Bài giảng Toán cao cấp A1 - Chương 1: Giới hạn và liên tục

Bài giảng Toán cao cấp A1 - Chương 1: Giới hạn và liên tục được biên soạn bởi ThS. Nguyễn Hoàng Anh Khoa cung cấp cho người học kiến thức về giới hạn và liên tục, định nghĩa hàm số, hàm số ngược; các hàm số sơ cấp cơ bản; định nghĩa dãy số, dãy con, giới hạn. Mời các bạn cùng tham khảo!

BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG CAO ĐẲNG CÔNG NGHIỆP HUẾ

  

BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A1

Th.S NGUYỄN HOÀNG ANH KHOA

Huế, tháng 09 năm 2015

CHƯƠNG 1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.1 Hàm số

1.1.1 Định nghĩa

Cho X, Y là tập con khác rỗng của R Ánh xạ f : X  Y, x  y = f(x) được gọi

là hàm số

x được gọi là biến độc lập

y = f(x) được gọi là giá trị của hàm f tại x

X được gọi là tập xác định của hàm f

Quy ước

Người ta thường viết gọn hàm số bởi đẳng thức y = f(x)

Tập xác định D là tập các giá trị x sao cho f(x) có nghĩa

Tập giá trị T = f(D) = {f(x) | x  D}

Hàm số ngược

Cho hàm số f : X  Y, x  y = f(x)

Nếu mỗi y thuộc Y đều tồn tại duy nhất x thuộc x sao cho f(x) = y Khi đó hám số

g : Y  X

y  x = g(y)

Chú ý: Nếu f có hàm ngược thì:

 f – 1(f(x)) = x và f(f – 1(x))= x

Định lí:

1.1.2 Các hàm số sơ cấp cơ bản

4) Các hàm lượng giác

5) Các hàm lượng giác ngược

2

;

2 

Ký hiệu là y = arcsin x

Vậy hàm

2 2

 





b) Hàm số y = cos x

Hàm ắc-cô-sin là hàm

 





 trong đó cosy = x

c) Hàm số y = tanx

Hàm ắc-tang là hàm

 



 trong đó tany = x

d) Hàm số y = cotx

Hàm ắc-cô-tang là hàm

 







 trong đó coty = x



1.2 Dãy số

1.2.1 Định nghĩa dãy số, dãy con, giới hạn

Cho X, Y là hai tập khác rỗng một quy tắc f đặt tương ứng mỗi phần tử x  X với một và chỉ một phần tử y  Y gọi là một ánh xạ

Ký hiệu

Hay

f : X Y







Dãy con

Giới hạn của dãy số

Định nghĩa 1

sao cho n>n0 thì |un – a| <  Kí hiệu: nlim u a n  , limun = a hay un  a

Định nghĩa 2 (Giới hạn vô hạn)

Cho dãy số (an)n

Chú ý:

 limC = C (C là hằng số)

 lim 1

n

1 0

1.2.2 Tính chất của dãy hội tụ

Định lí 1 Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất

Định lí 2 Mọi dãy hội tụ đều bị chặn

Định lí 3

i) lim(an  bn) = liman  limbn

ii) lim(anbn) = liman.limbn

n n

iv) Nếu an ≤ bn với mọi n > n0 thì liman ≤ limbn

1.3 Giới hạn của hàm số

1.3.1 Định nghĩa

Một số giới hạn cần nhớ

0

x xlim C C 

2



  

x

Tính chất

0

x xlim f (x) L  ,

0

x xlim g(x) L'  thì L  L' Định lí 3: (nguyên lý kẹp)

x xlim h(x) lim g(x) L x x  thì

0

x xlim f (x) L  Định lí 4: Giả sử

0

x xlim f (x) a  ;

0

x xlim g(x) b  Khi đó:

i) x xlim f (x) g(x) 0  a  b

ii) x xlim f (x).g(x) 0 a.b

iii) Nếu b  0 thì

0

x x

f (x) a

1.2.2 Vô cùng bé, vô cùng lớn

a) Vô cùng bé

0

x xlim f (x) 0 

– Nếu

0

x x

f (x)

– Nếu

0

x x

f (x)

ký hiệu là f(x) ~ g(x)

– Nếu

0

x x

f (x)

g(x)

Ứng dụng VCB tương đương để khử dạng vô định 0

0

 

 

x x x x

  

b) Vô cùng lớn

0

x xlim | f (x) |  

– Nếu

0

x x

f (x)

– Nếu

0

x x

f (x)

g(x)

hiệu là f(x) ~ g(x)

x x x x

Chú ý: Khi x  +∞ ta có: ax >> xn >> lnx với a > 1, n > 0

1.4 Hàm số liên tục

1.4.1 Định nghĩa

x xlim f (x) f (x ) 

f liên tục trên (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm x  (a;b)

f liên tục trên [a;b] nếu nó liên tục trên (a;b) và

x alim f (x) f (a); lim f (x) f (b) x b

    1.4.2 Tính chất

Định lí: Mọi hàm số sơ cấp đều liên trên từng khoảng xác định của nó

Định lí: Nếu f là hàm liên tục trên [a; b] thì f nhận mọi giá trị trung gian giữa giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của nó trên [a; b]

Bài tập chương 1

n 3n 10

1

n 1 n







1.2 Tính các giới hạn:

1.3 Xét tính liên tục các của hàm số:

x

,x 0 2





 





 

