Hình học cao cấp part 2 doc

Phép dang edu afin f: A > A cia khéng gian afin A lén chinh.n6 duge gọi là phép biến đổi afin ƒ của không gian añn A và được gọi tắt là phép an.. Khi đó ánh xạ tuyến tính liên kết : A->

S| Vậy điểm X thuộc đoạn thẳng MN thuộc đơn hình

SŒ, P\, ,Pm) Ta suy ra đơn hình m chiều đó là một tập lôi

NHẬN XÉT Ta có thể định nghĩa đơn hình m chiều S(P,,

Pi, Pm) trong Á” xác định bởi m+1 điểm độc lập Pu,P¡, ,Pạ là

tập hợp những điểm M sao cho với một điểm O nào đó ta có :

OM = ¥ 2,08; với yay =1 và >0 với ¡ = 0,1, m i=0 i=0

5 HÌNH HỘP m CHIEU

a) Định nghĩa Cho m+1 điểm độc lập Pu,P\, P„ của không

gian aũn thực A" Tập hợp những điểm M trong A" sao cho :

P,M = =1 n2 với '0 <À; < 1 được gọi là hình hộp m chiều -

hay gọi tắt là m hập Các điểm P¡ gọi là đính của m - hộp

0 <fôi +(1— Đụi <1-Evì0<1—t, ws

Vậy O<tA¡+(1-t)u <t+l1-t=l

30

Diéu do chting té X thudc hình hộp m chiểu.Vậy m-hộp là

một tập lồi

c) Chú ý Người ta chứng minh được rằng giao của những

tập lồi là tập lỗi Rö ràng mỗi hình hép có 2” đỉnh khác nhau

Dinh P, ting voi 4; = 0 vdi moi i Dinh P; img voi tị =1, t, = 0 nếu J#1

Trong định nghĩa hình hộp điểm gốc P, thực ra không đóng một vai trò gì đặc biệt, tức là mọi đỉnh khác của hình hộp đều

một hình hộp m-p chiều và hình hộp đó được gọi là mặt bên

m- p chiều của hình hộp m chiều đã cho Mặt bên 0 chiều chính

là đính còn mặt bên 1 chiểu được gọi là cạnh của hình hộp

Tóm lại một hình hộp m chiều xác định bởi m+1 điểm Pụ,

P,, Pm dé lap trong A" va duge ki hiéu 14 H(P,,P), ,Pm) :

7 PM=3 ^;P,P,với0<2À¡<1

HP, Pi, Pe) ”" PoP vei

Me

§6 ANH XA AFIN CUA CAC KHONG GIAN AFIN

VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI CỦA KHÔNG GIAN AFIN

1 ĐỊNH NGHĨA

Cho A và A' là hai không gian an trên trường K liên kết

31

véi hai khéng gian vecto V va V Anh xa f:A-> A’ được gọi là

ánh xg gfin nếu có ánh xạ tuyến tính ọ : V -› V' sao cho với

moi cap diém M,NeA va anh M' = {(M), N = {N) ta có

2 TINH CHAT CUA ANH XA AFIN

a) Mỗi ánh xạ afin f:A -+ A' chỉ có một ánh xạ tuyến lính liên kết duy nhất ọ : V -› V'

Thật vậy giả sử f còn có ánh xạ tuyến tính khác là

ọ:V - V' Khi đó với mọi cặp điểm M,N thuộc A ta có MÌN =g0(MN) và MÌN =g'0MN) Do đó @(MN) = ø (MN) hay

p =ụ@

b) Với mỗi ánh xạ tuyến tính @ : V -› V' và với cập điểm le A

va I'e A' xác định duy nhất mệt ánh xạ añn f:Á -> A' nhận @ là ánh xạ tuyến tính liên kết và có f) = I

Thật vậy, ta xác định ánh xạ f: A — A' biến mỗi điểm M e A

thành diém M’ « A’ sao cho g(IM) = IM` Bhi d6 fla ánh xa

an liên kết với ánh xạ tuyến tính ø vì mọi M, Ne A ta có :

(MN) = pIN - IM) = o(IN)~- @(IM)= IN -ÙM = MN"

Ro rang f(1) = I’ va 4nh xa f 1& duy nhất vì giả sử 6 anh xa

afin f’ : A > A‘cé dnh xạ tuyến tính liên kết là p va f U) = Ï thì với mọi điểm M e A ta có ;

I'f (MD = @ÑM) = Lf(M) nên f (MÔ = ÂM), Do đó f= f

©) Tích của hai ánh xạ añn f :A -› A`' và g :A' + A" là một ánh xạ am và được kí hiệu là gof Ánh xạ liên kết của tích got nay

mà ie)

là tích của hai ánh xạ liên kết của hai ánh xạ f và g

Tính chất này được suy ra từ định lí nói rằng tích của hai ánh xạ tuyến tính là một ánh xạ tuyến tính Do đó ta suy ra ánh xạ liên kết của tích gof cũng là một ánh xạ tuyến tính Nếu

gọi @ và tụ là hai ánh xạ liên kết của f và g, người ta dễ đàng chứng minh được rằng ánh xạ tích wsọ là ánh xạ tuyến tỉnh

liên kết với ánh xạ afn guf

q) Cho n+1 điểm độc lập M,,M:, ,M, trong không gian añn

n chiêu Á” và cho n+1 điểm tuỳ ý M,,M', ,M, trong không

gian afin A’ Khi đó có một và chỉ một ánh xạ añn duy nhất f†: A" — A' sao cho f(M,) = M’ vdi i= 0,1, , n

Chứng minh

Vĩ n+1 điểm Mụ, M¡, ,Mạ độc lập trong A* nên hệ n vectơ

MM, ,MẸM, >› MỤM, là một cơ sở của không gian vectơ A" liên kết với A" Khi đó có một ánh xạ tuyến tính duy nhất

@: A" + A’ sao cho 9(M,M,) = MM; véii = 0,1, , n

Theo tính chất b) có một ánh xạ añn duy nhất f: A" -› A‘ sao cho f(M,) = M’, va fcé anh xạ tuyến tính ọ liên kết của f

Như vậy f(M,;) = M; và f là duy nhất

e) Anh xa afin f: A> A’ bién một m - phẳng của A thành

một ¿ - phẳng của A' với ¿ < m,

Chứng mình

Goi @ A> a là ánh xa tuyến tính liên kết với ánh xạ

an £ Á -›> A' và A” là m - phẳng của A cé phuong A™ cA Khi đó CA”) là một không gian vectơ con ¡ chiều nào đó của Ä

mà ¿ <m Giả sử I là một điểm nào đó của A" và I= 1) Gọi A”

là ? - phẳng añn đi qua I và có phương là Am,

Ta cần chứng minh f(A") = A”

Thật vậy giả sử điểm M'e< A”), gọi M e A” là tạo ảnh

Ta có M' =fM), khi đó EM” = gữM) e g(A”)= AT,

Đo đó M' j AT,

Mặt khác nếu Me A thì AM 'e A’ cho nên nếu ta lấy x

là tạo ánh của A’M’ thi A’M’ = ọ(x) rôi gọi M là điểm cia A™ sao cho AM= x thi M' = ÑM) tức là M'e f(A”).Vậy tính chất

trên được chứng minh

3 DANG CẤU AFIN

Nếu ánh xạ añn f: A ~> A' là một song ánh thì nó gọi là

phép đẳng cấu afin của không gian afin A lên không gian añn

A' Khi đó tất nhiên Á và A' có cùng một số chiều va g(A) =A’

là phép đẳng cấu tuyến tính giữa hai không gian vectơ Ä va

A

Hệ quả Trong A® va A” lan lugt cho hai muc tiéu afin {RE} va {E',; Ej} véi i =1,2, n thi cé duy nhat mét phép

dang cau afin f : A” > A™ sao cho f (BH; ) = E) với ¡ = 0,1, 2, TL

4 PHEP BIEN DOJ AFIN

a) Dinh nghia Phép dang edu afin f: A > A cia khéng gian

afin A lén chinh.n6 duge gọi là phép biến đổi afin ƒ của không

gian añn A và được gọi tắt là phép an Khi đó ánh xạ tuyến

tính liên kết : A-> Ä của f là một phép tự đẳng cấu tuyến

tính và còn được gọi là phép biến đổi tuyến tính

Thí dụ Cho không gian añn A liên kết với không gian veetơ

V Cho vectơ v cố định trong V và xét ánh xạ £ A —› A sao cho

34

nếu M` = ÑM) thì MM'= v Phép afin f nhu thé goi la pháp

tinh tién theo vecto v và được kí hiệu là t; Vecto v goi la vectơ tịnh tiến

Phép tịnh tiến t¿ là một phép biến đổi añn với ánh xạ tuyến tính liên kết ø là phép đồng nhất ldy : V > V

Thật vậy với mọi M,N e A ta có o( MN) = Idy (MN) =

b) Định lí Trong không gian aBn A" cho hai hệ điểm độc

lập là A„Ai, A, và A',, Ah, A),„ Khi đó có một phép biến đối

an duy nhất £ A” > A" sao cho NA) = A’, vdi i = 0,1, n

Định lí này là hệ quả trực tiếp của tính chất đ về sự xác định

của ánh xạ an với ánh xạ tuyến tính liên kết với f là phép

biến đổi tuyến tính

©) Định lí Tích của hai phép afin là một phép an có phép

biến đổi tuyến tính liên kết là tích các phép biến đối tuyến tính liên kết của hai phép afin đã cho Đảo ngược của một phép afin

là một phép añn có phép biến đổi tuyến tính liên kết là đáo ngược của phép biến đổi tuyến tính liên kết với phép afin da

Chúng mình

Cho hai phép afin f A> A va g: A» A cé cdc phép bién

đổi tuyến tính liên két lan luot la g:A > A va w: A >A Khi

đó gọi M, N là một c&ép diém nao dé cia A va M’ = f(M),

N' = f(N), M” = g(M’) = g f (M), N" = g (N’) = g f (N) thi ta cd:

MN” = y(MN) = w.o(MN) Nhu vay tich gf: A> AIA một

ánh xạ añn có ánh xa tuyén tinh lién két la y.g Vig va y la

những phép biến đổi tuyến tính nên y.¢ cing 1a mot phép biến

đổi tuyến tính Do đó gf là phép biến đối añn

Gia sti f:A > A 1a một phép añn của không gian afin A và

gọi A" là một m-phẳng nào đó của A Theo tính chất c) của ánh

xạ aũn §6 ta có fA”) là cái phẳng / chiều của A ma / < m

Nhưng vì f Ì: A -> A là một phép añn biến f(A™) thanh A™ nén

m <¿ Từ đó ta suy ra / = m Vay f(A”) la m-phang

Hệ quả Phép añn f: A -> A biến một đường thẳng thành

e) Định li Phép afin f : A > A bao tén tỉ số đơn của các hệ ba

điểm thẳng hàng nghĩa là nếu P' = f (P), Q = f(Q), R = f(R) và

P, Q, R thang hàng thì PQ,R' thẳng hang va (PQR) = (P'QR)

Chứng minh

Goi o lA phép biến đổi tuyến tính liên kết với phép añn f

và giả sử PQ= APR thi PQ’ = o( PQ) = ọ(PR) = Ao(PR) =

=AP'R’.Ti đó ta suy ra nếu P, Q, R thẳng hàng thì P, Q, R' thẳng hàng và (PQR) = (PQR) = ^

36

xố

vs.”

5 PHƯƠNG TRÌNH CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI AFIN

Trong A" cho một mục tiêu añn (Eq;E} Gọi f:A" — A" là một phép biến đổi añn Muốn lập phương trình của phép biến đổi añn f ta hãy tìm hệ thức liên hệ giữa toạ độ (xi,xs, XuÌ

của một điểm X « A° và tọa độ (xì,x›, x'„) của điểm fX) đối với mục tiêu da chon

Gọi E) =KEi) với ¡ = 0,1, n Vì f là phép biến đổi añn nên n+1 điểm E,, E;, E'„ độc lập và tạo nên wnột mục tiêu {Eu BE} Giả sử C là ma trận

(bi b¿ bạ) là tọa độ của me! 3 wo ‘el

E,X= x, E,E, + x2E,E,) + 4x,E,E,

"= @(E,X) = x: ELE, + xB jE) + + xn E,E)

Do d6 E, 0

Điều đó có nghĩa là điểm X' có tọa độ đối với mục tiêu

{E;E¡)Hà GXi,xs, xa)Ta suy ra rằng sự liên hệ giữa các tọa độ (xj) và (x;) là sự Hên hệ giữa các tọa độ của cùng một điểm X'

đối với hai mục tiêu khác nhau (H.2) Bởi vậy theo công thức đổi mục tiêu ở mục 3, §2, chương I ta có :

trong đĩ {xÌ], [x] và [b] lần lượt là ma trận cột tọa độ của các

điểm X, X' và E', đối với mục tiêu đã chọn {E,;E;)}

Ma trận C* khơng suy biến (là ma trận chuyển vị của ma

trận chuyển C) được gọi là ¿ma trận của phép dfin ƒ đã cho và

phương trình (1) ở trên là phương trình của phép ađn đĩ Ta

chú ý rằng đối với cơ sở {e,} = {E,E; }, phép biến đổi tuyến

tính o điên kết với phép ađn f nĩi trên) cĩ phương trình là :

[x1= C1]

Trong đĩ (x] và [x'] là ma trận cột tọa độ của các vectơ x

và œ(x) đối với cơ sở { e, } của khơng gian vectơ A

Ngược lại đối với một mục tiêu đã chọn {E,;E¡} mỗi phương

trình cĩ dạng [x] = B[x] +[b'] trong đĩ B là một ma trận vuơng

cấp n khơng suy biến đều là phương trình của một phép biến

` đổi ađn nào đĩ.Thật vậy, ta gọi ( bìị,b», „,bn) là tọa độ của

điểm EQ đối với mục tiêu {Eu;E;} và {fEu;E¡} là mục tiêu aÏn sao

cho B* là ma trận chuyển từ {E,;E;) sang {E',,E;} Khi biết B

và [b] thì mục tiêu {E',;E;} hồn tồn được xác định

Bay gid goi f: A" > A" la phép afin sao cho f(E;) = E; với

i= 0,1,2, ,n thì dễ dàng thấy rằng phương trình của phép ađn

† đối với mục tiêu {Eu;E,} chính là phương trình {x] = B[x] + [b]

đã cho

Thí dụ 1 Một phép tịnh tiến tụ: A" ¬ A" được xác định bởi

phép đồng nhất trong V° (là khơng gian vectơ liên kết của A’)

nên ma trận của nĩ là ma trận đơn vị Vậy phương trình của

Thí dụ 2 Trong mặt phẳng afñn A? đối với mục tiêu đã chọn, hãy lập phương trình của phép biến đổi añn f biến các

diém A(1,0), B(0,2), C(-3,0) lan lượt thành các điểm A(2,3),

B(-1,4), C(—2, ~1)

Giải

Phương trình của phép añn f có dạng tổng quát là :

m =A¡XỊ +RaX; +C¡ hay x nh Mi

Xe = bx, + box, + Cy Xã bị be |x fy

Ta cần tìm các số a),a2,by,b2,¢1,c cia phép afin f

Ta có theo giả thiết A(1,0) — A(2,3)

B(0,2) > B(-1,4) C(-3,0) > C(-2, -1)

nên ta có hệ phuong trinh ;

6 MỐI QUAN HỆ GIỮA PHƯƠNG TRÌNH CỦA MỘT PHÉP

BIẾN ĐỔI AFIN ĐỐI VỚI HAI MUC TIEU AFIN KHAC NHAU

Giả sử đối với mục tiêu añn {E„;F¡} phép afin f:A" — A" có phương trình là :

39

[x’] = B [x] + [b]

Bay gid d6i voi mét muc tiéu afin khac 14 {E’,;E'}} phép afin

f d6 c6 phuong trình là:

[x]= BIx] +[b'}

Vi B và B' cũng là ma trận của phép biến đổi tuyến tính

ọ :V' -› V° liên kết của phép añn f đối với các cơ sở tương ứng

là {E,E; } và {ESE; } với ¡ = 1, 2, n Từ đó ta suy ra sự liên hệ

CHÚ ý Trong phương trình của phép biến đổi añn f đối với

một mục tiêu añn {E,;E;} cho trước có dang [x'] = B[x] + [b], nếu

ta cho [x] = {0] ta có [x1] =[b] Điêu đó có nghĩa là (bị, bạ, , bạ)

chính là tọa độ của diém f(E,) = E’,

Nhân xét này giúp ta rút ngắn được quá trình lập phương

trình của phép biến đổi añn trong trường hợp giả thiết cho biết

tọa độ của điểm f (E,) đối với mục tiêu {Eu;E;}

7.ẢNH CỦA ĐƠN HÌNH m CHIỀU VÀ CỦA HÌNH HỘP

m CHIEU QUA PHEP BIEN DOI AFIN f

a) Định lí : Qua phép biến đổi añn một don hinh m chiéu

biến thành một đơn hình m chiêu

Chứng minh

Giả sử đơn hình m chiều xác định bởi m+1 điểm Á,,A¡, ,Ám

độc lập.Đối với mục tiêu añn cho trước,các điểm A; có tọa độ là :

Aji = (aj, aig, , ain) V6i i = 0,1,2, ,m

40

&s

Nếu dùng cách viết ma trận thì tọa độ các điểm của don

Bay giờ giả sử phép añn f có phương trình là {x] = B[x] +

+[b] trong đó B là ma trận vuông cấp n không suy biến Nếu

X(xj) là điểm thuộc đơn hình S(A,A: Am) và X@ầœj) là ảnh của

này chính là ảnh của m + 1 diém A,,Aj; Am qua phép afin f

Vậy đơn hình m chiều là một khái niệm afin Ta có :

S(A,An, , mm) = Ñ8(A¿,Ai, Âm))

b) Định lí Qua phép biến đổi añn một m - hộp biến thành

một m - hộp

Chứng mính

Ta biết rằng tập hợp những điểm M trong A” sao cho với

m+1 điểm Pạ,P\, ,P„ độc lập ta có PM=Š`2,P,P, với 0 <A¡< 1

là một hình hộp m chiều

Gọi ọ là phép biến đổi tuyến tính liên kết của phép afin

4I

Vậy qua phép añn f, hình hộp m chiều HŒ,,P:, ,P„) biến

thành hình hộp m chiều H(P,P\, ,P„)

§7.NHÓM CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI AFIN CỦA

KHÔNG GIAN AFIN VA HINH HOC AFIN

1 CÁC ĐỊNH NGHĨA

a)Không gian hình học là một tập hợp M khác rỗng và mỗi

phần tử của nó được gọi là một điểm Mỗi tập hợp con H của M

gọi là một hình Một song ánh f :M — M của M lên chính nó được

gọi là một phép biến đổi và tập hợp các phép biến đổi của M làm thành một z„hóm đối với phép toán lấy tích các song ánh

b} Một tập hợp F không rỗng gồm những phép biến đổi f nào

đó của không gian M được gọi là một nhóm các phép biến đổi với phép toán là tích của hai phép biến đổi nếu có hai điều kiện sau

vi F khéng rồng) thì theo điều kiện thứ h:- «6 fe F va theo điều kiện thứ nhất thì e = ff~' thuộc F Phép + .s nhất e đóng vai trò

phần tử đơn vị trong nhóm F vi eof = foe = f déi véi moi fe F

Ngoài ra ta còn thấy rằng tích các phép biến đổi có tính chất kết hợp nghĩa là đối với bất kì ba phép biến đổi f, g, h của không gian M ta đều có f, (g.,h) = (f„ g).h

Thí dụ 1 Gọi c# là tập hợp tất cả các phép añn của không

gian añn A thì ‹# là một nhóm biến đổi của không gian A và được gọi là nhóm afin của A

Thí dụ 2 Tập hợp các phép tịnh tiến của A làm thành một

nhóm, còn tập hợp các phép vị tự không lập thành một nhóm vì

tích hai phép vị tự có thể không phải là một phép vị tự

©) Gọi F là một nhóm biến đổi của không gian M và Hạ, Hạ

là hai hình nào đó của M Khi đó hình H; gọi là tương đương

uới hình Hạ đốt uới nhóm F' nếu cô một phép biến đổi f e F biến

hình H; thành hình Hạ Ta kí hiệu H;) = Hạ hay H; (P) Hạ

Từ định nghĩa trên ta để đàng suy ra :

- Một hình H bất kì của M luôn luôn tương đương với

chính nó (đối với nhóm F) Thật vậy, vì ta có phép đồng nhất e<F và c(H) = H

— Nếu Hị (Ÿ)H; thì Hạ (7) Hị Thật vậy, nếu có f e F

sao cho f{H;) = Hạ thì có f *e F để f X⁄Hạ) = Hị

- Néu H, (F/ Hy, H;(Ÿ)H; thì H,(Ÿ2H; Thật vậy, vì nếu

có fg e F sao cho f{H)) = H; và g(H;) = Hạ thì g/ÑH¡) = Hạ với

gfe F

Nhu vậy tập hợp các hình của không gian M được chia