chương 1 giới hạn liên tục

Các loại hàm số với tính chất đặc biệt a.. Hàm đơn điệu Cho hàm số fx xác định trên D... Trên đoạn này hàm sinx đơn điệu tăng thật sự từ -1 đến 1 nên tồn tại hàm ngược, kí hiệu là y

CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN – LIÊN TỤC

1.1 Giới hạn hàm số

1.1.1 Bổ túc về hàm số

1 Định nghĩa Cho  D  R, mỗi ánh xạ f : D  R được gọi là một hàm số một biến số thực

f : D  R

x y = f(x)

 D : miền xác định

 f D( ) y R x D y |   :  f x( ): miền giá trị

 x: biến số hay đối số

 y = f(x) giá trị của hàm số f tại x

Ví dụ

a Cho hàm số : f: X  R

x y = 2 4

2

x x



 Tìm miền xác định của hàm số

b Tìm miền xác định và vẽ đồ thị của hàm số y = 2

2

x x





Đồ thị của hàm số

Đồ thị của hàm số f : X  R là tập hợp : C = M(x,f(x)) / x  X  Nói chung đây là một đường cong trong mặt phẳng Oxy

2 Các loại hàm số với tính chất đặc biệt

a Hàm bị chặn

Ta nói hàm số f:

 Bị chặn trên trên D, nếu M sao cho f x( )M, x D

 Bị chặn dưới trên D, nếu N sao cho f x( )N, x D

Ví dụ Hàm số f(x) = sinx hay f(x) = cosx bị chặn trên R

b Hàm đơn điệu

Cho hàm số f(x) xác định trên D Ta nói hàm số f(x) là:

 Đơn điệu tăng nếu x1x2  f x( )1  f x( )2

 Đơn điệu giảm nếu x1x2  f x( )1  f x( )2

c Hàm số chẳn, lẽ

Tập con DR được gọi là đối xứng nếu     x D x D Cho hàm số f(x) có miền xác định D Khi đó:

 f(x) là hàm chẳn nếu D đối xứng và f(-x) = f(x), x D

 f(x) là hàm lẽ nếu D đối xứng và f(-x) = - f(x), x D

Ví dụ: Hàm f(x) = x2 là hàm chẳn, hàm f(x) = x3 là hàm lẽ

3 Hàm hợp – Hàm ngược

a Hàm hợp

Cho các tập X Y Z, , R và các hàm số f X: Y, g:YZ Khi đó hàm số:

:

h X Z

xh x( ) :g f x( ( ))

Được gọi là hàm hợp của hai hàm f và g, kí hiệu: h g f 

Ví dụ: Cho hai hàm số f(x) = x2 và g x( ) 1x Khi đó:

(g f x )( )g f x( ( ))g x( ) 1x

(f g x )( ) f g x( ( )) f( 1x) 1 x

b Hàm ngược

Cho hàm số f X: Y là một song ánh Khi đó tồn tại hàm số f1:Y X

Xác định như sau: với mỗi y Y ta được duy nhất x X mà f(x) = y Hàm

số f 1:Y X xác định như trên được gọi là hàm ngược của f và:

1

y f x  x f y

Ví dụ: Xét hàm số y = sinx trên - ;

2 2

 

  Trên đoạn này hàm sinx đơn điệu tăng

thật sự từ -1 đến 1 nên tồn tại hàm ngược, kí hiệu là yarcsinx

4 Hàm số sơ cấp:

 Hàm số sơ cấp cơ bản :

a Hàm lũy thừa : y = x

1

x

x , y = x , y = x2 … Miền xác định tùy thuộc  Nếu N thì MXĐ là R, nếu  vô tỷ thì MXĐ là (0; +)

b Hàm số mũ : y = ax ( 0 < a  1 ) Miền xác định R, miền giá trị (0;) Nếu a > 1 thì hàm mũ tăng, nếu a <

1 thì hàm giảm trên R

c Hàm logarit : y = logax ( 0 < a  1 )

Hàm y = logax là hàm ngược của hàm số y = ax , nó có MXĐ là (0;) và miền giá trị là R Tương tự hàm mũ hàm logarith tăng nếu a > 1, giảm nếu 0 < a < 1

d Hàm số lượng giác

y = sinx , y = cosx, y = tgx , y =cotgx

e Hàm số lượng giác ngược

y = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y = arccotgx

f Hàm số hyperbolic

y = shx =

2

x x

e e

, y = chx =

2

x x

e e

y = thx = shx

chx = e x x e x x







 , y = cothx =

chx shx = e x x e x x









 Hàm số sơ cấp :

Hàm số y = f(x) trong đó f(x) cho bởi một công thức lập thành từ các hàm

số sơ cấp cơ bản với các phép tính số học và phép lấy hàm hợp

Ví dụ 1: y =

2 arcsin

2 ) 1

x

e x

Ví dụ 2: Các hàm không sơ cấp

 Hàm phần nguyên y = [x] ( n  n < n+1 )

 Hàm dấu : y = sgnx











1 0 1

1.1.2 Giới hạn của hàm số

Bổ sung :

 Khoảng : (a,b) = x  R/ a < x < b

 Đoạn : [a,b] = x  R / a  x  b

 Nửa khoảng ( hay nửa đoạn )

 (a,b] = x  R / a < x  b

 Lân cận : Cho xo  R và  > 0, khoảng ( xo-  , xo +  ) được gọi là một

lân cận của xo (lân cận tâm xo, bán kính ) Vậy x thuộc lân cận của xo  xo -  < x < xo+ 

- < x –xo < 

  x-xo  < 

1 Định nghĩa

Khi x < 0 Khi x = 0 Khi x > 0

Cho hàm số f(x) xác định trong lân cận của xo Số L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến đến xo nếu :

 > 0 ,  >0 :  x-xo  <   f x( ) L < 

Ký hiệu: f x L

x

 ( )

lim

0

2 Ví dụ

a) Dùng định nghĩa để chứng minh lim(4 3) 7

x

b) Hàm số f : X  R

x y =

2

4 2





x x

Tìm miền xác định của f và chứng minh rằng lim ( ) 4

 f x

x

3 Các tính chất của giới hạn

 Nếu các hàm số f(x) và g(x) có giới hạn khi x  xo thì tổng, hiệu , tích,thương của chúng cũng có giới hạn khi x  xo và:

lim

o

xx [ f(x)  g(x) ] = lim

o

xx f(x)  lim

o

xx g(x) lim

o

xx [ f(x) g(x) ] = lim

o

xx f(x) lim

o

xx g(x)

lim

o

xx ( )

) (

x g

x f

= lim ( )

lim ( )

o

o

x x

x x

f x

g x





(lim

o

xx g(x)  0)

 Nếu f(x)  g(x) với mọi x thuộc lân cận của x o thì lim

o

xx f(x) lim

o

xx g(x)

 Nếu f(x)  g(x)  h(x) với mọi x thuộc lân cận của xo và

 Nếulim

o

xx f(x) =lim

o

xx h(x) = L thì lim

o

xx g(x) = L

1.1.3 Mở rộng khái niệm giới hạn

1 Giới hạn một bên

Bổ sung : Ký hiệu

x  xo+ hiểu là x  xo và x > xo

x  xo- hiểu là x  xo và x < xo

a Định nghĩa

 Số L được gọi là giới hạn trái của hàm số f(x) khi x tiến đến xo từ bên trái (x  xo- ) nếu với mọi  >0 cho trước nhỏ tùy ý, luôn luôn tồn tại > 0sao cho:

0< xo – x <   | f(x) – L | < 

Ký hiệu f x L

o x

x  

lim

 Số L được gọi là giới hạn phải của hàm số f(x) khi x tiến đến xo từ bên phải (x  xo, x > xo) nếu với mọi  >0 cho trước nhỏ tùy ý, luôn luôn tồn tại  >

0 sao cho

0< x– xo <   | f(x) – L | < 

o x

x  

lim

b Định Lý

lim

o

xx f(x) tồn tại  lim ( )

0

x f

x

x  = lim ( )

0

x f

x

x 

Ví dụ Tìm giới hạn của hàm số f(x) =

x

x

khi x  0 Hàm số không xác định tại x = 0, ta thấy :

lim f x

O

x lim(1)1

O

x

lim f x

O



O x

) 1

Do đó lim f(x)

O

x không tồn tại, chỉ có giới hạn một bên

2 Giới hạn ở vô cực

a Định nghĩa

Số L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến đến vô cực (x  )

nếu với mọi  >0 cho trước nhỏ tùy ý, luôn luôn tồn tại M > 0 sao cho với mọi

x mà x > M ta có f(x) - L <



 ( ) lim

b Ví dụ

Ví dụ 1: Chứng minh rằng

x

x

1 lim



 = 0

Ví dụ 2 :Tìm

2 4 3

1 2

lim 2

2











x x

x

3 Giới hạn vô cực

a Định nghĩa: Hàm Số f(x) được gọi là tiến đến vô cực khi x tiến tới xo nếu với mọi M >0 tùy ý, tồn tại  > 0 sao cho với mọi x mà x x 0  thì f x( ) M

Ký hiệu: 



 ( )

lim f x

x

b Ví dụ



5 lim

2 x

x

1.1.4 Dạng vô định của giới hạn hàm số

1 Dạng vô định 0

0

a) Định nghĩa Nếu

0

lim ( ) 0

x x f x

0

lim ( ) 0

x x g x

0

( ) lim ( )

x x

f x

g x

dạng vô định 0

0

b) Ví dụ

0

sin 2 lim 3

x

x x

0

sinx lim

x

tgx x





,

3 8

9 2 5 lim

2

x

x x



ln( os ) lim

ln(1 )

x

c x x

Cách khử dạng vô dịnh 0

0

TH1 Nếu f(x), g(x) có chứa đa thức hoặc căn thức thì ta áp dụng công thức sau:

( )

f x







Ví dụ Tính các giới hạn

a

4

1 2 3 lim

2

x

x x





Bước 1: Khử căn bằng cách nhân tử và mẫu với lượng liên hợp ta có:

Bước 2: Áp dụng CT trên

3 ( 4)( 1 2 3) ( 4)( 1 2 3) ( 1 2 3)

8

9 2 5 lim

2

x

x x





Làm tương tự câu a

3

5

TH2 Nếu f(x), g(x) có chứa các hàm lượng giác, mũ, logarith, hàm ngược Áp

dụng các giới hạn cơ bản sau, trong đó nếu x 0, thì u x( )0

1

0

sin ( )

( )

x

u x

u x

2

0

( )

( )

x

tgu x

u x

3

0

ar sin ( )

( )

x

u x

4

0

ar ( )

( )

x

ctgu x

u x

0

1

( )

u x x

e

u x



6

0

ln(1 ( ))

( )

x

u x

u x



Ví dụ Tính các giới hạn

a

sin 2 2sin 2 2

2 Dạng vô định 



a Định nghĩa Nếu

0

lim ( )

x x f x

0

lim ( )

x x g x

0

( ) lim ( )

x x

f x

g x

là có dạng vô định 



b Ví dụ: lim 22 2 1

x



  , xlim 1

x





Cách khử dạng vô dịnh 



TH1: Nếu f(x), g(x) có chứa đa thức hoặc căn thức thì ta đặt xk với k là bậc nhỏ hơn giữa đa thức ở tử và mẫu số làm thừa số chung rồi đơn giản đi

Ví dụ Tính các giới hạn

a

2

2

2

x

b

2

2

2

 

c

1 1

1

x

x

x

x x



TH2 Nếu f(x), g(x) có chứa hàm mũ thì ta đặt biểu thức mũ có cơ số lớn nhất làm

thừa số chung rồi đơn giản để tính giới hạn

Ví dụ Tính các giới hạn

a

x x x

x x x

x

b

3

5 1

4

5

x

x

x

  

3 Dạng vô định   

a Định nghĩa Nếu

0

lim ( )

x x f x

0

lim ( )

x x g x

0

x x f x g x

gọi là có dạng vô định   

b Ví dụ lim 2 2 2 2 

x x x x x

1

lim

x x x

Cách khử dạng vô dịnh   

TH1 Nếu f(x), g(x) là các hàm hữu tỷ thì ta quy đồng mẫu số rồi đưa giới hạn về

dạng 0

0

Ví dụ: Tính giới hạn

TH2 Nếu f(x), g(x) có chứa hàm căn thức thì ta nhân lượng liên hợp rồi đưa giới

hạn về dạng 



Ví dụ Tính các giới hạn

1

2

x x x x x x x x x x x x

=

2

3

3 2 6

4 Dạng vô định 1

a Định nghĩa: Nếu

0

lim ( ) 1

x x f x

0

lim ( )

x x g x

0

( )

x x f x

là có dạng vô định 1

1 2 0

lim 1 sinx x

x  ,

4 2 lim

1

x x

x x





  

Cách khử dạng vô dịnh 1

Áp dụng giới hạn của số

1 ( ) 0

lim(1 ( ))u x , 0

x



Ví dụ Tính các giới hạn

a

1 3

1

x

x

x

x

x











sinx

( sinx) 1









1.1.5 Vô cùng lớn, vô cùng bé – Khử dạng vô định:

1 Vô cùng bé

a Định nghĩa

Hàm f(x) được gọi là một vô cùng bé (VCB) khi x  xo nếu

o x

x

limf(x)= 0

Ví dụ: Các hàm số x, x + 2x2, sinx, tgx, là các VCB khi x 0

b Vô cùng bé tương đương

Hai vô cùng bé f(x) và g(x) được gọi là tương đương khi xx0, kí hiệu

( ) ( )

f x g x khi xx0 nếu

0

( )

( )

x x

f x

g x

Ví dụ Vì

0

1

x x

e x





 nên e x 1 x khi x 0

Vì

2

2 2

sin

2 2

2

x x

 

 

 

1 cos

2

Theo định nghĩa ta có các VCB tương đương quan trọng sau khi x 0

 sinx ~ x

 tgx ~x

 1 cos 2

2

x x

 arcsin x x

 arctgx x

 e x 1 x

 ln(1x)x

n n

n n



c Ứng dụng vô cùng bé tính giới hạn

Nhận xét Nếu các VCB f x( ) f x g x1( ); ( )g x1( ) khi xx0 thì

1 1

( ) ( )

x x x x

f x

f x

   , do đó có thể dùng vô cùng bé để tính giới hạn

Ví dụ Tính các giới hạn

0

(1 cos ) lim

2

x

x







Vì 1 cos 2 (1 cos )2 4

     ; x42x5 x4, khi x0 nên

4 2

x x



0

ln(1 ) lim

2 sin

x

tgx





Vì ln(1tgx2)tgx2  x2; x22x3sin3x x 22x3x3 x2, khi x0 nên

ln(1 )

2 sin

2 Vô cùng lớn

a Định nghĩa

Hàm f(x) được gọi là một vô cùng lớn (VCL) khi x  xo nếu

o x

xlim  |f(x)|= 

Ví dụ: Các hàm số x, x + 2x2 là các VCL khi x 

b Vô cùng lớn tương đương

Hai vô cùng lớn f(x) và g(x) được gọi là tương đương khi xx0, kí hiệu

( ) ( )

f x g x khi xx0 nếu

0

( )

( )

x x

f x

g x

Ví dụ: Vì lim2 2 2 1 1

2

x

x



 

 nên 2x2  x 1 2x2 khi x 

Vì

0

5

x x x

x

 

 nên 5x4x 2 5x khi x  Theo định nghĩa ta có các VCL tương đương quan trọng sau khi x 

 a xb x a a b x(  )



c Ứng dụng vô cùng lớn tính giới hạn Nhận xét: Nếu các VCL f x( ) f x g x1( ); ( )g x1( ) khi xx0 thì

1

1

( ) ( )

x x x x

f x

f x

do đó có thể dùng vô cùng lớn để tính giới hạn

Ví dụ Tính các giới hạn

b lim2.4 3 2 lim2.4 2

x x

 

 

1.2 Hàm số liên tục

1.2.1 Hàm số liên tục tại một điểm

a Định nghĩa Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại xo nếu lim ( ) ( o)

x

x f x f x

o





b Ví dụ Cho hàm số:

1 sin , khi 0 ( )

0 , khi 0

x



 



Xét tính liên tục của f(x) tại x0 0

Giải

Ta có: f(0) 0

0

1 lim ( ) lim sin 0

o

x x f x x x

x

0

lim 0

x x

  và sin1

x là hàm số bị chặn)

Do lim ( ) (0)

o

x x f x f

  nên f(x) liên tục tại x = 0

1.2.2 Hàm số liên tục một phía tại một điểm

a Định nghĩa

 Hàm số f(x) được gọi là liên tục trái tại x o nếu lim ( ) ( )

o

o

x x f x f x

 Hàm số f(x) được gọi là liên tục trái phải x o nếu lim ( ) ( )

x x f x f x

b Ví dụ

Cho hàm số: ( ) , khi 0

x

f x

 



Tìm a để f(x) liên tục tại x0 0

Giải

Ta có: f(0)avà

0

o

x

x x f x x e

0

lim ( ) lim

o

Ta thấy hàm số liên tục phải tại x0 0 Để f(x) liên tục trái tại x0 0 thì a = 1

Vậy với a = 1 thì f(x) liên tục tại x0 0

1.2.3 Hàm số liên tục trong một khoảng, đoạn

a Định nghĩa

 f(x) liên tục trên khoảng (a,b)  f(x) liên tục tại mọi x  (a,b)

f(x) liên tục trên khoảng (a,b)

 f(x) liên tục trên đoạn [a,b]  f(x) liên tục bên phải tại a

f(x) liên tục bên trái tại b

b Định lý Mọi hàm số sơ cấp đều liên tục trong những khoảng mà hàm số

đó xác định

Ví dụ

a Cho hàm số:

3

2

1 , khi 0

0, khi 0

x

e

x

x







Xét tính liên tục của f(x) trên R

Giải

 Với x 0,

3

2

1 ( )

ln(1 )

x

e

f x

x





 liên tục vì là hàm sơ cấp

 Chỉ cần xét tính liên tục của f(x) tại x 0

Ta có: f(0) 0 và

1

ln(1 )

o

x





Do đó hàm số liên tục tại x0 0 Vậy f(x) liên tục trên R

b Cho hàm số:

3 2 2

, khi 2

ax +1, khi 2

x

x

x







Tìm a để f(x) liên tục trên R

Giải

 Với x 2, ( ) 3 2 2 4 2

4

x

f x

x

 



 liên tục vì là hàm sơ cấp

 Với x 2, f x( ) ax 21 liên tục vì là hàm sơ cấp

 Chỉ cần xét tính liên tục của f(x) tại x 2

Ta có: f(2) 4 a1 và

3

lim

24 ( 2)( (2 4) 2 2 4 4)

o

x

f x





0

2 2

lim ( ) lim ax 1 4 1

x x f x x  a

Ta thấy hàm số liên tục trái tại x = 2 Để hàm số liên tục phải tại x = 2 thì

4 1

a    a

16

a  thì f(x) liên tục tại x = 2, hay f(x) liên tục trên R

1.2.4 Điểm gián đoạn

 Định nghĩa xo gọi là điểm gián đoạn của hàm số f(x) nếu f(x) không liên

tục tại xo

 Phân Loại

Loại 1 : lim ( )

0

x f

x

x  và lim ( )

1

x f

x

x  tồn tại hữu hạn Loại 2 : Có ít nhất một giới hạn một bên không tồn tại hữu hạn

Ví Dụ Hàm số y e 1x gián đoạn tại x = 0 Ngoài ra, lim ( ) f x

   và lim ( ) 0 f x

Ý nghĩa hình học

Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a,b] thì đồ thị của nó là một đường liền nối

từ điềm A(a,f(a)) đến B(b,f(b))

1.2.5 Định Lý

Nếu f(x) và g(x) liên tục tại xo thì các hàm f(x)  g(x) , f(x).g(x),

) (

) (

x g

x f

(g(x)0) cũng liên tục tại xo

a) Nếu f(x) liên tục tại xo và g(y) liên tục tại yo= f(xo) thì hàm số hợp g[f(x)] liên tục tại xo

Một số kết quả :

a) Đa thức P(x) = anxn+an-1xn-1+…+a1x+ao liên tục trên R

b) Hàm hữu tỉ f(x) =

) (

) (

x Q

x P

liên tục tại mọi điểm không phải là nghiệm của Q(x) c) Hàm số sơ cấp cơ bản liên tục tại mọi điểm nó xác định

d) Các hàm số sơ cấp liên tục trên miền xác định của nó

1.2.6 Tính chất của hàm số liên tục

a Định Lý (giá trị trung gian)

Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a,b] và f(a).f(b) <0 thì tồn tại c thuộc khoảng (a,b) sao cho f(c) = 0

Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a,b] và f(a).f(b) <0 thì phương trình f(x) = 0 có

ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (a,b)

b Hệ quả

Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a,b] và m f(x)  M với x  [a,b] thì f(x) đạt mọi giá trị trung gian giữa m và M

Phát biểu cách khác :

B

Nếu f(x) liên tục trên [a,b] và m  f(x)  M với x  [a,b] thì :

m M, , c  a b f c, : ( )

Ví Dụ Phương trình e x  3 x có ít nhất một nghiệm thực Thật vậy, xét hàm số

f x e  x Đây là hàm liên tục trên R và f(0)  2 0; (1)f   e 2 0 Theo hệ quả trên phương trình f x( ) 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 1)

BÀI TẬP CHƯƠNG I

Tính các giới hạn

1.1 a) 2

2

2 1 lim

3

x

x



( 2)( 1) lim

( 1)( 3)

x



1

2 1 lim

2 1

x



2

lim

x

x x



 

1.2 a)

) 6 )(

4 2 (

5 3 lim 2

2 3

x x

x x























3 1

1 lim

x x

x

c)

4 16

1 1 lim

2

2





x

1

1 lim



 n

m

x x x

1.3 a)

tgnx

mx

x

sin lim 0

0

cos cos

lim

x

nx mx

x





c)

x x

x x

x 1 sin cos

cos sin

1 lim





0

( 1) ln cos 2 lim

.sin 3 ( 1 1)

x x





 

0

sin lim

1

x

e





(1 )(1 cos ) lim

sin

x x





1

( 1) ( 1) lim

( 1) ln

x x





2

2

0

os2 lim

sin 5 ln(1 )

x x









1.4 a) limsinx sin

x a

a

x a





lim

x

x











x

1 sin

1 lim

0

sinx lim

x

tgx x





x   





lim 1.6 a)

x

x x

x



















1

x

x x

1 3

2 3



















2

) sin 1 (

1

lim(cos )x x