Gọi P,Q,R,S lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ H xuống AB,AD,CD,CB.. b CMR :PQRS là tứ giác nội tiếp.. 2 Cho hình vuông ABCD và MNPQ có bốn đỉnh M,N,P,Q lần lượt thuộc các cạnh A
Trang 1SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2012 - 2013
MÔN: TOÁN - LỚP 9
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Câu1( 3,0 điểm)
1) Giải phương trình nghiệm nguyên
2
8x 3xy 5y25 2)Tìm tất cả số nguyên dương n sao cho A= n.4n3 7n
Câu 2( 4,0 điểm)
1) Rút gọn biểu thức: A= 2 10 30 2 2 6 : 2
2) Cho các số thực dương a,b,c,x,y,z khác 0 thoả mãn x2 yz y2 zx z2 xy
Chứng minh rằng
a bc b ca c ab
Câu 3( 4,0 điểm)
1) Cho phương trình: 2
x m (Với m là tham số) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn 2 2
1 2 12
x x
2) Giải hệ phương trình:
8x 27 18
Câu 4( 7,0 điểm)
1) Cho đường tròn (O) đường kính BD=2R, dây cung AC của đường tròn (O) thay đổi nhưng luôn vuông góc và cắt BD tại H Gọi P,Q,R,S lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ H xuống AB,AD,CD,CB
a) CMR:HA2HB2HC2HD2 không đổi
b) CMR :PQRS là tứ giác nội tiếp
2) Cho hình vuông ABCD và MNPQ có bốn đỉnh M,N,P,Q lần lượt thuộc các cạnh AB,BC,CD,DA của hình vuông CMR:S ABCD ≤
4
MN NP PQ QM
Câu 5( 2,0 điểm)
Cho a,b,c là các số thực dương CMR:
-Hêt—
Trang 2Hướng dẫn Câu1.1) 2
8x 3xy 5y25
Z x
x y x
x y x
x
5 3
25 40 24 9 5 3
25 8 25
8 )
5
3
(
2 2
Khi 3x+5 là ước 25 từ đó tìm được (x;y) ( 10 ; 31 ); ( 2 ; 7 ); ( 0 ; 5 )
( cách khac nhân 2 vế với 9 đưavề tích)
1.2) Với n chẵn n=2k thì
m N
m t
n t
k k
k k
2
1 7 7
1 2 7 ) 9 16 ( 4 ).
1 2 ( 3
4
.
Với n lẻ n=2k+1
m N
m n t k k
k k
( 2 1 ) 4 2 1 3 2 1 2 4 2 1 ( 4 2 1 3 2 1 ) 7 2 7 7 14 1
Vậy n 14 m 6 hoặc n 14 m 1 ( với mọi nN) thì A chia hết cho 7
Câu2.1) 2 10 30 2 2 6 : 2
2
1 2
1 3 2
1 3 2
1 3 4
3 2 4 2
1 3 2
3 2 2
1 3 )
1 5 (
2
2
) 1 5 ( 6 )
1
5
(
2
2
2.2)
x yz y z z xy
) 3 ( ) 3 (
2 :
) 2 ( ) 3 (
2 :
) 1 ( ) 3 (
2
3 3 3
2 2
3 3 2 2 2 2 2 4
2
3 3 3
2 2
3 3
2 2 2 2 2 4
2
3 3 3
2 2
3 3 2 2 2 2 2 4
2 2
2 2
xyz z
y x z
ab c xyz
z y z x y x
ab y
x xyz Z
c Tuongtu
xyz z
y x y
ac b z
xy yz y x z x
ac z
x xz y y
b Tuongtu
xyz z
y x x
bc a yz
x xz xy z y
bc z
y yz x x
a xy
z
c xz y
b yz
x
a
Từ (1) (2) (3) ta co ĐPCM
Câu 3.1) Để phương trình có nghiệm / 0 9
m (*)
2 4 2 6 12
6
2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1
m x
m x x x x m x x x x
x x m x x x x
TM ĐK (*)
3.2)Giải hệ phương trình
2 2
3 3
3
6 4
18 27 8
y x y x
y y
x
HD y =0 không là nghiệm của hệ chia 2 vế PT(1) cho y3 PT(2) cho y2 Ta có hệ
1 6
4
18 27
8
2 2
3
3
y
x
y
x
y
x
Đặt
b y
a x
1 3 3
18
2 2 3 3
ab b a ab
b a b a
Hệ có 2 nghiệm
5 3
6
; 4
5 3
; 5 3
6
; 4
5 3 ) ,
( y x
Câu 4.1)
Trang 3O H
R S
P
Q
D
C
B
A
a) theo Pitago HA2 HB2 AB2 ;HC2 HB2 BC2 ;HC2 HD2 CD2 ;HA2 HD2 AD2 ; suy ra đpcm
b)Tứ giác HPBS nội tiếp HPS HBS DBC
Tứ giác HPAQ là hình chữ nhật HPQ HAQ CAD CBD
Do đó SPQ HPS HPQ 2 CBC
Tương tự SQR 2 BDC
Do đó DBC BDC 180 0 SPQ SRQ 180 0 nên tứ giác PQRS nội tiếp ( đ/lí đảo)
4.2)
L K
P
Q
I
C
N
D
M
Cách 1 Gọi T, K, L là trung điểm MQ, MP, NP theo t/c đường trung bình và trung tuyến tam
giác vuông ta có MNNPPQQM 2 (KLCLIKAI) 2AC từ đó suy ra đpcm
Cách 2 Ta có theo Pitago
2 2
)
2 2
MN BN
BM BM
BN
MN ( áp dụng BĐT Bunhiacoopsky)
Tương Tự
2
; 2
; 2
AM AQ MQ DQ DP PQ NP CN
Nên
Trang 4MN NP PQ QM a dpcm
a
a a AM QA DQ PD CP NC NB BM QM PQ
NP
MN
2
4
2
2 2 2
4 2
Dấu “=” xảy ra khi MNPQ là hình chữ nhật
Câu 5
Cho a,b c>0 Chứng minh rằng:
6 2
3 3 2
2 3
c b a c b a
ca c
b a
bc c
b a
Dự đoán a=b=c tách mẫu để a+c=b+c=2b
z y x z y x z
y x z y
9
1 1
9 1 1 1 ) (
(1)
Tương tự
(2)
(2)
Từ (1) (2) (3)
6 2
9
c a
ab bc c b
ac ab b
a
bc
ac
Dấu “=” xảy ra khi a=b=c