087 đề HSG toán 8 phú vang 2012 2013

4 điểm Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đ

PHÚ VANG Môn : TOÁN 8

Năm học 2012-2013 Bài 1 (4 điểm)

a) Giải phương trình : x2  4x2 2x 22 43

b) Cho phương trình:

1



Tìm giá trị m để phương trình vô nghiệm.

Bài 2 (2 điểm) Chứng minh rằng:

Nếu

1 1 1

0

2

Bài 3 (2 điểm)

Cho

Chứng minh rằng

7 12

S 

Bài 4 (4 điểm) Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1

đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị thì ta vẫn được một số chính phương

Bài 5 (6 điểm)

Câu 1 Cho tam giác ABC nhọn Dựng ra phía ngoài hai tam giác đều ABE ACF lại ; , dựng hình bình hành AEPF Chwnngs minh rằng PBC là tam giác đều.

Câu 2 Cho tam giác ABC có BC15cm AC, 20cm AB, 25 cm

a) Tính độ dài đường cao CH của tam giác ABC

b) Gọi CD là đường phân giác của ACH.Chứng minh BCD cân

c) Chứng minh: BC2CD2 BD2 3CH2 2BH2 DH2

Bài 6 (2 điểm)

Cho ,a b là các số dương thỏa mãn a3 b3 a5 b5.Chứng minh rằng a2 b2  1 ab

ĐÁP ÁN Bài 1.

a) x2  4x22.x 22 43 x2  4x2 2x2  4x4 43

Đặt x2 4x t Điều kiện : . t  Khi đó ta có phương trình:4

   

5( )







Với

1

x

x





       

 Vậy S 5; 1 

b) ĐK của phương trình:

(*) 1



0





Từ (*) x2 x 1  x1 x m   mx 2 m **

Với m  thì PT 0  ** có dạng 0 2( )x VN

Với m  thì PT (*) có nghiệm 0

2 m

x m





Nghiệm

2 m

x

m





là nghiệm của PT  * khi nó phải thỏa mãn điều kiện 1

x m x











Tức là:

2

m

m



   

2

2

m m

m m









 Như vậy PT (*) vô nghiệm với các giá trị của m   2;0;1

Theo giả thiết:

1 1 1

2

a b c   nên a0;b0;c0

Ta có:

2

 

a b c

a b c abc gt

abc

 

 

Bài 3.

Ta có:

Thay mỗi phân số trong từng nhóm bằng phân số nhỏ nhất trong từng nhóm ấy ta được

.50

.50



3 4 12



7 12



Bài 4.

Gọi abcdlà số phải tìm , , ,a b c d,0a b c d, , , 9,a0

Ta có:

       





Do đó: m2 k2 1353

123 67

TM

KTM

Vậy số cần tìm là abcd 3136

Bài 5.

Câu 1.

2

1 3 2

1

E

A

Ta có: AEPF là hình bình hành nên AEP AFP

Xét EPB và FPC có:

 

Ta có: EAP AEP  1800  A3E1 600mà E1E 2 600  A3 E2

 

Từ (1) và (2) suy ra PB PC BC  Vậy PBC đều

D H

C

a) Dùng định lý Pytago đảo chứng minh được: ABC vuông tại C

Ta có:

ABC

AC BC

AB

b) Dễ dàng tính được: HA16cm BH, 9cm

CD là tia phân giác của ACH nên suy ra AD10cm HD, 6 cm

Do đó: BC BD 15cm

Vậy BDC cân tại B

c) Xét các  vuông: CBH CAH,

Ta có:

Từ đó suy ra BC2 CD2 BD2 3CH2 2BH2 DH2

Bài 6.

Xét 2 số dương :

Xét : a2 b2  1 ab a2 b2  ab1

2 2

3 3

3 3 5 5

4 2 2 4

2

2

   đúng , 0a b

Vậy : a2 b2  1 abvới ,a bdương và a3b3 a5 b5