Xác suất thống kê câu hỏi 4 điểm

XÁC SUẤT THỐNG KÊ Câu hỏi 4 điểm: CHƯƠNG V: ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ Để kiểm tra trọng lượng của một loại sản phẩm (kg) trong kho, đem cân một số sản phẩm người ta thu được số liệu sau: Trọng lượng 5,5 5,7 5,8 6,0 6,2 6,4 6,5 Số sản phẩm 8 17 25 12 13 10 5 Cho độ tin cậy 95%: Những sản phẩm có trọng lượng từ 6,2kg trở lên là những sản phẩm loại I. Hãy ước lượng tỷ lệ sản phẩm loại I? Muốn sai số khoảng ước lượng giảm đi một nửa thì cần kiểm tra thêm ít nhất bao nhiêu sản phẩm. (Biết trọng lượng sản phẩm là biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn) Giải Gọi p là tỷ lệ sản phẩm loại I Ta có: n = 90; fn = 2890; γ = 0,95 Khoảng ước lượng p ∈ (fn ɛ; fn + ɛ) fn = 2890 = 0,31 Từ ϕ0 (U_(α2) ) = (γ )2 = 0,952 = 0,475 Þ U_(α2) = 1,96 Suy ra: ɛ = U_(α2) × √((f_n × (1 f_n))n) ⟺ ɛ = 1,96 × √((0,31 × (1 0,31))90) Þ ɛ = 0,0956 Vậy ở độ tin cậy 95%, tỷ lệ sản phẩm loại I: p ∈ (fn ɛ; fn + ɛ) = (0,31 0,0956; 0,31 + 0,0956) = (0,2144; 0,4056) = (21,44%; 40,56%) Sai số ước lượng giảm đi một nửa: ɛ’ = ɛ2 = 0,09562 = 0,0478 n ≥ (U_(α2)2 × f_n (1 f_n))ɛ(,2) ⟺ n ≥ (〖1,96〗2 × 0,31 × (1 0,31))〖0,0478〗2 ⟺ n ≈ 359,64 Þ n = 360 sản phẩm Vậy cần kiểm tra thêm ít nhất: 360 90 = 270 sản phẩm

XÁC SUẤT THỐNG KÊ Câu hỏi 4 điểm:

CHƯƠNG V: ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ

1 Để kiểm tra trọng lượng của một loại sản phẩm (kg) trong kho, đem cân một

số sản phẩm người ta thu được số liệu sau:

Cho độ tin cậy 95%:

a Những sản phẩm có trọng lượng từ 6,2kg trở lên là những sản phẩm loại I Hãy ước lượng tỷ lệ sản phẩm loại I?

b Muốn sai số khoảng ước lượng giảm đi một nửa thì cần kiểm tra thêm ít nhất bao nhiêu sản phẩm

(Biết trọng lượng sản phẩm là biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn)

Giải

a Gọi p là tỷ lệ sản phẩm loại I

Ta có: n = 90; fn = 2890; γ = 0,95

Khoảng ước lượng p ∈ (fn - ɛ; fn + ɛ)

 fn = 28

90 = 0,31

 Từ ϕ0 (U α

2 ) = γ2 = 0,952 = 0,475

Þ U α

2= 1,96

Suy ra: ɛ = U α

2× √f n ×(1− f n)

n

⟺ ɛ = 1,96 × √0,31×(1 −0,31)90

Þ ɛ = 0,0956

Vậy ở độ tin cậy 95%, tỷ lệ sản phẩm loại I:

p ∈ (fn - ɛ; fn + ɛ) = (0,31 - 0,0956; 0,31 + 0,0956)

= (0,2144; 0,4056) = (21,44%; 40,56%)

b Sai số ước lượng giảm đi một nửa: ɛ’ = ɛ2 = 0,09562 = 0,0478

n ≥ U α2

2

× f n(1 − fn)

ɛ ,2 ⟺ n ≥ 1,962× 0,31×(1 −0,31)

Þ n = 360 sản phẩm

Vậy cần kiểm tra thêm ít nhất: 360 - 90 = 270 sản phẩm

2 Để khảo sát chiều cao X của một giống cây trồng sau một thời gian gieo trồng, quan sát một mẫu thu được số liệu sau:

X 40 - 45 45 -50 50 - 55 55 - 60 60 - 65 65 -70 70 - 75 75 - 80

Cho độ tin cậy 95%:

a Những cây có chiều cao dưới 55cm là những cây tăng trưởng kém Hãy ước lượng tỷ lệ cây tăng trưởng kém

b Muốn sai số của ước lượng trên giảm đi một nửa cần khảo sát thêm ít nhất bao nhiêu cây giống nữa?

Giải

a Gọi p là tỷ lệ cây tăng trưởng kém

Ta có: n = 100; fn = 10037 ; γ = 0,95

Khoảng ước lượng p ∈ (fn - ɛ; fn + ɛ)

 fn = 37

100 = 0,37

 Từ ϕ0 (U α

2 ) = γ2 = 0,952 = 0,475

Þ U α

2= 1,96

Suy ra: ɛ = U α

2× √f n ×(1− f n)

n

⟺ ɛ = 1,96 × √0,37×(1 −0,37)100

Þ ɛ = 0,0946

Vậy ở độ tin cậy 95%, tỷ lệ cây tăng trưởng kém:

p ∈ (fn - ɛ; fn + ɛ) = (0,37 - 0,0946; 0,37 + 0,0946)

= (0,2754; 0,4646) = (27,54%; 46,46%)

b Sai số của ước lượng giảm đi một nửa: ɛ’ = ɛ2 = 0,09462 = 0,0473

n ≥ U α2

2

× f n(1 − fn)

ɛ ,2 ⟺ n ≥ 1,962× 0,37 ×(1− 0,37)

Þ n = 400 cây giống

Vậy cần khảo sát thêm ít nhất: 400 - 100 = 300 cây giống

3 Để nghiên cứu nhu cầu một loại hàng, người ta khảo sát nhu cầu của mặt hàng này ở 500 hộ gia đình ở địa bàn A có 5000 hộ dân, thu được số liệu sau: Nhu cầu (kg/tháng) 0 - 2 2 - 4 4 - 6 6 - 8 8 - 10

Cho độ tin cậy 95%:

a Những hộ sử dụng từ 8 kg/ tháng trở lên là những hộ có nhu cầu cao Hãy ước lượng tỷ lệ hộ có nhu cầu cao trên địa bàn

b Hãy ước lượng số hộ có nhu cầu cao trên địa bàn

Giả thiết nhu cầu về mặt hàng này của các hộ là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn.

Giải

a Gọi p là tỷ lệ hộ có nhu cầu cao trên địa bàn

Ta có: n = 500; fn = 50040 ; γ = 0,95

Khoảng ước lượng p ∈ (fn - ɛ; fn + ɛ)

 fn = 50040 = 0,08

 Từ ϕ0 (U α

2 ) = γ2 = 0,952 = 0,475

Þ U α

2= 1,96

Suy ra: ɛ = U α

2× √f n ×(1− f n)

n

⟺ ɛ = 1,96 × √0,08×(1 −0,08)500

Þ ɛ = 0,0238

Vậy ở độ tin cậy 95%, tỷ lệ hộ có nhu cầu cao trên địa bàn:

p ∈ (fn - ɛ; fn + ɛ) = (0,08 - 0,0238; 0,08 + 0,0238)

= (0,0562; 0,1038) = (5,62%; 10,38%)

b Ta có: N = 5000

Gọi M là số hộ có nhu cầu cao

p = M N Þ M = p × N = p × 5000

Vậy số hộ có nhu cầu cao là (281; 519)

Hướng dẫn: Những bài liên quan đến kích thước của mẫu hay của tổng thể thì dùng

công thức p = M N

4 Số liệu thống kê về doanh số bán hàng (triệu đồng/ngày) của một siêu thị trong một số ngày được cho ở bảng số liệu sau:

Doanh số 20-25 25-30 30-35 35-40 40-45 45-50 50-55 55-60 60-65

Cho độ tin cậy 95%:

a Những ngày có doanh số bán hàng từ 50 triệu đồng trở lên là những ngày bán đắt Hãy ước lượng tỷ lệ những ngày bán đắt ở siêu thị này

b Muốn sai số của ước lượng giảm đi một nửa thì cần khảo sát doanh số của ít nhất bao nhiêu ngày?

Giải

a Gọi p là tỷ lệ những ngày bán đắt ở siêu thị này

Ta có: n = 150; fn = 15031 ; γ = 0,95

Khoảng ước lượng p ∈ (fn - ɛ; fn + ɛ)

 fn = 15031 = 0,21

 Từ ϕ0 (U α

2 ) = γ2 = 0,952 = 0,475

Þ U α

2= 1,96

Suy ra: ɛ = U α

2× √f n ×(1− f n)

n

⟺ ɛ = 1,96 × √0,21×(1 −0,21)150

Þ ɛ = 0,0651

Vậy ở độ tin cậy 95%, tỷ lệ những ngày bán đắt ở siêu thị này:

p ∈ (fn - ɛ; fn + ɛ) = (0,21 - 0,0651; 0,21 + 0,0651)

= (0,1449; 0,2751) = (14,49%; 27,51%)

b Sai số của ước lượng giảm đi một nửa: ɛ’ = ɛ2 = 0,06512 = 0,0326

n ≥ U α2

2× f n(1 − fn)

ɛ ,2 ⟺ n ≥ 1,962× 0,21×(1 −0,21)

Þ n = 600 ngày

Vậy cần khảo sát doanh số của ít nhất: 600 - 150 = 450 ngày

5 Một đại lý sữa theo dõi việc bán hàng trong một số ngày thu được bảng số liệu sau:

Biết số thùng sữa bán mỗi ngày là biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn

Cho độ tin cậy 95%:

a Hãy ước lượng số thùng sữa trung bình bán ra hàng ngày

b Muốn sai số khoảng ước lượng giảm đi một nửa cần theo dõi thêm ít nhất bao nhiêu ngày?

Giải

a Gọi m là số thùng sữa trung bình bán ra hàng ngày

Khoảng ước lượng m ∈ (´x- ɛ; ´x + ɛ)

Ta có: n = 100; ´x = 37; S x = 11,7207; γ = 0,95

 Từ ϕ0 (U α

2 ) = γ2 = 0,952 = 0,475

Þ U α

2= 1,96

Suy ra: ɛ = U α

2× S x

⟺ ɛ = 1,96 × 11,7207

Þ ɛ = 2,2973

Vậy ở độ tin cậy 95%, số thùng sữa trung bình bán ra hàng ngày:

m ∈ (´x- ɛ; ´x + ɛ)

= (37 - 2,2973; 37 + 2,2973)

= (34,7027; 39,2973) thùng

b Sai số khoảng ước lượng giảm đi một nửa: ɛ’ = ε2 = 2,29732 = 1,1487

n ≥ U α

2

2

× S x

2

ε '2

n

⟺ ≥ 1,962 × 11,7207

2

Vậy cần theo dõi thêm ít nhất: 400 - 100 = 300 ngày

6 Quan sát tuổi thọ của một loài côn trùng cho bảng kết quả:

Xi là tuổi thọ, ni là số con côn trùng có tuổi thọ tương ứng

Tuổi thọ của mỗi con côn trùng là biến ngẫu nhiên X (ngày) có phân phối chuẩn.

Cho độ tin cậy 95%:

a Hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của loại côn trùng này.

b Muốn sai số của ước lượng giảm đi 3 lần cần quan sát ít nhất bao nhiêu con côn trùng loại này?

Giải

a Gọi m là tuổi thọ trung bình của loại côn trùng này

Khoảng ước lượng m ∈ (´x- ɛ; ´x + ɛ)

Ta có: n = 100; ´x = 20,3; S x = 7,2777; γ = 0,95

 Từ ϕ0 (U α

2 ) = γ2 = 0,952 = 0,475

Þ U α

2 = 1,96

Suy ra: ɛ = U α

2× S x

⟺ ɛ = 1,96 × 7,2777

Þ ɛ = 1,4264

Vậy ở độ tin cậy 95%, tuổi thọ trung bình của loại côn trùng này:

m ∈ (´x- ɛ; ´x + ɛ) = (20,3 - 1,4264; 20,3 + 1,4264) = (18,8736; 21,7264) tuổi

b Sai số ước lượng giảm đi 3 lần: ɛ’ = ε3 = 1,42643 = 0,4755

n ≥ U α

2

2

× S x

2

ε '2

n

⟺ ≥ 1,962 × 7,2777

2

0,4755 2

n

⟺ ≥ 899,91

Þ n = 900 con

Vậy cần quan sát ít nhất 900 con côn trùng loại này

7 Trọng lượng của một loại thực phẩm đóng hộp do một nhà máy tự động sản xuất là một biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Cân thử 25 hộp thực phẩm loại này ta thu được bảng sau:

Với độ tin cậy 95%:

a Hãy ước lượng trọng lượng trung bình của các hộp thực phẩm do máy đó sản xuất ra

b Muốn độ chính xác của ước lượng không quá 0,2 g thì cần thêm ít nhất bao nhiêu hộp nữa.

Giải

a Gọi m là trọng lượng trung bình của các hộp thực phẩm do máy đó sản xuất ra Khoảng ước lượng m ∈ (´x- ɛ; ´x + ɛ)

Ta có: n = 25; ´x = 59,8; S x = 1,1902; γ = 0,95

 Từ ϕ0 (U α

2 ) = γ2 = 0,952 = 0,475

Þ U α

2 = 1,96

Mà n = 25 < 30

Cho nên, suy ra: ε = T(γ n −1) × S x

ε =

⟺ T(25 −1)0,95 × 1,1902

ε =

ε = 2,0639

5

Þ ε = 0,4913

Vậy ở độ tin cậy 95%, trọng lượng trung bình của các hộp thực phẩm do máy đó sản xuất ra:

m ∈ (´x- ɛ; ´x + ɛ)

= (59,8 - 0,4913; 59,8 + 0,4913)

= (59,3087; 60,2913) gam

b Độ chính xác của ước lượng không quá 0,2g Þ ɛ’ = 0,2

n ≥ U α

2

2

× Sx

2

ε '2

n

⟺ ≥ 1,962 × 1,1902

2

0,22

n

⟺ ≥ 136,05

Þ n = 137 hộp

Vậy cần thêm ít nhất: 137 - 25 = 112 hộp nữa

8 Điều tra mức chi tiêu (tính theo năm) cho một loại thực phẩm của 100 hộ gia đình có 4 người ở một thành phố ta có bảng số liệu sau:

Chi tiêu (triệu đồng) 10,5 10,6 10,7 10,8 10,9 11,0

Giả thiết rằng mức chi tiêu cho thực phẩm là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn

Cho độ tin cậy 95%:

a Hãy ước lượng mức chi tiêu trung bình về loại thực phẩm đó của mỗi hộ gia đình nói trên

b Muốn sai số của ước lượng giảm đi một nửa cần điều tra thêm ít nhất bao nhiêu hộ gia đình nữa?

c Hãy ước lượng tỷ lệ hộ gia đình có mức chi tiêu từ 10,8 triệu đồng trở lên?

Giải

a Gọi m là mức chi tiêu trung bình về loại thực phẩm đó của mỗi hộ gia đình

Khoảng ước lượng m ∈ (´x- ɛ; ´x + ɛ)

Ta có: n = 100; ´x = 10,755; S x = 0,1438; γ = 0,95

 Từ ϕ0 (U α

2 ) = γ2 = 0,952 = 0,475

Þ U α

2 = 1,96

Do: n = 100 > 30

Suy ra: ɛ = U α

2× S x

⟺ ɛ = 1,96 × 0,1438

√100

Þ ɛ = 0,0282

Vậy ở độ tin cậy 95%, mức chi tiêu trung bình về loại thực phẩm đó của mỗi hộ gia đình:

m ∈ (´x- ɛ; ´x + ɛ)

= (10,755 - 0,0282; 10,755 + 0,0282)

= (10,7268; 10,7832) triệu đồng

b Sai số của ước lượng giảm đi một nửa: ɛ’ = ε2 = 0,02822 = 0,0141

n ≥ U α

2

2

× S x

2

ε '2

n

⟺ ≥ 1,962 × 0,1438

2

0,0141 2

n

⟺ ≥ 399,57

Þ n = 400 hộ

Vậy cần điều tra thêm ít nhất: 400 - 100 = 300 hộ gia đình nữa

c Gọi p là tỷ lệ hộ gia đình có mức chi tiêu từ 10,8 triệu đồng trở lên

Ta có: fn = 10055 = 0,55

Suy ra: ɛ = U α

2× √f n ×(1− f n)

n

⟺ ɛ = 1,96 × √0,55×(1 −0,55)100

Þ ɛ = 0,0975

Vậy ở độ tin cậy 95%, tỷ lệ hộ gia đình có mức chi tiêu từ 10,8 triệu đồng trở lên:

p ∈ (fn - ɛ; fn + ɛ)

= (0,55 - 0,0975; 0,55 + 0,0975)

= (0,4525; 0,6475)

= (45,25%; 64,75%)

9 Để nghiên cứu tuổi thọ của một loại bóng đèn sau khi cải tiến kỹ thuật người

ta lắp thử 25 bóng và thu được kết quả sau:

Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của loại bóng đèn trên, biết tuổi thọ bóng đèn là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn

Giải

Gọi m là tuổi thọ trung bình của loại bóng đèn trên

Khoảng ước lượng m ∈ (´x- ɛ; ´x + ɛ)

Ta có: n = 25; ´x = 1087; S x = 41,5331; γ = 0,95

 Từ ϕ0 (U α

2 ) = γ2 = 0,952 = 0,475

Þ U α

2 = 1,96

Mà n = 25 < 30

Cho nên, suy ra: ε = T(γ n −1) × S x

ε =

⟺ T(25 −1)0,95 × 41,5331

√25

ε =

√25

ε = 2,0639

5

Þ ε = 17,1441

Vậy ở độ tin cậy 95%, tuổi thọ trung bình của loại bóng đèn trên:

m ∈ (´x- ɛ; ´x + ɛ)

= (1087 - 17,1441; 1087 + 17,1441)

= (1069,8559; 1104,1441) giờ

10 Điều tra ngẫu nhiên 100 hộ ở huyện A thì thấy có 8 hộ nghèo Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng:

a Tỷ lệ hộ nghèo tối thiểu ở huyện A.

b Số tối đa hộ dân trong huyện A biết số hộ nghèo trong huyện là 1800 hộ.

Giải

a Gọi p là tỷ lệ hộ nghèo tối thiểu ở huyện A

Ta có: n = 100; fn = 1008 ; γ = 0,95

Khoảng ước lượng p ∈ (fn - ɛ; +∞)

 fn = 1008 = 0,08

 Từ ϕ0 (U α ) = γ - 0,5 = 0,95 - 0,5 = 0,45

Þ U α= 1,645

Suy ra: ɛ = U α× √f n ×(1− f n)

n

⟺ ɛ = 1,645 × √0,08×(1 −0,08)

100

Þ ɛ = 0,0446

Vậy ở độ tin cậy 95%, tỷ lệ hộ nghèo tối thiểu ở huyện A

p ∈ (fn - ɛ; +∞)

= (0,08 - 0,0446; +∞)

= (0,0354; +∞)

= (3,54%; +∞)

b Ta có: M = 1800

Gọi N là số tối đa hộ dân trong huyện A

p = M N Þ N = M p = 0,0 3541800 = 50847 hộ

Vậy số tối đa hộ dân có trong huyện A là 50847

11 Tuổi thọ của mỗi con côn trùng là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Quan sát tuổi thọ của một loại côn trùng ta có bảng kết quả sau:

Tuổi thọ (ngày) 5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 30-36

Với độ tin cậy 95%:

a Hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của các con côn trùng

b Để sai số của ước lượng không vượt quá nửa ngày thì cần điều tra mẫu có kích thước ít nhất là bao nhiêu?

c Hãy ước lượng tỷ lệ côn trùng có tuổi thọ không quá 25 ngày ở mức tối đa.

Giải

a Gọi m là tuổi thọ trung bình của các con côn trùng

Khoảng ước lượng m ∈ (´x- ɛ; ´x + ɛ)

Ta có: n = 100; ´x = 20,3; S x = 7,2777; γ = 0,95

 Từ ϕ0 (U α

2 ) = γ2 = 0,952 = 0,475

Þ U α

2 = 1,96

Do: n = 100 > 30

Suy ra: ɛ = U α

2× S x

⟺ ɛ = 1,96 × 7,2777

Þ ɛ = 1,4264

Vậy ở độ tin cậy 95%, tuổi thọ trung bình của các con côn trùng:

m ∈ (´x- ɛ; ´x + ɛ)

= (20,3 - 1,4264; 20,3 + 1,4264)

= (18,8736; 21,7264) tuổi

b Để sai số ước lượng không vượt quá nửa ngày Þ ɛ’ = 0,5

n ≥ U α

2

2

× S x

2

ε '2

n

⟺ ≥ 1,962 × 7,2777

2

0,5 2

n

⟺ ≥ 813,88

Þ n = 814

Vậy cần điều tra mẫu có kích thước ít nhất là 814

c Gọi p là tỷ lệ côn trùng có tuổi thọ không quá 25 ngày ở mức tối đa

Khoảng ước lượng p ∈ (-∞; fn + ε)

 fn = 10075 = 0,75

 Từ ϕ0 (U α ) = γ - 0,5 = 0,95 - 0,5 = 0,45

Þ U α= 1,645

Suy ra: ɛ = U α× √f n ×(1− f n)

n

⟺ ɛ = 1,645 × √0,75×(1 −0,75)

100

Þ ɛ = 0,0712

Vậy ở độ tin cậy 95%, tỷ lệ côn trùng có tuổi thọ không quá 25 ngày ở mức tối đa:

p ∈ (-∞; fn + ε)

= (-∞; 0,75 + 0,0712)

= (-∞; 0,8212)

= (-∞; 82,12%)

12 Điều tra ngẫu nhiên mức doanh thu của 100 hộ kinh doanh mặt hàng A ta thu được bảng số liệu sau:

Doanh thu (triệu đồng) 18-20 20-22 22-24 24-26 26-28

Với độ tin cậy 95%:

a Hãy ước lượng tỷ lệ hộ kinh doanh có doanh thu trên 24 triệu đồng.

b Để sai số của ước lượng không vượt quá 5% thì cần điều tra thêm ít nhất bao nhiêu hộ nữa?

c Hãy ước lượng doanh thu trung bình tối đa của các hộ kinh doanh trên.

Giải

a Gọi p là tỷ lệ hộ kinh doanh có doanh thu trên 24 triệu đồng

Ta có: n = 100; fn = 10038 ; γ = 0,95

Khoảng ước lượng p ∈ (fn - ɛ; fn + ɛ)

 fn = 3 8

10 0 = 0,38

 Từ ϕ0 (U α

2 ) = γ2 = 0,952 = 0,475

Þ U α

2= 1,96

Suy ra: ɛ = U α

2× √f n ×(1− f n)

n

⟺ ɛ = 1,96 × √0,38×(1 −0,3 8)10 0

Þ ɛ = 0,0951

Vậy ở độ tin cậy 95%, tỷ lệ hộ kinh doanh có doanh thu trên 24 triệu đồng

p ∈ (fn - ɛ; fn + ɛ) = (0,38 - 0,0951; 0,38 + 0,0951)

= (0,2849; 0,4751) = (28,49%; 47,51%)

b Để sai số của ước lượng không vượt quá 5% Þ ɛ’ = 0,05

n ≥ U α2

2

× f n(1 − fn)

ɛ ,2 ⟺ n ≥ 1,962× 0,38 ×(1 − 0,38)

0,05 2 ⟺ n ≈ 362,03

Þ n = 363 hộ

Vậy cần điều tra thêm ít nhất: 363 - 100 = 263 hộ nữa

c Gọi m là doanh thu trung bình tối đa của các hộ kinh doanh trên

Khoảng ước lượng m ∈ (-∞; ´x + ε)

 ´x = 23,18

 Từ ϕ0 (U α ) = γ - 0,5 = 0,95 - 0,5 = 0,45

Þ U α= 1,645

Suy ra: ε = U α × S x

√n ⟺ ε = 1,645 ×2,2935

√100 ⟺ ε = 0,3773 Vậy ở độ tin cậy 95%, doanh thu trung bình tối đa của các hộ kinh doanh trên:

m ∈ (-∞; ´x + ε) = (-∞; 23,18 - 0,3773) = (-∞; 22,8027) triệu đồng

13 Chiều cao của thanh niên độ tuổi từ 18 đến 20 ở một vùng A là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn Quan sát chiều cao (cm) của một số thanh niên từ 18 đến 20 tuổi được chọn ngẫu nhiên ở vùng A người ta có kết quả cho ở bảng dưới đây:

Chiều cao 154-156 156-158 158-160 160-162 162-164 164-166 166-168

Những thanh niên có chiều cao từ 162 cm trở lên là những thanh niên có chiều cao tăng trưởng tốt Hãy ước lượng tỷ lệ thanh niên có chiều cao tăng trưởng tốt với độ tin cậy 95%.

Giải

Gọi p là tỷ lệ thanh niên có chiều cao tăng trưởng tốt

Ta có: n = 100; fn = 10042 ; γ = 0,95

Khoảng ước lượng p ∈ (fn - ɛ; fn + ɛ)

 fn = 42

10 0 = 0,42

 Từ ϕ0 (U α

2 ) = γ2 = 0,952 = 0,475

Þ U α

2= 1,96

Suy ra: ɛ = U α

2× √f n ×(1− f n)

n ⟺ ɛ = 1,96 × √0, 42×(1 −0,42)10 0 Þ ɛ = 0,0967 Vậy ở độ tin cậy 95%, tỷ lệ thanh niên có chiều cao tăng trưởng tốt:

p ∈ (fn - ɛ; fn + ɛ) = (0,42 - 0,0967; 0,42 + 0,0967) = (0,3233; 0,5167) = (32,33%; 51,67%)

14 Thu nhập của công nhân làm việc ở một khu công nghiệp là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn Quan sát thu nhập (triệu đồng/ tháng) của một số công nhân làm việc ở một khu công nghiệp ta có kết quả cho ở bảng dưới đây:

Thu nhập 3,0-3,5 3,5-4,0 4,0-4,5 4,5-5,0 5,0-5,5 5,5-6,0 6,0-6,5

Những công nhân có thu nhập từ 5 triệu đồng/ tháng trở lên là những người có thu nhập khá Hãy ước lượng tỷ lệ tối thiểu người có thu nhập khá ở khu công nghiệp này với độ tin cậy 99%.

Giải

Gọi p là tỷ lệ tối thiểu người có thu nhập khá ở khu công nghiệp này

Ta có: n = 100; fn = 10042 ; γ = 0,99

Khoảng ước lượng p ∈ (fn - ɛ; +∞)

 fn = 42

10 0 = 0,42

 Từ ϕ0 (U α ) = γ - 0,5 = 0,99 - 0,5 = 0,49

Þ U α= 2,33

Suy ra: ɛ = U α× √f n ×(1− f n)

n