Hình học cao cấp part 7 doc

Từ các tính chất của ánh xạ xạ ảnh ta suy ra: œ Trong không gian xạ ánh P°, một phép biến đổi xạ ảnh B Trong không gian xạ ảnh P°, phép biến đổi xạ ảnh biến một m-phẳng thành một m-phắẳn

§4 ANH XA XA ANH VA BIEN DOI XA ANH

1 ANH XA XA ANH

a) Dinh nghia.Cho hai khéng gian xa anh cé cig sé chiéu

là P° và P” lần lượt liên kết với hai không gian vectơ V"*! và

V*!, Một ánh xạ f: P° — P” được gọi là ánh xạ xợ ảnh nếu có một phép đẳng cấu tuyến tính ọ: V1 _—; V°*! sao cho nếu ã là vectơ đại điện của điểm A cia P* thi ọ(á ) là vectơ đại điện của điểm KA) thuộc P”"

Ta nói rằng ánh xạ xạ ảnh f được cảm sinh bởi phép đẳng

cấu tuyến tính ọ

b) Tinh chất

œ) Từ định nghĩa trên ta suy ra ánh xạ xạ ảnh là một song ánh và do đó người ta còn gọi ánh xạ xạ ảnh là phép đẳng cấu xạ ảnh Nếu f: P" -› P” là ánh xạ xạ ảnh cảm sinh bởi

phép đẳng cấu tuyến tính ọ: V°* _„ V"?! thì ƒ 1: PP?" — P°là ánh xạ xạ ảnh cảm sinh bởi 9}: Wt > ye"

6) Một lớp các phép đẳng cấu tuyến tính vị tự với nhau

biến không gian vectơ V"*! thành không gian vectơ V”*! cùng

cảm sinh ra một ánh xạ xạ anh f: P" > P” và ngược lại mỗi phép ánh xạ xạ ảnh £: P° —› P” đều được cảm sinh bởi một lớp các phép đẳng cấu tuyến tính vị tự với nhau biến V**' thành

yon

+) Qua ảnh xạ xạ ảnh f: P" -›P°* một hệ điểm độc lập của P" biến thành một hệ điểm độc lập của P”" và biến một hệ điểm không độc lập của P° thành một hệ điểm không độc lập của P” ÀA) Nếu f£ Pˆ - P° và g: P” —P"”" là hai ánh xạ xạ ảnh

lần lượt được cảm sinh béi g: WV"! + VW" va y: Vt = em

thi tich gof là ánh xạ xạ ảnh được cảm sinh bởi tich yoo

175

c) Binh Hi Cho n+2 diém Aj, Ao,” ,.Aj33.thude P” trong dé bất kì hệ n+1 điểm nào cũng độc lập và cho hệ n+1 diém A, Avo, , A’nsg thuée P™ cũng có tính chất như vậy Khi đó có một ánh xạ xạ ảnh duy nhất f: P" -› P” sao cho fAj) = Ai với

Chứng minh

Trong P° và P” ta lần lượt chọn các mục tiêu xạ ảnh (AI, :

Anes Anew) va (TÀI, Nany Noel Chon lêi,suẽ,j¡} và

(ẽ1, ,en,¡} là hai cơ sở trong hai không gian vectơ lần lượt ứng

Khi đó giữa hai khéng gian vecto V""" va V"*! c6 mot phép

đẳng cấu tuyến tính ọ duy nhất xác định bởi hai cơ sở Í€,} và

fej} voi = 1,2,., n41 Ta c6 96) = 6, i= 1,2 ntl

Goi f P® > P” 1a anh xa xa anh cdm sinh béi phép đẳng cấu tuyến tính ọ nói trên thì rõ ràng là:ÑA,) = A? với i = 1,2, , n+1 và vì

(8) =0( $8] - SoG) = Le =e nen Raya) = Nw

Giả sử có một ánh xa xa anh f’: P” > P” cing thoa man điều kiện f’ (A) = A’j véii = 1,2, , n+2 ta cdn ching minh f'= f Goi go: V"" + VW"! la phép đẳng cấu tuyến tính cảm sinh ra ánh xạ xạ ảnh f“ Ta có @`(8,) =À,& với ¡= 1,2,., n+l và À¡ z 0

vì các vectơ A¡@ cũng đại điện cho các điểm A) với ¡ = 1,2, , ntl

176

Hon nia 9'(é)= [Ss] =D of6,)= 5 As8; voi các 4; # 0 (1)

Vì hệ n+1 vectơ Í6;} độc lập tuyến tính nên ta e6 4 = A; véi

i= 1,2,., n+1 Vậy ta có 9'(6,) = 6; hay @” va @ vị tự với nhau

Do đó ở và ọ cùng cảm sinh ra một phép đẳng cấu xạ ảnh đ) Định lí : Qua ánh xạ xạ ảnh f: P" P” một m—phẳng cúa P° biến thành một m—phẳng của P”^

Chúng minh

Chọn trong P” một mục tiêu xạ ảnh (A;; E) Ta có:

f(A¿; E]) = {A4; E’} thude P™

Ta c6 thé chon {A’,; E} làm một mục tiêu xạ ảnh của P” và khi đó tọa độ của một điểm X e P*° đối với mục tiêu {A;; E} sẽ hoàn toàn giống như tọa độ của điểm fX) e P” đối với mục tiêu A’; B’} Do dé phương trình của m-phẳng P” đối với nục tiêu {A¿ B] sẽ hoàn toàn giống như phương trình của fP”) đối với mục tiêu |À?; E) Vậy fP”) là một m-phẳng

CHỦ Ý: Vì ánh xạ xạ ảnh biến đường thẳng thành đường thẳng nên người ta nói rằng ánh xạ xạ ảnh có tính chất cộng tuyến

ảnh Phép biến đổi xạ ảnh này được cảm sinh bởi phép biến đổi tuyến tính ọ: V991 „ VP",

b)Tính chất Từ các tính chất của ánh xạ xạ ảnh ta suy ra: œ) Trong không gian xạ ánh P°, một phép biến đổi xạ ảnh

B) Trong không gian xạ ảnh P°, phép biến đổi xạ ảnh biến một m-phẳng thành một m-phắẳng Vì phép biến đổi xạ ảnh biến đường thắng thành đường thẳng nên người ta còn gọi

nó là phép cộng tuyến

e) Phương trình của phép biến đổi xạ ảnh

a) Lap phương trình Gọi f: P° -› P° là phép biến đổi xa ảnh cảm sinh bởi phép biến đổi tuyến tính ọ: V" - V"*1, Trong P`° ta chọn một mục tiêu xạ ảnh {A;; E] và trong V°* ta

có cơ sở tương ứng là Í{$,} Qua phép biến đổi xạ ảnh f, đối với mục tiêu xạ ảnh cho trước, một điểm X có tọa độ (Xi,Xa, ,Xa¿l) biến thành điểm X' có tọa độ (xì, xa, ,Xa¿¡) Ta hãy tìm sự liên hệ giữa tọa độ (xì, Xe, Xn+1) của điểm X và tọa độ (xì, xa,

os uot) cba điểm X? = 1X)

Khi d6 trong V""! 1a không gian vectơ liên kết với không gian xạ ảnh P°, vectơ x có tọa độ (xị, Xa, ,Xa¿i) đại điện cho điểm X và vectơ š' có tọa độ (Œx'\, x’s, X'ne1) dai dién cho diém X' = KX) Ta có vectơ ọ(% ) cũng đại điện cho điểm X° = fŒX) nên x’ = kẹ(%) với k ¥ 0

Do đó nếu gọi B là ma trận của phép bién déi tuyén tinh o

178

đối với cơ sở ÍS,}thì ta có phương trình của phép biến đổi xa

ảnh f đối với mục tiêu {A¡; E} tương ứng là:

[x’} = k B [x] v6i-k #0

trong đó B là ma trận vuông cấp n+1 không suy biến

Nếu gọi Í;} = |o(€,)} với C là ma trận chuyển từ cơ sở fe}

sang cơ sở {6} thì ta có thể viết phương trình của phép biến đổi xạ ảnh f nói trên như sau:

Công thức này nêu lên x

sự liên hệ về tọa độ của cùng

và {A’; E’} trong dé [x’] la

tọa độ của điểm X’ déi với

mục tiêu {A;; E} va [x] 14 toa

độ của điểm X' đối với mục {A; E}

tiéu {Aj; E’)} = fA; E}) còn

đã chọn sao cho f(A;) = A) với ¡ = 1,2,3 và f(E) = E

179

° Ai(1,0,0) -> A';(0,1,1) nên ta có:

180

Vậy ta có phương trình của phép biến đổi xạ ảnh f đối với mục

kx, = 2x, + Xy kx; = 2x; +X, NHẬN XÉT Ta có thể giải bài toán trên đây bằng một cách khác gọn hơn như sau:

Gọi ọ là phép biến đổi tuyến tính cảm sinh ra phép biến đổi

xạ ảnh f và gọi €1,es,6a,e là các vectơ lấn lượt đại diện cho các điểm A, A›, A’s, E Ta 06:

6=6, +6, +6,

181

2 1-0 Vậy ta có phương trình của phép biến đổi xạ ảnh f là

k[x] = B[x]

182

“es SE

r

d)Nhóm các phép biến đổi xạ ảnh và hình học xạ ảnh

œ) Định lí Tập hợp các phép biến đổi xạ ảnh của không gian xạ ảnh P" lập thành một nhóm với phép toán lấy tích các phép biến đối

Chứng minh

* Trước hết ta chứng minh rằng tích của bai phép biến đối

xạ ảnh f¡,f; là một phép biến đổi xạ ảnh Thực vậy, gọi ø¡, @› là hai phép biến đổi tuyến tính lần lượt cảm sinh ra hai phép biến đổi xạ ảnh nói trên.Khi đó ta có phép biến đối tuyến tính tích là ọ =0ze@\ cảm sinh ra phép biến đổi xạ ảnh f = fo of;

+ Gọi f 1A phép biến đổi xạ ảnh được cấm sinh bởi phép biến đổi tuyến tính ọ Khi đó @ ` cũng là một phép biến đổi tuyến tính sẽ cảm sinh ra phép biến đổi xạ ảnh f' Vậy đảo ngược của phép biến đổi xạ ảnh f là một phép biến đổi xạ ảnh

Từ đó ta kết luận rằng tập hợp các phép biến đổi xạ ảnh của không gian xạ ảnh P" lập thành một nhóm Nhóm này đẳng cấu với nhóm các phép biến đối tuyến tính đối với nhóm các phép vị tự trong không gian vectơ V"*!,

Người ta còn gọi nhóm các phép biến đổi xạ ảnh trong P° là nhóm các phép biến đổi cộng tuyến và ta thường kí hiệu nhóm này là nhóm ⁄⁄'

B)Hinh hee xa anh: Hình học xa ảnh n chiều nghiên cứu những tính chất bất biến qua nhóm các phép biến đổi xạ ảnh #“ Những tính chất được nghiên cứu trong hình học xạ ảnh được gọi là những fíh chất xợ ảnh Thí du phép biến đổi xa

ảnh f biến một m—phẳng thành một m—phẳng Vậy m-phẳng là một khái niệm xạ ảnh Ngoài ra ta còn có các tính chất xạ ảnh khác như tính chất thẳng hàng của 5a điểm, tính chất đồng quy của các đường thẳng Sau này trong các phần tiếp theo của giáo trình chúng ta sẽ được biết thêm các khái niệm xạ ảnh khác

183

Trước đây trong hình học añn và hình học Ơclit ta đã có địp nói đến các khái niệm như sự song song của hai đường thẳng, sự vuông góc của hai đường thắng, độ đài của một đoạn thẳng, sự đồng dạng của hai tam giác v.v Tất cả những khái niệm đó đều không phải là khái niệm xạ ảnh vì chúng không phải là các bất biến của nhóm các phép biến đổi xạ ánh Việc nghiên cứu hình học xạ ảnh bằng phương pháp nhóm sẽ giúp chúng ta phân biệt được các khái niệm añn, khái niệm Gelit va khái niệm xạ ảnh trong hình học, đồng thời cũng giúp chúng ta tìm ra mối liên hệ mật thiết giữa ba thứ hình học aũn, Ơclit và

xạ ảnh

e) Điểm kép hay điểm bất động của phép biến đổi xạ ảnh

œ)Định nghĩa: Điểm M thuộc P" là điểm bép hay điểm

bất động của phép biến đổi xạ ảnh f nếu M = f(M)

B) Tìm điểm kép của phép biến đổi xạ ảnh

Cho phép biến đổi xạ ảnh f của P° Giả sử M = f(M) và gọi

œ là phép biến đối tuyến tính cảm sinh ra phép biến đổi xạ ảnh

f đã cho Khi đó nếu vectơ š đại diện cho điểm M thì ta có pe) = X= kx (Œk #0) cũng đại điện cho điểm M Nhu vay, x là vectơ riêng và k là giá trị riêng của @

với I 14 ma tran don vi

Đây là một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất gồm có n+1 phương trình với n+1 ẩn Muốn cho hệ phương trình này có

184

nghiệm không phải là nghiệm tầm thường (là tọa độ của các điểm kép) điều kiện cần và đủ là:

|B-k] =0

Với mỗi nghiệm k = kị của hệ phương trình [B - ki = 0 ta

có tập hợp các điểm kép của f ứng với giá trị riêng kị có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình sau đây:

{B.- kD {x] = 0 Néu hang cia ma tran (B — kj) bang m (0 < m < n) nghia

là có m phương trình độc lập thì phương trình (B - kD) [x] = 0 xác định một (n-m}-phẳng gồm toàn điểm kép ứng với giá trị riêng k; đó

* Với k = ~1 ta có:

[x1 +X +X = 90 2X, tX_-4+Xg° = O OR + Xo +xy=0

(x1, Xo, Xs) = (1,1,1) Tóm lại tập hợp các điểm kép của phép biến đổi xạ ảnh gồm có một đường thẳng chứa toàn điểm kép có phương trình -

Xị + X; + x; = 0 và một điểm kép có tọa độ là (1,1,1) Điểm kép này không thuộc đường thẳng chứa các điểm kép nói trên

t)Cac phép thấu xạ.Các phép thấu xạ là các phép biến đổi

xạ ảnh đặc biệt Trong trường hợp tập hợp các điểm kép của một phép biến đổi xạ ảnh f là một m- phẳng P và một (n-m-1) -

phẳng Q chéo nhau thì ta gọi phép biến đổi xạ ảnh f là một

phép thấu xg m-cặp Như vậy trong trường hợp này, nếu có điểm M thuộc P và điểm N thuộc Q thì đường thẳng MN luôn luôn biến thành chính nó vì M và N đêu là các điểm kép của

186

phép biến đổi xạ ảnh đó

Đặc biệt nếu m = 0 thì phẳng P lúc đó là một điểm được gọi

la tém thấu xạ còn Q là một siêu phẳng được gọi là nên thấu xạ Phép thấu xạ này là phép /hấu xạ 0-cặp hay là phép thấu xa tâm Trong trường hợp này mọi đường thẳng di qua tâm thấu xạ đều biến thành chính nó vì đường thẳng đó có hai điểm kép

phân biệt

Trong trường hợp các điểm kép của f là một siêu phẳng thì

ta gọi đó là phép £hếu xự đặc biệt vì lúc đó tâm thấu xạ thuộc

Phép đồng nhất của P° cũng được xem là một phép thấu xạ

và lúc đó mọi điểm của P" đều là điểm kép Phép thấu xạ này là

phép thấu xạ tâm thường

3 PHÉP CHIẾU XUYÊN TÂM

Hình học xạ ảnh đã ra đời từ việc nghiên cứu các bất biết qua phép chiếu xuyên tâm trong không gian hai chiều và ba chiều thông thường Trong không gian ba chiều thông thường, các hình biểu diễn được xây đựng trên cơ sở của lí thuyết về phép chiếu xuyên tâm được gọi là hình biếu điễn phối cảnh Ta xem phép chiếu xuyên tâm là một thí dụ quan trọng của phép ánh xạ xạ ảnh

a)Định nghĩa: Trong không gian xạ ảnh P° (n > 2) cho hai siêu phẳng phân biệt P và P' và một điểm O nằm ngoài hai siêu phẳng đó

Với mỗi điểm M e P ta tìm được điểm M' = OMaP' duy nhất Phép ánh xạ f: P —› Pˆ sao cho M' = M) được gọi là phép chiếu xuyên tâm từ P lên ?' bởi tâm chiếu O

b)Định lí Phép chiếu xuyên tâm f từ siêu phẳng P” lên siêu phẳng P”” là một ánh xạ xạ ảnh (là phép đẳng cấu xạ ảnh)

187

Chứng minh Gọi V" và V”" là các không gian vectơ con lần lượt liên kết với các không gian xạ ảnh P"! và

P™" Goi giao của hai siêu phang P™' va P™ 1a

(na - 2)-phẳng P*2 (H.30)

p2 = pl pr

Trong siêu phẳng P"†

ta lấy n điểm độc lập Âu

Ag, Âu trong đồ Ái, Aa, An thuộc P^? và tất nhiên Á, £ P°?, Goi f là phép chiếu xuyên tâm với tâm chiếu © ta có:

fA) = Aj véi i = 1,2, , n-1

va f(A,) = A’, ¢ P? và AI, ¢ PP?

* Ha diém (Ai, Ay Ana, A’a} 1A n điểm độc lập Thực vậy nếu

hệ điểm đó không độc lập tức là điểm A'„ phải thuộc P*?, từ đó ta suy ra đường thẳng A„A'„ sẽ thuộc P"! và như vậy điểm O e P"!

là điều trái với giả thiết

hình 30

* Goi 6i,6s, en,6n,6 là các vectơ lần lượt đại điện cho các

điểm Ai, A¿, Ans A’n, O

Vì ba điểm A',, Áa, O thắng hàng nên ta có thể đặt:

ổn = dể, +6 với œ # 0 vì nếu œ = 0 thì O thuộc P"1 là điều

trái với giả thiết Do đó ta có thể chọn œ = 1 và suy ra :

——— §! =É +Bẽ

hay ến =6, +À€ với À2 = B ,À #0 (vì nếu ^ = 0 thì A„ = A”, là trái

với giả thiết)

188