Bài tập toán học cao cấp tập 2 part 6 ppt

Đó là điều kiện cản n=[ của chuỗi số hội tụ, nhưng điều kiện ấy không đủ... Nếu chuỗi số Šu„ hội tụ tuyệt đối thì nó hội tụ.. Chuỗi số Suy gọi là bán hội tụ nếu nó hội tụ nhưng chuỗi s

l¿a ~ y)dx - (a ~ y)dy =

L

Qn

= flea —a(i-cost))a(1 -cost)-(a-a(l-cost))asint}dt

2x

Jla°d—cos? p= a? sintcost]dt

a

a? ff sin? - $sin2t Jat == Jd -cos2t—sin 21)dt

0

2x

= ma’,

el ay, — Smet | coset a? sin 2t s3)

lo

g) Don giản nhất là viết phương trình đường tron x? + y =a? dudi dang

tham số : x = acost, y = asint Ta cé : x’, =—asint, y', = acost, và :

_ facet + asint)(—asin1)—(acost -asint)acost

= {-Gint + cos*t)dt = — far =-I| =-2n

h) Ta có :

y= Rsin*t, y= 3Rsin’tcost x = Reos*t, y = Rsin*t (hình 9.8) và ;

1X

pee WSR sin’ tcost — (Rsin*t)"(-3R cos’ isin) 4 _

(Reos* ty? +(Rsin yr?

100

"

_ 73R? sin2.1cos

3 ws

t(cos’t + sin’ t

( 5 L8 0 dt

333

==R! Join? 2tdt

4 oO

n

2

2 8 4

a) ® Dùng công thức Green :

Ta có : Pặx, y) = 20x? + y?

QŒ, y)=Œ + vỂ,

ov 4y, 2 =2(x+y)

là những ham số liên tục trên

tam giác ABC (hình 9.9), nên

áp dụng công thức Green, nhận Hinh 9.9

được :

đ202 +y?)dx +óc + yŸdy = [[2Œ&—y)dxdy

=2ldx fe J yay =2][v- 2] yng

y=-x44

dx

yx

i be

= 2 fi-2x? +8x—8)dx = [2% 4x? 8|

3

3

1

© Tinh trực tiếp :

Ta có :

đạo” +y?)đx + (x + yŸŸđdy = f20e +y?)dx+(x+y)° dy +

+ fre? ty? )dx + (x+y)*dy + fre? +y))dx+(x+y)2dy

101

a

feo sy dx + G4 yay = Jove ox) Hoc x Dd

AB

= farts = 8%

free +v?)dx + (x + vì dy =

ĐC

= [1260 +x 447) +@œ—x+4)2 DJđx

` "

L

2

ƒ›œ tv7)dx +(x tyydy =

CA

= Jd+yYdy= Ít+yŸ4y=sú+y) -_

Vậy :

2? ty dx + (K+ yy dy == 36 4.3% = 4

b) Ta có :

I, -1,= J (x+yPdx ~ (x-yPdy = Í (x+y) dx =(X— yj/dy

= j x+yỶ dx — (x- yy dy + Tuy? dx -(x- yy dy

J (x+y} dx ~(x— y)ˆdy AmBnA

=— đ (x+y) dx ~(x—y) dy

AnBmA

G day : POX, y) = (a + yy

102

p>

oF

—=2(x+y):

ay

Q(x, y) == - yy’,

6Q

== =—2(x ox (x - y) - y)

Ding cong thite Green ta nhan

được (hình 9.10) :

Hình 9.10

ITlạ=— | (x+y)*dx -(x~y)dy

AnBmA

== [Ï[-2Œœ~y)~20x+y)Jdxdy = [[4adxdy =4 fax Jay

=4 fx.) đc 406 =x Đá = [Ta at) ai

x+y? = Re Viết phương trình đường tròn dưới dạ

x=Reost |

_ với <t<2m,

y = Rsint

la ~R? cos? t)Rsint(-Rsint) + Reost(1 + R? sin? WReost ]dt

a

an

JIR?(cos” t—sin? t) + 2R" sin? tcos? t]dt

a

=R? Joos2tdt +— [sin? 2tdt

= ——sin2t

2

+ bà ƒa ~cos4L)dt = =( =)

lo

103

194

® Dùng công thức Green :

Ta có :

ốp 3

Pix, y)=(l—x)y, — =1-x?,

ay

Q6 y) =xú +y), Rey,

Ox

và ;

I= đan )ydy + x(I+yŸ)dy = [foe +y”)dxdy

Để tính được đơn giản, ta chuyển sang tọa độ cực bằng cách thay

X =rcos0, y = rsino, dxdy = rae nhận được :

Woe +ự? )dxdy = Ife rdrd@ = ‘foo fe dr

a 0

_ mR”

“

4

2

® Dùng công thức Green

œ =x+l1;

0

va:

= fixy +x + ypdx + (xy +x y)dy

L

= [Ïy+I~ œ+ĐDldxdy = [[y— x)dxay,

2 2

trong đó D là miễn giới bạn bởi clip + i = 1 (hình 9.2)

ha

dx

l= fax j (y-x)đy = Ị [-»]

a

= [- “xa? —x? đx =0 vì _?2 xa? -x? tà hàm số lẻ đổi với x

“a

Qua thi du này, rút ra kết qua sau :

ffvaxay ~ 0 nếu miền D đối xứng đối với trục Ox;

D

ffxaxay = 0 nếu miền Ð đối xứng dối với trục Oy

Db

® Tính trực tiếp :

Viết phương trình clip dưới dạng tham số :

x =acost, y = bsint, với —m < ï < #

'Ta có : x’, = ~asint, y', = bcost, va:

1

T= Jitacost.bsint + acost + bsint)(-asint) +

x

+ (acostbsint + acost — bsint)bcost}dt

=-a*b [sín? tcostat - (a? +b’) [sintcostdt +

+ab J (cos? t~sin’ pdt + ab? {so tsintdt

Tích phân thứ hai và thứ tư ở vế phải bằng không vì hàm số dưới đấu tích phân lẻ, do đó :

105

x x

1= =2ã”b [sin? td(sin t) + 2ab foos2t dt

23, ]* a

=~ 2p +aab S2 =0

la

lo

(chú ý rằng sin“tcost va cos’t ~ sin2t IA những hàm số chân Ở đây, ta không lấy t e [O, 2#| mà lấy t © [—x, x] nhằm sử dụng tính chắn, lẻ của hàm số dưới đấu tích phân xác định)

5 Để lạo nên một đường cong kin L,

ta bổ sung vào nửa đường tròn C

đã cho đoạn thẳng AB có phương

trình y = 0, dy =0,-a<x<a

(hình 9.13) Khi đó, miễn D giới

hạn bởi đường cong kín L là nửa

mat tròn tâm O, bán kính a, nằm ở

phía trên trục Ox Dùng công thức

Gieen, ta có :

Hình 9.13

P(x, y) = + ycosxy,

“<= COSKy ~ xysinxy ; ay

3

Q(x,y)= 5 +Xy° — xX + XCOSXY,

eQ =x?!+ y — 1 + cosxy ~ xysinxy, va:

Ox

x?

l= foe +ycosxy)dx + [x + xy? - + xcosiy +

Cc

+ fo? +ycosxy)dx (5 +xy) TK + sen ly - 3 :

3

- fw? +ycosxy)dx + [= + xy? —x+ xen ly =

AB

106

= dt? +ycosxy)dx + [5 + xy? =x+ seo ly ~

1

3

- fo? +ycos xy)dx + & + xy? —X+ xem ly

AB

= fle? + y ~ Idxdy - [xm

Để tính tích phân kép ở vế phải, ta chuyển sang tọa độ cực bằng cách

thay x = reose, y = rsine, dxdy = rdrd@, nhận được :

1= [de [tr” - Urdr Jao for ror — 2 [x°dx= Jk X 1G 5-5]

2

a 0

rea, 37h

x

do - 2%

pees

- 253 = 2 [3n(a? —2)- 8al

2

a2

=—(a -2 4 )0

6.a) Ta có :

Púx, v) = x”, QỌ y) = Y”

>

oP _ Q _ 9

oy OK

Vi Pox: y), Q(x, y) va cdc dao ham

riêng cấp một của chúng liên tục mặt

khác ae voi Vix, y) < RẺ Hình 8.14

nên tích phân đường đã cho không phụ thuộc đường cong lấy tích phân

AB Đế tính được đơn giản ta thay tích phân đường lấy trên nửa đường

tròn AB bằng tích phân đường lấy trên doạn thẳng AB của trục Ox

(hình 9.14)

"Trên đoạn thẳng này y = 0 dy = Ö vax biến thiên từ —2 đến 2 do đó :

f Pax + vìdy = [x?dx + y'dy = [eax = 2 fren

107

b) Ta có: P(x,y)= ycosx, Q(x, y) = sinx,

Vì P(x, y) Q(x, y) và các đạo hàm

riêng cấp một của chúng liên tục, mặt

khác 2 “3 v6i V(x, ne R?

nên tích phân đường lấy trên đường

tron (x ~ 1)? + y? = l, nằm hoàn toàn

trong IR? 1a bang không (hình 9.5) Hinh 9.45

Vay:

đycosxdy + sin xdy =0

1L

xin day +y?

OP _ ox? + 2(a~2)xy - ay? OQ _ =x? +6xy~— Sy?

Dé I không phụ thuộc vào

đường cong lấy tích phân dối

với các đường cong không cắt

đường thẳng y = ~x, ta phải có :

=“ =—- với V(x, ox oy (x, y) e Rˆ

trừ những điểm của dường

thẳng y = ~x Suy ra a = 5

Vì đường thẳng x + y = 1

không cát đường thẳng y = —x,

nên khi a = 5, ta tinh Ï từ

ACI, 0) dén BOO, 1) én đường thẳng nói trên (hình 9.16) Ta có :

Hình 9.16

0

va: l= fle +2x0-0 + 5q—xJŸ +(x—~(l~x)Ê(—DJdx =

108

8,

= 4 ja (l-x)dx = 4) x -— x)dx [> 2

b

vi: BLP - 2x với Vix ye RY

ox oy

nên công của lực F:

A= J 2xydx + x°dy

aC

không phụ thuộc vào đường đi, mà chỉ phụ

thuộc vào điểm đầu B và điểm cuối C

Để tính cong A của lực F khi đi từ điểm

B(1, 0) đến điểm C(0 3), đơn giản nhất là Hinh 9.17

di theo đường gấp khúc BỌC (hình 9.17)

"Ta có ngay :

A= J2xydx + xÌủy = f2xyax + x”dy + J 2xyax + x'dy

= Jodx + Jody =0

P(x.y)= hea; Fxy) = -x,

Q(x y) = heg: Foy) = ~y

Vay: Fay) =-xi - yj.va:

A= f-xax — ydy véi Bia, 0),

Bc

C(O, b)

Phương trình tham số của clip

la: x =acost, y = bsint, x’, = —asint, y', = bcost Do đó :

Hình 9.18

W

A =~ [tacostc-asinp + bsint.bcost)dt =

109

1

b) Vi P(x y), Q(x, y) va cdc dao ham riéng cép mot cla ching lién tuc,

^

mặt khác ; lề) = ® =0 với mọi (x, y) e R ? nên tích phân đường :

dị—xdx ~ ydy, L là toàn bộ đường clip nằm trong l§ ? là bang không

L

L

10 a) Don gian nhat la ding cong thitc ; S = fxdy, 1 là đường cong kin

1

AOBCA lấy theo thứ tự ấy Vì đường cong kín L gồm hai doan AOB va BCA có phương trình khác nhau, do đó phải chia dường cong kín |

thành hai đoạn (hình 9.19), và có :

S= [xdy+ [-xay

Trên BCA, y = 1, dy =0, nén:

Ỉ xdy =0,

BEA

Vay

S= f xdy = [xe = [xa

= 4 [x°dx z4

a

b) Dùng công thức :

Sẽ of xdy — ydx , L JA dudng axtroit ABCEA ta có (hình 9.20) :

L

110

X =acos”t, xì = ~3acos”Isint:

y = asin’t, y= 3asin’tcost,

1 * 2 4 ind 2 2 mm

và: S=~ fa cos’ tsin’ t + 3a° cos” tsin” t)dt

a

228

=— fin? tcos? t(sin? t + cos? t)dt

a

3a? xi

=— foi? tcos? tdt

2 o

= a psin ty, 3a {d-e»4Dat

ape

Chú ý Vì tính đối xứng của diện tích phải tìm, có thể tính đối với trường hợp a:

S

3 = 4 xủy,

OBCO

còn đối với trường hợp b :

8 oi f xdy - ydx

OABO

Sinh viên nên thử tính bằng những công thức này

11 a) Phương trình đường thắng trong không gian đi qua hai điểm O(0, 0, 0)

và B(-2 4, 5) (hình 9.21) là :

Xx

27 Viết phương trình đường thẳng OB dưới dạng tham số, bằng cách đặt :

xy 2)

Tag

xị=-—2.y)=4,74= 5, VÀ :

111

Jxy’dx + yz?dy — zx dz = f-2ec4ny? (2) + 40051)? 4 — 5-207? S]dt

3 64 tt

= [A64 dt =— =9l

b) Viet phương trình đường tròn trong không gian, giao tuyến của mặt clu x? + yˆ + 2° = 45 với mặt phẳng y = -2x dưới dạng tham số, bằng cách

đặt : x = t, ta có :

y =-2x = -21,

z2=4S~x”~ y)= 45 — SỬ,

z= (45-50

(taldyz= ¥45- St? vì trên cung tròn AB ,z>0),

St

x = Ly, 2-2 2,5 j= va:

f xy7dx + yzdy — zx?dz =

AB

= l[cen +(-20(45~5Ẻ)(—2)~—4|45~ SỬ 2,——<St di

Vas— se

2

= —271,25

3

t A

2

= fasor - 1 ydt = [se - ee)

112

Chương X

CHUOI

A TOM TAT LY THUYET

1 Chuỗi số

Chuỗi số Xu, pọi là hội tụ nếu tổng riêng thứ n của nó Sq => u, dan

tới một giới hạn xác định khi n —> œ, là phân kỳ nếu nó không hội tụ

Nếu chuối số Ö u„ hội tụ thì u, > 0 khi n -> œ Đó là điều kiện cản

n=[

của chuỗi số hội tụ, nhưng điều kiện ấy không đủ

Chuỗi số »> với a # Ö hội tụ nếu | q Ì< 1, phân kỳ nếu l q > 1

n=†

2 Chuỗi số dương

© Các định lý so sánh

x

a) Gia sử 0 < uạ < vạ với Vũ > 1 Khi đó, nếu chuối số >v, hội tụ thì

oe

chuỗi số Su, cũng hội tụ; nếu chưỗi s >, phân kỳ thì chuỗi số >

cũng phân kỳ

b) Giả sử u, > 0, v„ > 0 với Vn > 1 Nếu lim ^®* = k với 0 < k < +œ thì

1

hai chuỗi số > u, va >, cùng hội tụ hay cùng phân kỳ

nel nai

113

© Các quy tắc khảo sát sự hội tụ

a) Quy tắc D'Alembert : Nếu lìm “#2 =[ thì chuỗi số dương ya, hoi

tụ khi ? < 1, phân kỳ khi / > 1

b) Quy tắc Canchy : Nếu lim yu, =/ thì chuối số dương ds hội tụ

khi ?< 1, phân kỳ khi / > 1

c) Quy tắc tích phán : Giả sử f(x) là hàm số liên tục, đương, giảm trên

khoảng [!, +e) f(x) — 0 khi x —> +ø Đặt uạ = f(n), khi đó chuỗi số đương

” n=‡

Ya, hội tụ khi [f@x)dx hội tụ, phân kỳ khi Í f(x)dx phân kỳ

3 Chuỗi có số hạng với dấu bất kỳ

e - Chuỗi số Xa, gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi số Yu, | hoi tu

Nếu chuỗi số Šu„ hội tụ tuyệt đối thì nó hội tụ

n=l

Chuỗi số Suy gọi là bán hội tụ nếu nó hội tụ nhưng chuỗi số dhe,

phân kỳ

Nếu chuỗi số yu, hội tụ tuyệt đối và có tổng s thì chuỗi số suy từ nó

bằng cách thay đổi thứ tự của các số hạng và bằng cách nhóm tuỳ ý một số

số hạng cũng hội tụ tuyệt đối và có tổng s

e Chuỗi đan dấu là chuỗi có dạng

-

Seba, =u) 0ạ + uy — tạ + + <1)” Tuy +

n=t

trong đó uạ > 0, Vn > 1

Dinh ly Leibniz : Néu 0 <u,,, <u,, Vo > | và nếu lim u„ = Ô thì chuỗi

nape

dan đấu 3(~1)””u, hội tụ và có tổng 5 < uy

a=!

114

4 Chuỗi luỹ thừa

dang a,x", trong do a, 1a hàng số và gọi là hệ số của chuỗi luỹ thừa

2

2

Sa,x” Say tax tax + tax" +

n=0

Tén tại một số R > 0 sao cho chuỗi luỹ thừa Max" hoi tu véi lx 1<R

nO

va phan ky vdi lx} > R Tai x = +R chudi luỹ thừa có thể hội tụ hoặc phân kỳ

Số R gọi là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa

nếu p = +,

Tìm được RR, ta biết rằng chuỗi luỹ thừa hội tụ trong khoảng (—R R)

Muốn xác định được miễn hội tụ của nó ta chỉ còn phải xét sự hội tụ tại hai

điểm x =+R

n=(

x

f(x) = ap tax tagx? + tax +s Xa,x"

n=0

là ham số liên tục khả vi trong khoảng (—R R) và trong khoảng ấy, ta có :

f(x) = ay + 2agx + 3a;x7 4 tmayx™ 4 = Ddona,x

nel

+1

z "

x

+ =C+ > a,——

nel

2

Jroodx = Ctaxtaxiy aa 2 n

C là hằng số tuỳ ý

s Khai triển một hàm số thành chuỗi luỹ thừa:

Ta nói rang ham số f(x) khai triển được thành chuỗi luỹ thừa trong một

khoảng I, nếu tìm được một chuỗi luỹ thừa Say kh hội tụ trong khoảng ấy

n0

sao cho

115

f(x) = Say” ,VXel,

n=0

Nếu trong một lân cận nào đó của xạ, hàm số f(x) có đạo hàm mọi cấp và trong lân cận ấy tồn tại một số đương M sao cho

thì f(%) có thể khai triển thành chuỗi luỹ thừa (gọi là chuỗi Taylor) trong lân

cận ấy

œ Khai triển thành chuỗi luỹ thừa của một số hàm thông dụng

if 2! n!}

2n-1

B DE BAT

1 Xét sự hội tụ của các chuỗi số có số hạng tổng quát sau dây Nếu chuỗi nào hội tụ, hãy tính tống của nó

n+l

ba (3) -@20 : 2)u,= 2, (n> Dy 30

116

2

n?+2n4+3

Suse) 6 0= 2 tn 1)

2 : 8) uy = +S (m2

Áp dụng các định lý so sánh, xét sự hội tụ của các chuỗi số sau :

7) Uy = ; 8) u, =— + :

" 2n? -1 Mn (n+1(2n-1)

11) u, = sin} =]; 12) u, = —— :

Áp dụng các quy tic D'Alembert, Cauchy và tích phân, xét sự hội tụ của

các chuỗi số sau :

117

10)u,=(n+ Ie";

2

n

_ 4.7.10 (3n+l),

2.6.10 (4n —2) `

n_] nfn-l}

19 4,=[ ] > (n> 2)

n+l

14) u, n

Xét sự hội tụ hội tụ tuyệt đối hay bán hội tụ của các chuỗi số sau :

(n9

7) ty = :

Us (2n)!

9)uy=e"

?

n

11)uUn= ————?

"2" 42n

T ]

13) u, =tg" (§*z}

1 1S) u, = ————r- n @Gn+h3""

u.= cos(n?) |

con(n.]

3)u, = =

n!

2n” -I

5), = D3 VỊ

vn

Đuy=(Ð nà T ï

n2

9)u,= CD" ayy!

iu, = (-1)"sin= ;

n

2) 0y = ——— (Ẳœ là hằng số dương):

n

—2 n

4 u=€ zi :

n

6)u, = 2z sinn0, (Ø là hằng số);

Inn

n-1

10) u, = (10) 5

n!

12) u, = cy