Bài tập toán học cao cấp tập 1 part 2 pot

Nếu hàm số được cho bởi biểu thức y = fx thì miền xác định MXĐ của hàm số được hiểu là tập hợp những điểm x tại đó fx có nghĩa.. Dãy số có giới hạn gọi là đãy số hội tụ... + Cho hàm số

a ch-c+ci-ci+ = 27 sin

25.a) A= (14 iv3)? - 4-1 + iv3) = 2 - 213

= (x? + 3)(x? 4 2x -5) =O Kia = £iv3 5 x34 =-14 V6

25

duy nhất y = f(x) l và ký hiệu f: x > y = f(x) Nếu hàm số được cho bởi

biểu thức y = f(x) thì miền xác định (MXĐ) của hàm số được hiểu là tập hợp

những điểm x tại đó f(x) có nghĩa Miền giá trị (MGT) của hàm số là tập hợp

f(X) = {y e Rf y = f(x), ¥x € X}

Nếu X C R, Y C R,f: X > Y là một song ánh thì f có hàm số ngược,

ký hiệu là fÌ : Y —> X, nó cho ứng mỗi phân tử y e Y với phần tử duy nhất

x € X sao cho f(x) = y Đồ thị của hai hàm số y = f(x) va y = f 1%) đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất

2 Dãy số và giới hạn của dãy số

« Dãy số là một tập hợp số viết theo thứ tự xác định, ký hiệu

{X], Xq ees Xqe ee} hay {xy}

Số a gọi là giới hạn của dãy số {xạ} nếu với mọi số e > 0 cho trước, bé

tùy ý, tồn tại một số tự nhiên n„ sao cho Vn > nạ, |xạ - al < e, ký hiệu lim xạ = a Dãy số có giới hạn gọi là đãy số hội tụ

n->o

» Nếu các dãy số [xạ] và {yn} đều có giới hạn hữu hạn thì :

lim (_ tyq)= lim x, + lim yp ;

lim 2 = — (nếu lim y, #0)

+ Cho hàm số f(x) xác định trong lân cận điểm a (có thể trừ tại a) Ta nói

ham s6 f(x) có giới hạn A khi x dan tới a nếu với mọi số s > 0 cho trước,

luôn tổn tại một số ỗ > Ö sao cho |x - al < 8 => |Ế&x) - A| < e và ký hiệu

« Néu £,(x) $ f(x) < f(x) 6 lan cận điểm a và nếu

lim fi(x)= lim fy(x) = A thi

lim f(x)=A

xa

27

Ung với tiêu chuẩn này, ta được :

lim 2% 21 3 x70 X

x lim (1 +4) =e

xa B(x)

va g(x) la hai VCB tuong duong khi x — a, ky hiéu f(x) ~ g(x)

Néu f(x) ~ F(x), g(x) ~ EX) khi x > a thi

Néu F(x) va G(x) 1a hai VCL khi x —> a và nếu lim Foo =1, ta nói

Néu f(x) không liên tục tại xạ thì ta nói nó gián đoạn tại Xạ

xạ là điểm gián đoạn bỏ được của f(x) nếu f(x) không xác định tại x„

nhưng tổn tại lim f(x) ; xạ là điểm gián đoạn loại 1 của f(x) nếu tồn tại tại

XXo

các gidi han hitu han f(x, + 0) va f(x, - 0), nhung f(x, + 0) # f(x, - 0); x, 1a

điểm gián đoạn loại 2 nếu ít nhất một trong các giới han f(x, + 0), f(x, - 0)

không tổn tai hay vô hạn

Nếu f() liên tục trên đoạn [a, b] thì nó bị chặn trên [a, b], đạt giá trị lớn

nhất và bé nhất của nó trên đoạn đó

Nếu f() liên tục trên đoạn [a, bị, f(a).f(b) < 0 thì tồn tại một điểm

c < (a, b) sao cho f(c) = 0

Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại xạ thì nó liên tục tại x,

Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mọi điểm của (a, b), ta nói f(x) có dao ham trong khoảng (a, b)

e Nếu các hàm số u(x), v(x) có đạo hàm tại x thì :

1) u(x) + v(x) cũng có đạo hàm tại x và [u(x) + v(x)]' = u(x) + Vi) 2) u(x).v(x) cũng có đạo hàm tai x và [u(x).vŒ)]' = ư(X)v(X) + V(x)u(X) ;

yœ) =y(u).u Go

« Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản :

Đối với đạo hàm cấp cao ta có ;

(ux) £ VOI = UME + YR) ;

n

fux).vogl = ¥ ChuP) Ev oxy, & day WOR) = v(x), HR) = 0x),

k=l

» Vi phan

Nếu hàm số y = f(x) c6 đạo hầm tai x thi

f(x + Ax) ~ f(x) = f(x) Ax + (Ax), trong đó œ(Ax) là một VCB bậc cao so với Ax khi Ax -> 0 Biểu thức f'(x).Ax IA phan chính bậc nhất của số gia f(x + Ax) - f(x) và gọi là vi phân của ham s6 y = f(x) tại x, ký hiệu dy = f'(x)dx

Néu f(x) có vi phân tại x, ta nói nó kha vi tai x Vay néu f(x) có đạo hàm

tai x thì nó khả vi tại x

Nếu Ax khá nhỏ ta có công thức gần đúng

f(x + Ax) x Í() + f'@)Ax

31

gos

B- DE BAI

1, Cho f(x) = x? + 1 Tinh f(4) ; f(/2) ; Ra + 1); f(4') ; [Ra)ƒ ; f(2a)

2 Cho @(x) = lượng Viết (2) va se

3 Cho f(u) = tgu Hãy chứng minh rang :

fo = 20

1 -[f(u)]

4 Cho g() = Hi: Chứng minh rằng khi a, b € (-1, 1) thi

_ fatb g(a) + g(b) = (228)

5 Cho f(x) = Igx ; a(x) = x° Tinh flg(2)] ; ø[f(2)]-

f(b) — f(a) b—

Ặy=Ig (a>0); d) y =arcsin’x ;

e)y=a"”? (a>0,a# 1); 0y=u(222),

8 Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chắn, hàm số lẻ, không

dys, e) y =sin2x ; Đy= co(x— 5);

từ đó suy ra dãy số đã cho không hội tụ (giải thích)

16 Chứng minh rằng các dãy số sau có giới hạn bằng "0" khi n —> œ :

-(_- ñ a) X= (k> 0); tye tO;

n

17 Tìm giới hạn của các dãy số sau :

18 Ching minh rang lim Ya =1

n>œ

19 Chứng mình rằng dãy số x„ -2 là đấy tăng, còn đấy số

Xq = “py la day gidm khi n > 10

20 Tìm giới hạn của các đấy số sau :

22 So sánh các VCB sau (bậc VCB và VCB tương đương) :

Khi x — 0, hãy so sánh VCB g(x) = x với các VCB sau :

f, =tgx’; f, = Vsin’ x ; fp =J94+x~-3;

35

f, = 1-cosx ; f5= arctg Vx +

23 Chứng minh rằng khi x —> 0, các VCB sau tương đương :

24, Hay so sénh cdc VCL sau (khi x > 0):

„ @8X _— bx e™% — 2x

t) lim ————_ x30 ex ; u) lm ————————;

x—0 Simax ~ sin bx SiNX — tgx

x0 ‘Tig’x + sin? x + 2sin? x

h) lim sin ¥x In(L = /

28 Chimg minh rằng ham s6 f(x) = 3x” ~ 2x? + 3x liên tục với x bat kỳ

29 Tìm điểm gián đoạn và bước nhảy nếu có của các hàm số sau :

30 Xét sự liên tục của các hàm số sau :

a)y= xarctgx 3 b)y= xVx(3Inx -2);

= eXarctge® —Inyl +e" ; = SRE yn TE

Pp) y = e*arctge’ Invyl +e qQy cos? x In cosx

34 Tính đạo hàm của các hàm số sau bằng cách trước hết hãy lấy lôgarit của hai vế :

36 Chứng minh rằng hàm y = cục * + cạc ? ¡ ©¡, c; là hai hằng số tùy ý, thỏa mãn phương trình :

38 So sánh số gia va vi phan của hàm số y = 2x3 + 5x2

39 Tính giá trị gần đúng của M = arcsinO,51 bằng vi phân

40 Tính giá trị gần đúng của điện tích hình tròn có bán kính bằng 3,02m

41 Tính vi phân của các hàm số sau :

_6,

C - BÀI GIẢI VẢ HƯỚNG DẪN

1 fx)=x2+1=f(49=42+1=17; f2) =3

f(a+1)=(a+ Đ2+1=a2+2a+2; Na®) =aể +1;

[f(a)]? = (a2 + LỶ ; f(a) = 4a? + 1

Tir (1) va (2) ta suy ra g(a) + g(b) = of 235)

5 f(x) = Igx s g(x) = x° = flg(x)] = lelg(x)] = Igx? = lex ;

elf()] = [FOO]? = (igx)’

=> x <0 (vix 20 thi |x! không thé > x)

n)y= vjarsin(oga x) có MXĐ: arcsin(logzx) > 0

Đy= —T— :Doy(®= —T—=~——~z— = ~y(x) Vậy

Vay hàm số đã cho tuần hoàn chu kì T = 1

b)y= sinx? : Giả sử hàm số đã cho tuần hoàn chu kì T, tức là

sin(x + T)? = sinx? = (x + Tỷ = x” + 2km hoặc (x + TJ = m - x2 + 2km

xây ra vì k Z Vậy hàm số đã cho không tuần hoàn

€) y = xcosx : Tương tự ta suy ra hàm số đã cho không tuần hoàn

djy= sint không tuần hoàn

©) y=1+ tgx: Doy = 14 tex = 1+ tg(x + ) nên là hàm số tuần hoàn chu kỳ T =m

f) y =1- sinx = 1 - sin(x + 2k), tuân hoàn chu kỳ T =.2m

) là hàm số tuần hoàn chu

h) y = |sinx| = |sin(x + km)|, tuần hoàn chu kỳ T =

dy= 2sin( 3x + ») = 2sin( 3x + * + 2kx)

= asin| (3x + 2á) + x] là hàm tuần hoàn chu kỳ T = 2,

x—m

3 hàm số tuần hoàn chu kì T = 6m

= 3cos{ % -2 k) y = 3cos 373 + 2kx) = 3eo|3(x + 6km) — 5] a

10, a) y = 107” > 0 Vx => x +1 = Igy => x =Igy - L hay x= Ig

Đôi vai trò của x, y ta được y = logs:

b) y = 1 + Ig(x + 2) c6 MXĐ : x > -2 và là hàm liên tục đơn điệu

Vx > -2, nên tồn tại hàm số ngược

x+2=10 ! 3 x=10'!_2,

Đổi vai trò của x, y ta được y = 10" ' - 2

43

2 =y+y2 > 2 “Ty >x lop:

Đổi vai trò của x, y ta được y = logy với 0<x< 1

1-x d) y = 2sin3x là hàm số tuần hoàn chu ki T = + xét trong đoạn

Déi vai trd ca x, y ta duge y = garesin 5 -

e) Ham sé y= x2 - 2x khi x > 1 liên tục và đơn điệu tăng nên tổn tại hàm số ngược x = 1+ Jl + y Déi vai tr cha x, y ta được : y= Ì + J14+x

; = xác định khi x # -L Nó liên tục và đơn

điệu giảm trong tập hợp X = (—-œ, -1) U (_—1, +œ), miễn giá trị tương ứng

11 Hàm sé y = f(x) =

của nó là tập hợp Y = (-œ, ~l) U (-1, +) Do đó tồn tại hàm số ngược

x =£ !{y) có miền xác định là Y và miễn giá trị là X

Từ y“j +, Suy ra y + yK =1 — x hay X(I + y) = 1 - y Do d6

ngược là y = f Í{) = Do đó hai hàm số y = f(x) va y = F Ìœ)

12 Sinh viên tự vẽ đồ thị của các hầm số a), b), €), d), e), 0, g), h), j)

Đó là các hàm số quen thuộc, có thể vẽ đồ thị của chúng bằng cách đùng các điểm đặc biệt

sinx nếu sinx >0 k) Vì y = |sinx|= , nên đồ thị của hàm số

—sinx nếu sinx <0

y =lsnx| được suy từ đồ thị của hàm số y = sinx bằng cách lấy đối xứng đối với trục Ox phan của đồ thị của hàm số y = sinx nằm dưới trục Ox và giữ nguyên phần còn lại Cũng dễ nhận thấy rằng hàm số y = |sinx| là tuần hoàn

với chu kì z Đồ thị của nó được cho ở hình 2.1

n) Lập bảng biến thiên của hàm số

cosx néu-n<x <0 y=} 1 néuO<x<il + nếu l<x <2

Thật vậy

Tathấy ye b khi lim xạ = n là số chấn, ,

Vậy dãy số đã cho không hội tụ

16 a) Day số xụ = + (k > 0)

nỀ Cân chứng minh lim xạ = Ô Thực vậy Ve > 0, 3n,(e) : Vn > n,

17 a) Theo quy tắc ngất bỏ VCL trong một tổng :