Bt chương 2

Tìm hàm số trong các trường hợp sau đây.

Bài tập chương 2

1 Khảo sát tính có đạo hàm liên tục

a) y = 1 + tan + b) y = + + √

c) y =

e) y = f) y = arcsin

g) y = | arctan x | h) y = [x]x

i) y = 1 − ≤ 0

> 0 j) y =

≤ 0

ln (1 + ) > 0

k) y = | | ≤ 1

| | > 0 l) y =

sin ≠ 0

0 = 0

Giải

 x  0

f(x) = x2 sin có đạo hàm liên tục

f’(x) = 2x sin – cos

 a = 0, f(a) = 0

0  | f(x) | = | x2 sin |  x2

→

⎯⎯ 0

 lim

→ f(x) = 0 = f(0) f(x) liên tục tại a = 0

 a = 0, f(a) = 0

∆

∆ = = x sin

→

⎯⎯ 0

có đạo hàm f’(0) = 0

 a = 0, f’(a) = 0

f’(x) = 2x sin – cos

→

⎯⎯ f’(0) ? đạo hàm không liên tục

2 Tính các đạo hàm cấp một, cấp hai của hàm hợp và

hàm ngược

a) y = arctan ( )

( ) b) y = (x)(x)

c) y = log(x)(x) d) y = (lnx)

e) y = ln(x) f) x = yy

g) x = y + ey h) x = ylny

3 Tính các đạo hàm cấp một, cấp hai của hàm ẩn

a) ey + xy = 1, x = 1

Giải

 y = y(x)

ey(1) + y(1) = 1  y(1) = 0

ey.y’ + y + xy’ = 0  y’(ey + x) = – y

 y’(1) = − ( )( ) = 0

 x = 1, y(1) = 0, y’(1) = 0

ey.y’2 + ey.y” + 2y’2 + xy” = 0

 y”(1) + y”(1) = 0

b) x4 + y4 = x2y2

c) exsiny – eycosx = 0 d) arctan = ln +

e) xy = yx f) x = ln(1 + t2), y = arctan(t) g) x = t.ln(t), y = ( ) h) x = et cost, y = et sint

4 Khảo sát tính có đạo hàm liên tục cấp n

a) y =

( ) ( )

c) y = (x3 + x2 + 1)e–x d) y = xn–1

Giải

 n = 1, y = , y’ = −

n = 2, y = x , y’ = (1− ) , y” =

 P(n) : y = , y(n) = (−1)

+) P(1), P(2) đúng

+)  k  n, P(n) đúng, CMR P(n+1) đúng :

y = , y(n+1) = (−1)

Ta có

y(n+1) = ( ( )’ )(n)

= n( )(n) – ( ( )(n-1) )’

= (−1)

e) y = xn–1ln(1 + x) f) y = arctanx, tính y(n)(0)

5 Khảo sát tính khả vi cấp một, cấp hai

a) y = b) y = x2e–x

c) y = asin(bx + c) d) xy + y2 = 1

e) ey = x + y f) x = y – asiny

6 Cho f : ℝ  ℝ, f(x) =

√ Chứng minh rằng

a) Hàm f  C(ℝ) và  n > 0,  Pn  ℝ[X] :

 (n, x)  ℕ*  ℝ, f(n)(x) = ( )

( )

b)  n  ℕ*, Pn+1 = (1 + X2)P’n – (2n + 1)XPn

c) Pn+1 + (2n + 1)XPn + n2(1 + X2)Pn–1 = 0

P’n = – n2Pn–1

d)  n  ℕ*, tính giá trị Pn(0)

7 Tìm hàm số trong các trường hợp sau đây

a) f : ℝ ∃⎯⎯ ℝ và f(x + y) = f(x) + f(y)

b) f : ℝ ∃⎯⎯ ℝ và f(x + y) = f(x + f(y))

c) f : ℝ ∃⎯⎯ ℝ và f(x) – f(y) = (y – x)f’( )

d) f : ℝ ∃⎯⎯ ℝ và f(x)f(y) = f(x + y)

8 Tính chất hàm khả vi

a) Tình hằng số Roll

) f(x) = (1 − ) với x  [0, 1]

) f(x) = 1 – √ với x  [–1, 1]

b) Tìm hằng số Lagrange

) f(x) = arctan x với x  [0, 1]

) f(x) = ln x với x  [1, 2]

c) Cho f  C([0, a])  C1((0, a]) :

f(0) = 0 và f(a)f’(a) < 0

CMR  c  (0, a) : f’(c) = 0

d) Cho f  C([0, +))  C1((0, +)) :

f(a) = 0 và f(+) = 0

CMR  c  (0, +) : f’(c) = 0

e) Cho f  C2( [a, b]) : f(a) = f(b) = f’(a) = f’(b) = 0 CMR  c  (a, b) : f”(c) = f(c)

9 Chứng minh các bất đẳng thức

a)  x  ℝ : xn+1 – (n + 1)x + n  0

b)  x > –1 :  ln(x + 1)  x

c)  x  [0, ], sin2x  x( – x)

d)  x > 1, <

√

e)  n > 0, e – (1 + )n 

f)  a > 0, b  ℝ, ab  a.ln(a) + eb–1

g)  (n, a, b) > 0, (n + 1)an < < (n + 1)bn

h) Suy ra  n > 0

(1 + )n < (1 + )n và (1 + )n+1 > (1 + )n+2

10 Khai triển Taylor bậc n tại điểm a của hàm f(x)

a) 2, 0, ln(3ex + e–x)

Giải

 f(x) = f(0) +

!f’(0)x +

!f”(0)x2 + o(x2)

 f(0) = ln 4

f’(x) = , f’(0) =

( ) , f”(0) =

f(x) = ln4 + x + x2 + o(x2)

 ex = 1+ x + x2 +

ln(1 + x) = x – x2 +

f(x) = ln(3(1+ x + x2 + o(x2)) + (1– x + x2 + o(x2)))

= ln(4 + 2x + 2x2 + o(x2))

= ln4 + ln(1 + x + x2 + o(x2))

= ln4 + ( x + x2 + o(x2)) – ( x + x2 + o(x2))2

+ o( x + x2 + o(x2))2

= ln4 + x + x2 + o(x2)

b) 3, 0, 1 + √1 +

Giải

 f(x) = 1 + √1 + , f(0) = √2

f’(x) =

1+ √ 1+ √ 1+ , f’(0) =

√

f”(x) =

1+ √ 1+

3

2 ( 1+ )

−

1+ √ 1+ ( 1+ )32

f(3)(x) =

 (1 + x)1/2 = 1 + x − x2 + x3 +

f(x) = 1 + (1 + )

= (2 + x − x2 + x3 + o(x3))1/2

= √2 (1 + x − x2 + x3 + o(x3))1/2

= √2 (1 + ( x − x2 + x3 + o(x3))

− ( x − x2 + x3 + o(x3))2 +

+ ( x − x2 + x3 + o(x3))3 + o(x3)

= √2 (1 + x − x2 + x3 + o(x3))

e) 7, 0, ecosx f) 5, 0, arctan ( )

g) 4, 0, h) 4, 0, (1 + sinx)cosx

i) 8, 0, tan3x (cos ) − 1

j) 3, , tanx k) 3, 1, ( )

l) 3, 2, sin √ − 3 m) 3, 2, xx

n) 100, 0, ln ∑

! o) 10, 0, ∫

√

11 Tìm các giới hạn hàm số sau đây

( )

e)

( ) f) ( )

Giải

 t = 1 – x  +0

u(x) = ln t + tan( − t) = ln t + cot t

v(x) = cot( – t) = – cot t ?

 ( )

( ) =

 ~

→ − ( ln + 2)

→

⎯⎯⎯ −2

g) (x – 1)cot(x – 1) h) −

i) − cot j) (arcsinx)tanx

k) ( ) l) (cos 2 )

Giải

 u(x) = cos 2x

v(x) =



12 Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau đây

c) y = ( + 1) + ( − 1) d) y = x2(1 – x√ )

e) y = ( − 1) f) y =

| |

g) y = x – 2sinx h) y = sinx + cosx i) y = j) y = x.arctan x

k) y = x2e–x l) y = (1 – x2)ex

m) y = x – ln(x + 1) n) y = x2 lnx

o) y = xln(e + ) p) y = ( ) + 2x

q) y = x r) y =

| |

s) y = (1 + ) t) y =

13 Khảo sát đường cong cho bằng phương trình

a) x = t2 – 2t, y = t2 + 2t b) x = t + e–t, y = 2t + e–2t c) x = acos3t, y = asin3t

d) x = t3 – 3, y = t3 – 6.arctan(t)

e) x(y – x)2 = 4 f) x2y + xy2 = 2

g) (y – x2)2 = x5 h) x2y2 = (x – 1)(x – 2)

14 Khảo sát đường cong trong hệ tọa độ cực

a) r = asin3 b) r = a(1 + bcos)

c) r = a cos 2 d) r =

e) (x2 + y2)3 = 4(axy)2 f) x4 + y4 = a2(x2 + y2)

Bài giải

1 Đạo hàm

1.1 Tính đạo hàm

1) y = + + 2

Giải

 u(x) =

ln u(x) = x2 ln(x)

( )

( ) = x(2lnx + 1)

 u’(x) = (2lnx + 1)

2) y =

Giải

 ln y(x) = xln(ln x) – (ln x)2

3) x = yy

Giải

 ln(x) = y(x)ln y(x)

= y’(x)ln y(x) + y’(x)

4) x = arcsin(t), y = ln(1 – t2)

Giải

 D(x) : -1  t  1 D(y) : -1 < t < 1

D = -1 < t < 1

 x’(t) =

√ , y’(t) = −

y’(x) = ( )

( ) = −

√ = −2 (1 − )

 y”(x) = ( ) =

( ) −

√

 (sin x)’ = cos x = √1 − sin

y = arcsin x  x = sin y

y’(x) =

( ) = =

√

1.2 Tính đạo hàm cấp cao

1) y =

√ = (1 + )(1 − )

Giải

 u(x) = 1 + x, u’ = 1, u” = 0,

 v(x) = (1 − ) , x < 1

v’ = (1 − ) , v” = (1 − ) ,

v(k) = … (1 − )

= ( )‼ (1 − )

 y(n) = (u.v)(n) = uv(n) + nu’v(n-1) + 0 +

=

 v = (a.x + b)m

v(n) = [ ] ( + )

2) y =

( ) ( )

Giải



( ) ( ) = +

( ) + +) (x – 1)2, x = 1 : = B

+) (x + 1), x = -1 : = C

+) x = 0 : 3 = -A + B + C

( ) +

 u(x) = (x – 1)–1, u’ = –(x – 1)–2 ,

u” = (–1)(–2) (x – 1)–3 ,

u(k) = (–1)k (k!)(x – 1)–(k+1)

3) f(x) = √ − 3 , n = 100

Giải

 f(x) = (1 − 3 )

u = x2 , u’ = 2x ,

v = (1 − 3 ) , v’ = (1 − 3 ) (−3)

v” = − 1 (1 − 3 ) (−3) ,

v(k) = − 1 − ( − 1) (1 − 3 ) (−3)

= −(3 − 4)‼ (1 − 3 )

=

1.3 Cho f(x) = sin ≥ 0

x + + < 0 1) Tính f’(x  0)

2) Tìm a để  f’(0)

Giải

1)

 x > 0, f’(x) = 3x2 sin x + x3 cos x

 x < 0, f’(x) = 2x + a

2)

Cách 1

 f(x) liên tục tại 0 : f(+0) = f(–0) = f(0)

f(+0) = lim

→ (x3 sin x) = 0 = f(0)

f(–0) = lim

→ (x2 + ax + b) = b

 f’(x) có giới hạn tại 0 : f’(+0) = f’(–0)

f’(+0) = lim

→ (3x2 sin x + x3 cos x) = 0

f’(–0) = lim

→ (2x + a) = a

Cách 2

 x0 = 0, x = x – 0, f = f(x) – f(0)

+) x > 0, ∆

∆ = = x2 sinx

→

⎯⎯⎯ 0 = f’(+0)

+) x < 0, ∆

∆ = ( ) = x + a +

→

⎯⎯⎯ f’(–0)

 b = 0, a = 0

 a = b = 0 :  f’(0) = 0

1.4 Cho f(x) = sin 2 ln( + ) < 0

ln(1 + 4 ) − ≥ 0 1) Tính f’(x  0)

2) Tìm a để  f’(0)

Giải

1)

 x < 0, f(x) = ex sin2x ln(e2 + x)

+ ex 2cos2x ln(e2 + x) + ex sin2x

 x > 0, f(x) =

2)

 f(x) liên tục tại 0 :

f(+0) = lim

→ (ln(1 + 4x) – a) = –a = f(0)

f(–0) = lim

→ (ex sin2x ln(e2 + x) = 0

 f’(x) có giới hạn tại 0 :

f’(+0) = lim

→ ( ) = 4

f’(–0) = lim

→ (ex sin2x ln(e2 + x)

+ ex 2cos2x ln(e2 + x) + ex sin2x ) = 4

 x0 = 0, f(0) = – a, x = x – 0, f = f(x) – f(0)

x > 0, ∆

∆ = ( ) = ( )

→

⎯⎯⎯ 4 = f’(+0)

 x < 0, ∆

→

⎯⎯⎯ f’(–0)

 a = 0, f’(–0) = 4

1.5 Cho f(x) = + 2 − > 1

2 + 1 ≤ 1 Tìm a, b để hàm f khả vi tại x = 1

Giải

 f(x) liên tục tại 1 :

f(1+0) = a + 2 – b , f(1–0) = 3 = f(1)

 a + 2 – b = 3

 f(x) có đạo hàm tại 1 :

f’(x > 1) = 2ax + 2, f’(1+0) = 2a + 2

f’(x < 1) = 2, f’(1–0) = 2

 2a + 2 = 2

 a = 0, b = –1

2 Ứng dụng đạo hàm

2.1 Chứng minh bất đẳng thức

1)  x > 1, <

√

Giải

 BDT  ln − √ +

√ < 0 (1)

 t = √ > 1, f(t) = 2ln t – t +

f’(t) = − 1 − = − < 0  f(t) 

  t > 1, f(t) < f(1) = 0  (1)

2) 0 < b < a < , < − <

Giải

  0 < b < x < a <

 f(x) = tan x , f’(x) =

= , b < c < a

 cos2 b > cos2 c > cos2 a > 0

0 < < <

0 < < 1 <

Nhân từng vế, sau đó nhân với a – b > 0

3)  x, y  ℝ, | arccot x – arccot y |  | x – y |

Giải

 f(x) = arccot x, f’(x) = −

arccot x – arccot y = − , c  (x, y)

 Lấy TTD

| arccot x – arccot y | = | x – y |  | x – y |

4) r > 1,  x > –1, 1 + r.x  (1 + x)r

Giải

  x > –1, f(x) = (1 + x)r – 1 – r.x

f’(x) = r(1 + x)r–1 – r = 0  x = 0

f’(x) – 0 +

f(x)

0

  x > –1, fmin = f(0) = 0

f(x)  0  BDT

5)  x > 0, < arctan x

Giải

  x > 0, f(x) = arctan x –

( ) > 0  f(x) 

  x > 0, f(x) > f(0) = 0  BDT

7) CMR  | x |  , 3arccos x – arccos(3x – 4x3) = 

Giải

 –1  3x – 4x3  1  –1  x  1

–  x  , f(x) = 3arccos x – arccos(3x – 4x3)

thuộc lớp C1

 f’(x) = −

( ) = = 0

f(0) = 

2.2 Tìm cực trị

1) y = √ − 2

Giải

  x2 > 2, f’(x) =

√ = 0  x = 1



x – −√2 –1 1 √2 + f’(x) + 0 – 0 +

f(x)

 Hàm không có cực trị

2) y = x – ln(1 + x)

Giải

  x > –1, f’(x) = = 0  x = 0



f’(x) – 0 +

f(x)

0

 fmin = f(0) = 0

3) y = x.e–x

Giải

 y = (1 – x)e–x  x = 1

2.3 Tính giới hạn

1) lim

→

Giải

 u(x) = xx – 4, u’ = x x (ln x + 1)

 ℓ =( )

2) lim

→

Giải

 u(x) = tan x – x, u’ = tan2 x, u” = 2tan x (1 + tan2 x)

v(x) = x – sin x, v’ = 1 – cos x, v” = – sin x

 ℓ =( )

3) lim

→

Giải

 u(x) = tan x, u’ = 1 + tan2 x

v(x) = tan 3x, v’ = 3(1 + tan2 3x)

 ℓ =( )

4) lim

Giải

 u(x) =

( ) ( )=

→

⎯⎯⎯⎯ 1

v(x) = 2xln x

→

⎯⎯⎯⎯ +

v(u – 1) = 2 ln ( )

( )

= −2

( )

→

⎯⎯⎯⎯ –2

 ℓ = e–2

5) lim

Giải

 ex = 1 +

! +

! + ⋯

ex – 1 – x = x2 + o(x2),

→

⎯⎯ 0

 − =

( ) ~

→

( )

→

⎯⎯⎯⎯

 ℓ =

6)

lim

→

( )

Giải

 u = ( )

→

⎯⎯ 1, v =

→

⎯⎯ 

ln u(x) = ln(1 + ) − 1 = − + ⋯ − 1

= – x + o(x), ( )

→

⎯⎯ 0

→

⎯⎯

 ℓ =