0

12 Khảo sát tích phân suy rộng loại 1

3) Tính ∫

√

Giải

 ∫

√ = arctanh

√ – arctanh

√

I =

→ ( arctanh

√ – arctanh

√ )

Giải

 f(x) =

x2 f(x) = arctanx

→

⎯⎯⎯⎯

 K = < ,  = 2 > 1 : TPHT theo

Giải

 (k > 0)

→

⎯⎯⎯⎯ 0

f(x) =

f(x) =

→

⎯⎯⎯⎯ 0

 K = 0 < ,  = > 1 : TPHT theo

9) ∫

√

Giải

 sin ( ) ~

f(x) =

→

⎯⎯⎯⎯ 1

 K = 1 < ,  = > 1 : TPHT theo

13 Khảo sát tích phân suy rộng loại 2

3) ∫

5) ∫

7) ∫

√

Giải

 f(x) = , x  0

f(x) = cos

→

⎯⎯⎯ 0

 K = 0 < ,  = < 1 : TPHT theo TC Riemann

 t =  x =

dx = − , t(+0) = +, t(1) = 1

Giải

 ex – 1 ~ x, ln 1 + ~ x2/3

f(x) =

→

⎯⎯⎯ 1

 K = 1 < ,  = < 1 : TPHT theo TC Riemann

Giải

 ex – cosx = x + ~ x

xf(x) =

→

⎯⎯⎯ 1

 K = 1 > ,  = 1  1 : TPPK theo TC Riemann

14 Tính độ dài của đường cong

1) y2 = (x – 1)3 bị chắn bởi y2 = 2x

Giải

 (x – 1)3 = 2x  x = 4

s = 2s(C)

C : x = 1 + , 0  y  √8



2) 8y2 = x2(1 – x2) với –1  x  1

3) x = a(3cost – cos3t), y = a(3sint – sin3t), 0  t  

4) x = a(t2 + 1), y = (t3 – 3t) với –1  t  1

5) r = 1– cos nằm trong đường tròn r = 1

6) r = acos3( ) với 0    

7) x2 = 4y, 9z2 = 16xy nằm giữa x = 0 và x = 4

8) x = t – sint, y = 1 – cost, z = 4cos( ) nằm giữa hai giao điểm với mặt phẳng Oxz

15 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

1) y = x2, y = x2, y = 2x

2) y2 = 2x, y2 = 4(x – 1)3

Giải

 Hình vẽ ?

2x = 4(x – 1)3  x = 2, y = 2 > 0

D : 0  y  2, y2  x  1 +

3) x = 2t – t2, y = 2t2 – t3

4) x = 2cost – cos2t, y = 2sint – sin2t

5) r = √3sin, r = 1 – cos

6) r2 = a2sin2

7) (x2 + y2)2 = a2(x2 – y2)

8) x4 + y4 = x2 + y2

16 Tính thể tích vật thể tạo bởi

1) x = a, 2x = z2, y = 0, 2y = x2 và z = 0

2) 2z = x2 + 2y2 và x2 + 2y2 + z2 = 6

3) 2y = x2 và 2x + 2y – 3 = 0 quay quang Ox

4) y = x, y = x + sin2x, 0  x   quay quang Oy

5) x = acost, y = asin2t, y = 0 quay quang Ox

6) x = acos3t và y = asin3t quay quang Ox

7) r = asin2 quay quang trục cực

8) r2 = a2cos2 quay quang trục cực

17 Tính diện tích mặt tròn xoay tạo bởi

1) 4x2 + y2 = 4 quay quanh Ox

2) 9y2 = 4x3 (0  x  1) quay quanh Oy

3) x = 3cost – cos3t, y = 3sint – sin3t quay quanh Ox 4) x = a(t – sint), y = a(1 – cost) q.quanh trục đối xứng 5) r = a(1 + sin) quay quanh trục cực

6) r = a2sin2 quay quanh trục cực

Bài giải

1 Tích phân bất định

1) ∫

Giải

 t = tan( ), sinx = , dx =

 I = ∫ = ∫ ( ) =

2) ∫

Giải

 u = arctan x, dv =  du = , v = −

 I = − arctan x + ∫

( ) = + 

3) ∫

√

Giải

 t = √ + 4  x = t2 – 4, dx = ,

4) ∫

( )( )

Giải



( )( ) = 3 + + ,

5) ∫

Giải



6) ∫

√

Giải

 1 – 4x – x2 = 5 – (x + 2)2,

( )

 I = − ∫

( )

2 Tích phân xác định

1) ∫ √

Giải

 t = √ + 1  x = t2 – 1, dx = 2tdt ,

 I = ∫ (2 ) =

2) ∫ ln (1 + √ )

Giải

 t = √  x = t2, dx = 2tdt

t(0) = 0, t(1) = 1

 I = ∫ ln (1 + )2

u = ln(1 + t), dv = 2tdt  du = , v = t2

I = ln (1 + )| − ∫

=

3) ∫ sin( + √ )

Giải

 t = √  x = t2, dx = 2tdt

t(0) = 0, t(2) = 

 I = ∫ sin + (2 )

4) ∫ x 2

Giải

 u = x2 , dv = 2x dx = exln2dx

 du = 2xdx, v = exln2

( ) ∫ 2

5) ∫ cos cos

Giải

 ∫ cos cos ( + 1)

= ∫ cos cos − ∫ cos sin sin

= In + ∫ sin ( cos )

= In + cos sin − ∫ cos (sin )

= In – In = 0

 In = ∫ cos cos cos

= ∫ cos cos( − 1) + ∫ cos cos( + 1)

= = = =

6) ∫ 1 + −

Giải

I = ∫ 1 + 1 −

7) ∫ sin

Giải

 u = e2x , dv = sinxdx

I = − cos | + ∫ cos 2

= 1 − √2

2 2 + 2∫4 2 (sin )

0

 cosx + i.sinx = eix

I = im(K) = √ + 1

8) ∫ ( )

Giải

 u = (lnx)2, dv = x2dx

9) ∫ (2 − )

Giải

 t = 2 – x

3 Tích phân suy rộng loại 1

1) ∫ (p, q > 0)

Giải

 q  p

xp f(x)

→

⎯⎯⎯⎯ 1 <

= = K

0 < K <   p > 1 : hội tụ, p  1 : phân kì

 q > p

xq f(x)

→

⎯⎯⎯⎯ 1 = K

0 < K <   q > 1 : hội tụ, q  1 : phân kì

2) ∫ (p, q > 0)

Giải

 p > 1 :

xp f(x) =

→

⎯⎯⎯⎯ 0 = K

K < , p > 1 : hội tụ

 p < 1 : p = 1 – 2r

x(1–r)f(x) =

→

⎯⎯⎯⎯ + = K

K > 0,  = 1 – r < 1 : phân kỳ

 p = 1

+) q > 1

+) q  1 : phân kỳ

3) ∫ (p, q > 0)

Giải

 q – p > 1

 q – p  1

Giải

 f(x) ~ = g(x)

TP của g(x) hội tụ, suy ra TP của f(x)

5) ∫ ( )

Giải

 x2f(x) =

( ) ⎯⎯⎯⎯ 0 = K →

K < ,  = 2 > 1 : TP ht

6) ∫ ( )

Giải

 f(x) =

( ) liên tục x  0

TP VT

 x4f(x)

7) ∫ ( )

Giải

 x3/2f(x) = ( )

→

⎯⎯⎯⎯ 0 = K

Giải

 x2f(x) =

9) ∫ √

Giải

 x11/15f(x) =

Giải

 x3f(x) =

4 Tích phân suy rộng loại 2

1) ∫

( )√

Giải

 f(x) =

( )√ liên tục [0, 1)

Chọn g(x) =

( )

( )

( ) =

→

⎯⎯⎯⎯ 1 = K

K < , Tp g(x) hội tụ, suy ra TP f(x) hội tụ

2) ∫ √

Giải

 f(x) = √ liên tục (0, 1]

Chọn g(x) =

( )

( ) =

→

⎯⎯⎯ 1 = K

 K < , TP g(x) hội tụ, suy ra TP f(x) hội tụ

Giải

 f(x) = √ liên tục (0, 1]

Chọn g(x) =

( )

( ) =

→

⎯⎯⎯ 1 = K

 K < , TP g(x) hội tụ, suy ra TP f(x) hội tụ

4) ∫

( )

Giải

 f(x) =

( ) liên tục (0, 1]

Chọn g(x) =

( )

( ) =

→

⎯⎯⎯ 1 = K

 K < , TP g(x) phân kỳ, suy ra TP f(x) phân kỳ

5) ∫

Giải

 f(x) = ln(x) liên tục (0, 1]

= – aln(a) + a – 1

→

⎯⎯⎯ –1

 I = –1

5 Ứng dụng hình học