Toán học cao cấp tập 2 part 6 pdf

Nếu biết rằng J gdt =G@+C /hì Jecweonw code = Gown + trong d6 cdc ham s6 gt, wx, wx} déu được giả thiết là những Bây giờ, giả sử cần tính tích phân [fxda Trong nhiễu trường hợp, để tiệ

a

* Mệnh đề 6.1

Nếu biết rằng J g()dt =G@)+C /hì

Jecweonw code = Gown) +

(trong d6 cdc ham s6 g(t), w(x), w(x} déu được giả thiết là những

Bây giờ, giả sử cần tính tích phân [f(x)da

Trong nhiễu trường hợp, để tiện lợi, ta thường thực hiện phép đổi biến t := w(x), va khi đó biểu thức dưới đấu tích phân trở thành

(x)dx = g(w(x))w'(x)dx với hi vọng rằng fama gần với tích phân cơ bản nào đó Khi đó,

theo mệnh đề trên, thay vì tính [te ta chỉ cần tính Jawa và có

Jawa =G(t+C

Khi qó tìm được nguyên hàm G(0, chỉ cần thay t bởi w(x) và ta có :

[f&oa = fecwa =G(w(x)) +€

Thi du

Trong tich phan I= fin xcosxdx, ta dé ¥ d(sinx) = cosxdx nén

đặt t := sinx thì biểu thức dưới đấu tích phân trở thành

3

sinŸ xcos xdx = sin? xd(sinx) = Pade

va feat =i" +C; do vậy t= fsin’ xcosxdx = Ginx)' +€

+ Chú ý

Trong một số trường hợp, ta lại thực hiện phép déi bién x = g(t) va

ta được

f(o()@'()dt = g(Đdt,

và khi đó biểu thức dưới đấu tích phân f(x)dx lại trở thành g()dt

Sau đây nêu thêm một số thí dụ :

(a) Trở lại những thí dụ ở phần trước, ta thấy trong thí dụ (4), ta đã

thực hiện phép đổi biến t = 2x — 10 ; trong (e) là t= x + a; trong (g) là

trễ ¡ trong (h) là tay + trong (i) la t = (1 — x); trong () : t= e;

trong (m} : thỄ, wee

(b) Tinh I= fue -x?dx, vi mu6n khit can bac hai ta thực hiện

phép đổi biến x := asint (ở đây ta coi x biến thiên từ —a dén a ; cont

Cudi cing : fre -x Pax = Sav? _x? +5 aesin~ +C

(c) Tinh =f xInx ; đặt t=Inx ; dh=2% có x

do dé: t=, [cos” tdt == (+sinteost+C (xem thí dụ (b)) a 2a)

Muốn chuyển kết quả về biến x, ta lưu Ý rằng : t=arctg” và biểu a

dién sint va cost qua tt =— rồi thế vao két qua cal; được : a

Gia sir u = f(x) va v = g(x) Ja hai hàm số khả vị và có đạo hàm tỉ = f');

v'= g0) là hai hàm số liên tục Khi đó theo quy tắc lấy vi phân của tích ta có : d(uv) = vdu + udv hay udv = d(uv) — vdu ; vì nguyên hàm

cua d(uv) Ja uv nén ta suy Ta:

(6.1) [s»=w- [van

Công thức (6.1) cho quy tắc lấy tích phân từng phần, quy tắc này chuyển việc lấy tích phân của biểu thức udv = uv'dx về tích phân của vdu = v.udx Muếa dùng quy tắc lấy tích phân từng phẩn cần chú ý 214

hai điểm : thứ nhất, trong tích phân cần tính : [toa nên tách biểu

thức f(x)dx thế nào để f(x)dx có đạng udv ; thứ hai, bất kể tách theo

kiểu gì thì tích phân biểu thức vdu cũng không khó tìm (nói chung,

phải đễ tìm) hơn biểu thức f(x)dx ban đầu,

Phạm vi ứng dụng của quy tắc lấy tích phân từng phần hạn chế

hơn quy tắc đổi biến Tuy nhiên, trong những trường hợp không có cơ

sở để tiên đoán được sẽ dùng tích phân cơ bản nào thì người ta

thường nghĩ đến dùng quy tắc lấy tích phân từng phản Đặc biệt những loại tích phân sau đây thường dùng quy tác này :

fx‘ In™ xdx, fx" sin bxdx, fx cos bxdx, [xe ax, VV

Thí dụ

(a) Tinh I= J Inxdx

Để M rằng ddnx)=-Lay nén ta dat u = Inx ; dv = dx, khi đó : x

Do dé:

T= xarctgx — f Adx = xarctgx ing? +ÙD+€ l+x?

2

(c) Tinh 1= frcosxdx

Dat u= x ; dv = cosxdx ; c6 : du = dx ; v= sinx va duge :

I=xsinx— |sinxdx = xsinx + cosx + C

(4) Tính I= [xsin” xdx

Dùng công thức sin? x =a0 —cos2x), tacd:

1= [xa —cos2x)dx = faax -+ fxcos2adx 1

2 -12 -*J h.= fxcos2xdx

3

(f) Tinh [= fe cos bxdx va J= fe®sinbxax, ba #0

Trong cả hai tích phân ta đặt dv =e^®“dx thì v= đem a

fe cos bxdx = Lax cosbx +2 fen sin bxdx

® Trong nhiều trường hợp cu thể, tuy chỉ cần tính I nhưng qua tích phân từng phần ở trên ; lại gặp J ; khi đó, lại tiếp tục đừng quy tắc tích phân từng phần để tính J nhưng cach dat u và dv phải nhất quán với

cách đặt ban dâu, nếu không sẽ rơi vào vòng luẩn quẩn sẽ đi đến hệ thức tầm thường 0 = 0) Cụ thể ở đây, để tính J ; nhất thiết phải đặt

dv=e™dx, v=—e™ ; va u=sinbx : du = beosbxdx và được : a

fem cosbxdx = Le cos bx + ft e*™* sinbx _° fe cos bát | a ala a

2

e** cosbx +e sin bx — 1 at a2

217

Chuyển vế, được :

2

( + = = Lox cos bx + pom sin bx

từ đó, suy ra I như đã tính ở trên

* Nếu để ý rằng đạo hàm các biểu thtte e™ cosbx hodc e™ sin bx cũng cho lại dạng e**(A cosbx + Bsinbx) thì ta có thể viết

fem cos bxdx = e** (Acos bx + Bsinbx) + C

trong đó-A, B là hai hàng số sẽ xác định ngay bây giờ Thật vậy, từ

định nghĩa tích phân bất định ta có :

{ fe" cos bxdx)' = (e** (Acosbx + Bsinbx)+ Cy’

tức là : e** cos bx = e"* [(aA + bB)cos bx + (aB ~ bA)sin bx]

Bằng cách cân bằng hệ số của cosbx và sinbx ở cả hai vế suy ra

Dĩ nhiên ở đây, có thể đặt u=x?, dv=e”*dx để dẫn đến tích

phân đơn giản hơn [xe rồi tiếp tục tính, nhưng, dùng nhận xét vừa nêu trong thí dụ (Ð ta có thể viết :

1= Jere ax =e (ax? t+ bx tc)+C

Suy Ta :

xe = (e* (ax? +bx+ce}+CY = eX fav 2h + 2a)x + (b+ 3c)]

1»

xe

Dùng cách cân bằng hệ số cả hai vế, được :

3a=l; act ¡3b + 2a=0; b=-2 ;b+3c=0; co 3

=BIn|x + Và? +B|+ frac x? +) {xem thí dự (f) mục 6.2) và

bi

Ta đặt u — va dv = dx va cé

(x? +a°)"

2nxdx (x? + a2yntl Dùng công thức (6.1) được :

Lo= 1 pee x tees 2n-1 1 I

HH ana? OF +a?" 2n a2”

Từ hệ thức cuối cùng này ta kết luận rằng muốn tính lạ„i phải biết lạ, muốn tính lạ phải biết In_¡, v.v quá trình đó dan dén I, :

6.4 Tích phan các phân thức hữu tỉ

Nhìn lại quá trình tính tích phân một hàm số (qua các thí dụ đã nẻu) chúng ta thấy rằng muốn tính tích phân một hàm số phải dùng quy tắc đổi biến hoặc quy tắc lấy tích phân từng phần để đưa tích phân cần tinh vé dang tích phân cơ bản để ấp dụng công thức và khi dùng các quy tắc lấy tích phân đó, nhiều hay ít chúng ta đã dùng

những 'kĩ xảo" để đạt mục đích mong muốn Bây gid, trong mục này chúng ta sẽ học cách tính tích phân của một lớp hàm s đặc biệt : các

phân thức hữu tỉ ; muốn tính tích phân các hàm số thuộc loại này không đòi hỏi (ít ra là về nguyên tắc) một kĩ xảo nào mà chỉ cần tuân theo một số trình tự, quy tắc nhất định

lới thiệu cụ thể cách tính tích phan các hàm số đó

chúng ta lưu ý rằng trong bài giới thiệu các hàm số sơ cấp cơ bản, và các hàm số sơ cấp, nghĩa là các hàm số có thể biểu điễn qua một số

hữu hạn các hàm số sơ cấp cơ bản và chúng ta cũng thấy rằng các

hàm số sơ cấp khả trong miền xác định của nó, hơn nữa, đạo hàm

của chúng cũng là các hàm sơ - Tuy nhiên, nguyên hàm của một

hàm số sơ cấp không nhất thiết một hàm số sơ cấp, nói khác đi, có

những hàm số sơ cấp mà nguyên hàm của chúng lại không thể biểu

điển được qua một số hữu hạn hàm số sơ cấp cơ bản Chẳng hạn, các

hàm số sau đây thực sự tồn tại nhưng nguyên hàm của chúng không phải là một hàm số sơ cap:

ӌ) a,+aix+.+axP

với ai, bị œ Rvà ân bạ #0

221

Nếu m < n thì R(x) được gọi là phâm thức thực sự

Nếu m > n thi R(x) được gọi là phân thức không thực sự

Nếu R(x) không là phân thức thực sự thì bằng cách chia tử cho mẫu bao giờ cũng có thể biểu điễn R(x) dưới dạng tổng của một đa

thức và một phân thức thực sự Tinh tich phân các đa thức thì quá dễ,

do vậy ta chỉ cần tìm cách tính tích phân các phân thức thực sự và trước hết ta tính các tích phân sau :

Đây giờ thực hiện phép đổi biến x Bet ; đx = đt

x”+px+q=t2 +aŸ, Mx+N= me+(n-MP)

Khi đó, tích phân, dang III sẽ là

- Mx+N

%

Còn tích phân thứ hai thì chính là thí dụ (k) ở mục trước Sau khi

tính được cả hai tích phân đó theo biến t, ta chỉ cần trở về biến x bằng

cách thế t= a t vào kết quả, ta sẽ được kết quả cuối cùng

Định lí đại số sau đây cho phép kết luận rằng việc lấy tích phân

một phân thức thực sự rốt cuộc dẫn đến việc lấy tích phản bốn dạng

1, IL, WI, IV đã nêu trên

Định lí 6.3 (Khong chứng minh)

Mọi đa thức bậc n, với hệ số thực :

Q()= đa, + aix tò a,x" 5 a, #0 đêu có thể phân tích thành tích các thừa số là nhị thức bậc nhất và

tam thức bậc hai không có nghiệm thực trong đó có thể có những

thừa số trùng nhau +

0) sa, (4 4) Q— ĐỀỀ- GỂ + px + Qe ule + lets)

trong đó a,b, 6Ñ; p`~4q<0, .!~4s<0 và + + +

2(ự + v)=H

Khi đó phân thức thực sự tương ứng So có thể phân x tích thành

tổng các phân thức tối giản :

trong đó A, AI, Aa-, B, BỊ, ì Bội, M,N, Mỹ, Nụ,

Mus Nuts P, Q, Pụ, Qị, , P¿-¡, Qv_¡ là các hằng số được

xác định theo phương pháp hệ số bất định mà chúng ta sẽ giới thiệu

qua các thí dụ dưới đây,

* Thí dụ

(a) Phan tich ham sé

1 R(x)=————————————

1Z(A+M)X” +(NI =MI)X) +(2A+M+M —NI SỞ +

+(N-M-M; +N))x+(A-N-Nj) Đồng nhất hệ số các đơn thức đồng dạng ở hai vế ta có hệ 5

phương h5Ẩn:

A+Mi=0 Nị~Mi =0 2A+M+Mi~N¡=0 N~M-M, +N, =0 A-N-N,=l

“ge

Nghiệm của hệ phương trình trên là :

A< 1: mene Men) =! 4 2 4

B + Cc x-2 x-4

A

——+

x.¬l

Dĩ nhiên, có thể dùng phương pháp hệ số bất định để tính các hệ

số A, B, C trong phân tích trên (như đã làm trong thí dụ (4) ; tuy

nhiên, trong trường hợp cụ thể này khi đa thức mẫu số chỉ có nghiệm

thực đơn, chúng ta có thể tính A, B, C nhanh gọn hơn theo cách sau

đây : Trước hết, để ý rằng phân tích trên là đồng nhất thức, nghĩa là cách phân tích đó đúng với mọi giá trị của x ; bây giờ, chẳng hạn, để

tính hệ số A : ta nhân cả hai vế với (x — 1), và có

Tương tự, muốn tính B ta nhân cả hai vế của đồng nhất thức ban

đầu với (x — 2) rồi cho x = 2 ta được

_ 2742246 - 2-2-4)

và cuối cùng C = 5

Luu y rang trong thi du này, nếu dùng cách làm của thí dy (b) thì

chỉ tính được A = _— va B =) do vay, tacé: 32 2

(-1I%K43) 32K43) 2G pS (x-JŸ x~1

Muốn tính nốt các hệ số Bị, Bạ ta phải dùng cách làm như trong

thí dụ (a) (nhưng chỉ gap 2 phương trình, hai ẩn), và có :

“ah

eg

rồi dùng các cách đã giới thiệu trong các thí dụ trên để tính A, B, C,

D Tuy nhiên, vì mục đích phân tích cốt để dễ dàng lấy tích phân nên

+ Việc giới thiệu cách tính tích phân các biểu thức hữu tỉ (đối với biến lấy tích phân) đã mở ra một phương pháp rất hữu hiệu để lấy tích phân các biểu thức không hữu tỉ đối với biến lấy tích phân : trong

trường hợp này người ta cố gắng dùng phép đổi biến và tích phân từng phân để đưa biểu thức cần lấy tích phân về một biểu thức mới

đối với biến lấy tích phân mới và biểu thức mới này lại hữu tỉ đối với | biến mới Chúng ta sẽ minh hoạ ý này trong vài trường hợp dưới đây

6.5 Tích phân các biểu thức lượng giác

Giả sử cần tính tích phân I= ÍRein x, cosx)dx trong d6 R(u, v} là một biểu thức hữu tỉ đối với u và v, nghĩa là khi tính giá trị của R(u, v) chỉ cần thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân và chia đối với các biến u, v Khi đó, thực hiện phép đổi biến :

X t:=tg~, t<K<1t

2

và rõ ràng ở đây biểu thức dưới đấu tích phân là hữu tỉ đối với t

Thật ra, trong những thí dự về tích phân các biểu thức lượng giác

đã gặp ở các phần trên ta đã dùng ý tưởng hữu tỉ hoá rồi tuy rằng

trong các trường hợp cụ thể đó không đòi hôi phải hữu tỉ theo kiểu thực hiện phép đối biến tổng quát t =tg

Bay giờ ta lấy một thí dụ :

=arctg|l ——tg— |+C (2 s)

(Œ) Tính 1= [_—_1-â€95x đt (0<a<1,~—m< x < n)

—2acosx+a

229

4) Tính T= f sin XCOS“ X 7 » Vii d(tgx) = cos’ xX và có thể biểu diễn

sin’ x theo tgx nén ta dat tgx = t va duge

6.6 Tich phan các biểu thức dang face, vo? ~—x? jax va

fro, vx? +œ2 )dx

Ta để ý rằng hàm dưới dấu các tích phân trong cả hai tích phân JRœ.ve? —x?)dx và JR« x2 +œ2)dx không hữu tỉ đối với biến

x (vì x còn chứa trong đấu căn thức), nhưng R(u, v) thì lại hữu tỉ đối

với u và v, do vậy muốn tính các loại tích phân đó người ta tìm các

đổi biến hoặc đồng thời đổi biến và tích phân từng phần với hi vọng,

với biến mới thì biểu thức dưới dấu tích phân trở nên hữu tỉ đối với biến mới ; trong trường hợp này, người ta tìm cách khử căn thức

Chẳng hạn : với tích phân

fr, xe? +x? jdx

người ta thường ding phép bién déi x : = atgt

Với tích phân fac, Vo? —x? dx người ta thường dùng phép đổi

biến x : = asint, hay x : = œcost

Với tích phân fac, Yx” ~œˆ)dx người ta thường đùng phép đổi

biến x=, cost

Sau đây nêu một số thí dụ cốt để minh hoạ phương pháp

* Thí dụ

(a) Tinh T= == ,a>0,

xX

Thực hiện phép đổi biến x : = asint ; > <t <5 khi d6 dx = acostdt ;

Va? — x? =aleost| =acost, vi cost > 0

và được & = lat

Định lí :

Giả sử hàm số F(x) khả vị trong (a, b) và F(x) là nguyên hàm của f(x), x € (a, b) Khi đó :

1) F(x) + C efing 1a nguyen ham của f(x), với C là một hằng số tuỳ

ý, và với mọi x e (a, b)

2) Ngược lại, mọi nguyên hàm của f(x), x e (a, b) đều có đạng

Khi đó, ta kí hiệu mọi nguyên hàm của f(x) là [tem và đọc là tích phân bất định của f(x) ; nghĩa là :

[#@ex=roo+C

Các tính chất đơn giản của tích phân bất định :

1) Nếu k là một hằng số khác O và nếu FŒ@) là một nguyên hàm

dx 1, |a+X

—in +C,a#0 2a la-xi

Trong nhiều trường hợp, ta thường thực hiện phép đổi biến t = a(x)

Khi đó biểu thức dưới dấu tích phân trở thành f(x)dx = 86@(x)œ'(x)dx Nếu G(Ð là nguyên hàm của g(t) thi: