094 đề HSG toán 9 cần thơ 2012 2013

Tìm điểm M trên đường tròn để MA + 2 MB đạt giá trị nhỏ nhất.. 3,0 điểm Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn O;R.. Gọi P là một điểm di động trên cung BC không chứa A.. G

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ CẦN THƠ

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2012-2013

MÔN THI: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút , không kể thời gian phát đề

Câu 1 (5,0 điểm)

1 Cho biểu thức P 2m 16m 6 m 2 3 2

m 2 m 3 m 1 m 3

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị tự nhiên của m để P là số tự nhiên

2 Tính giá trị  3 2013

a  13 7 6   13 7 6 

Câu 2 (5,0 điểm)

x 5   3 x   2 15 2x x     1 0

2 Tìm giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm

2

2

   





  



Câu 3 (5,0 điểm)

1 Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z thỏa 1 1 1 2

x    y z

2 Cho hai số x, y thỏa mãn x2 y 22

x y xy 3

 





  

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2

T  x  y  xy

Câu 4 (2,0 điểm)

Cho đường tròn (O;R) và hai điểm A, B nằm ngoài đường tròn sao cho

OA = 2R Tìm điểm M trên đường tròn để MA + 2 MB đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 5 (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) Gọi P là một điểm di động trên cung BC không chứa A

1 Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc hạ từ A xuống PB, PC Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định

2 Gọi I, D, E là chân các đường cao lần lượt hạ từ A, B, C xuống các cạnh BC, CA,

AB Chứng minh rằng chu vi tam giác IDE không đổi khi A, B, C thay đổi trên đường tròn (O;R) sao cho diện tích tam giác ABC luôn bằng 2

a

ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI 9 CẦN THƠ 2012-2013 Câu 1

1 a) Điều kiện : m  0;m  1

m 1

P

m 1





 b) P 1 2

m 1

 



Để P    m  4;9

a  13 7 6   13 7 6   a  26 15a 

 2013

       

Câu 2

1 Điều kiện :    5 x 3

x 5   3 x, t    8 2 15 2x x     t 2 2 Phương trình đã cho có dạng : 2 t 3

t t 6 0

t 2 (loai)





      

2

t 3 x 5 3 x 3

2 3 7 x

2 4x 8x 59 0

2 3 7 x

2

     

  







  







2 Đặt 2

x   y 0. Hệ trở thành mx 2y 1

x my 2

 



   

Hệ luôn có nghiệm 2

2

m 4 x

m 2



 

Ta có

2

 

 

           

 

Câu 3

1 Không mất tính tổng quát , giả sử : 1    x y z

1 1 1 3

x y z x

1

      

   

y 1

  (vô lý)

Và y = 2 suy ra z = 2

Vậy (1;2;2) và các hoán vị của chúng là nghiệm của phương trình đã cho

2 Hệ x2 y 22 x2 y 22 a (a 0)

x y xy 3 x y xy 3



Do đó

x y 2 a

; S 4P 0 0 a 4

xy 2 a 3

  



T  x  y  xy 2xy    9 2 2 a 

Min T= 1 khi x=1; y=1 hoặc x= - 1 , y = - 1

Max T = 9 khi x  3 , y   3 hoặc x   3 , y  3

Câu 4

Gọi C là điểm trên đoạn thẳng OA sao cho OC R

2

 , ta có điểm C cố định

Dễ thấy  OCM đồng dạng với  OMA  MA  2MC

Ta có MA MB   BC (không đổi)

MA 2MB   2(MA MC)   2BC

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M nằm giữa B và C

Vậy khi điểm M là giao điểm của đoạn BC và đường tròn (O) thì MA + 2MB đạt giá trị nhỏ nhất

M'

O

M

A

B

C

Câu 5

1 Kẻ AI  BC , I  BC cố định Ta có 0

BMA  BIA  90 nên tứ giác AMBI nội tiếp hay AIM  ABM

Ta lại có tứ giác ABPC nội tiếp nên ABM  ACP do đó AIM  ACP (1)

AIC  ANC  90 nên tứ giác AINC nội tiếp suy ra 0

ACP  AIN  180 (2)

Từ (1) và (2) suy ra 0

AIM AIN 180   Vậy đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định I

2 Tứ giác BCDE nội tiếp suy ra AED  ACB

Kéo dài AO cắt (O;R) tại điểm A’ Ta có:

0

EAO AED   BAA' ACB   90

AEOD

    

Tương tự ta cũng có SBEOI 1.R.EI ;SCDOI 1R.ID

  Vậy ABC AEOD BIOE CDOI  

1

2

     

2 ABC

2S 2a

DE EI ID

     (không đổi)

A'

E

D

I

N

M O A

B

C

P