Đề thi hsg toán 12 quảng ninh năm học 2019 2020

Nên để tam giác ABC là tam giác vuông thì tam giác ABC vuông và cân tại B.. Nhà bạn An muốn đặt thợ làm một bể cá, nguyên liệu bằng kính trong suốt, không có nắp đậy dạng hình hộp chữ nh

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH QUẢNG NINH NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn: Toán Lớp: 12

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH QUẢNG NINH LỚP 12 Bài 1 (4 điểm)

Câu 1. Cho hàm sốy x 4 2mx22m  với m là tham số Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị1

hàm số đã cho có ba điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông

Lời giải

Tác giả:Trần Thị Vân; Fb: Trần Thị Vân

Tập xác định D 

 2  4

y  x x  m

2

0









Để hàm số có ba điểm cực trị thì y 0 có ba nghiệm phân biệt tức là m  0

Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là

A  m   m B m C m m  m

Vì hàm số đã cho là hàm số chẵn nên tam giác ABC cân tại B Oy A C ; , đối xứng nhau qua trục Oy Nên để tam giác ABC là tam giác vuông thì tam giác ABC vuông và cân tại B

Khi đó

2

0

m

m







Do m  nên chọn 0 m  1

Kết luận m  1

Câu 2. Nhà bạn An muốn đặt thợ làm một bể cá, nguyên liệu bằng kính trong suốt, không có nắp đậy

dạng hình hộp chữ nhật có thể tích chứa được  3

400000 cm

nước Biết rằng chiều cao của bể gấp 2 lần chiều rộng của bể Xác định diện tích đáy của bể cá để tiết kiệm nguyên liệu nhất

Lời giải

Tác giả: Trần Thị Vân; Fb: Trần Thị Vân

Gọi a b c, , lần lượt là chiều rộng , chiều dài , chiều cao của khối hộp chữ nhật a b c , , 0

Theo giả thiết ta có V abc400000 và

a

Ta có tổng diện tích xung quanh và diện tích 1 mặt đáy của bể cá là

2019

Suy ra

Bài 2 (3 điểm) Giải hệ phương trình

3





 







Lời giải

Điều kiện x  và 0 xy 2

Từ phương trình

2 2



 

Xét hàm số f t   t log ,t t có 0  

1

ln10

t

nên hàm số đồng biến trên

0;

Vậy  *  f x f y 2  xy2

Thay xy2 vào phương trình xy 2 3 x1 được y y3 2 3 y21y

Thấy y  là nghiệm nên biến đổi thành 3  y3 2 5   3 y21 2  y 3

rồi liên hợp được

3 3

2

3 3

3

y

y

Do

2

2

y

Và

3 y 1 2 y 1 4  y 1 y1 2 y 1 4  y1   4 y 3, y 2

nên 3 2 2 3 2

3

1 1 1 2

y



   

2

3

y

Nên  **  y3

Vậy hệ só nghiệm duy nhất x y ;  9;3

Bài 3 (4 điểm)

Câu 1. Cho tam giác ABC không có góc vuông và có các cạnh BC a CA b AB c ,  ,  . Chứng minh

rằng nếu a2b22c2 và tanAtanC 2 tanB thì tam giác ABC là tam giác đều.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Minh Nguyệt ; Fb: nguyen nguyet

Ta có

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

sin

2

2

2

A C







   2 c c2 2  b c2 2c4 2b4  0 c2 b2 c2 2b2  c b

Kết hợp với a2b2 2c2  a b c  . Vậy tam giác ABC là tam giác đều.

Câu 2 Trong cuộc thi văn nghệ do đoàn thanh niên trường THPT X tổ chức vào tháng 11 năm 2018

với thể lệ mỗi lớp tham gia một tiết mục Kết quả có 12 tiết mục đạt giải trong đó: có 4 tiết mục lớp 12 , có 5 tiết mục khối 11 và 3 tiết mục khối 10 Ban tổ chức chọn ngẫu nhiên 5 tiết mục biểu diễn chào mừng ngày 20 tháng 11 (không tính thứ tự biểu diễn) Tính xác suất sao cho khối nào cũng có tiết mục được biểu diễn trong đó có ít nhất 2 tiết mục của khối 12

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Minh Nguyệt ; Fb: nguyen nguyet

Gọi không gian mẫu của phép chọn ngẫu nhiên là 

Số phần tử của không gian mẫu là   5

12 792

n  C  Gọi A là biến cố: ‘‘Chọn 5 tiết mục sao cho khối nào cũng có tiết mục được biểu diễn trong đó có ít

nhất 2 tiết mục của khối 12 ’’

Chỉ có 3 khả năng xảy ra thuận lợi cho biến cố A là:

+ 2 tiết mục khối 12 , 2 tiết mục khối 10 , 1 tiết mục khối 11

+ 2 tiết mục khối 12 , 1 tiết mục khối 10 , 2 tiết mục khối 11

+ 3 tiết mục khối 12 , 1 tiết mục khối 10 , 1 tiết mục khối 11

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là n A  C C C42 .32 15C C C42 .31 52C C C43 .31 51330

Xác suất cần tìm là   330 5

792 12

P A  

Bài 4. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có 3 góc đều nhọn Gọi H là

trực tâm của tam giác ABC ; M N P, , lần lượt là giao điểm của AH BH CH, , với đường tròn

2019

ngoại tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC biết

M   N  P 

Lời giải

Tác giả: Tuyetnguyen; Fb: Tuyetnguyen

Ta có

PNB PCB











. Suy ra BN là đường phân giác trong của góc PNM.

Tương tự ta có PC AM, lần lượt là phân giác trong của góc MPN ,PMN .

Ta có

65 65

;

72 36

MN  

Phương trình đường thẳng MN đi qua

16 5

;

M  

và nhận

65 65

;

72 36

MN  

làm vtcp, là:

2x y  3 0.

Tương tự ta có phương trình đường thẳng MP: 3x 6y 2 0, đường thẳng

NP x y  .

Từ đó ta có phương trình đường phân giác trong và ngoài của góc MPN :

x y x y



Do M N, nằm khác phía đối với đường phân giác trong nên suy ra phương trình của đường thẳng PC: 6x18y1 0 .

Lại có H NB PC

7 25

;

8 72

H 

Bài 5. Cho lăng trụ ABC A B C.    có đáy là tam giác vuông tại A, AB a BC , 2a Mặt bên

' '

BCC B là hình thoi và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đáy Góc

giữa hai mặt phẳng BCC B' ' và ABB'A' bằng 

1. Trong trường hợp

5 2 tan

4

 

, hãy tính theo a:

a Thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' '

b Khoảng cách giữa hai đường thẳng A C ' ' và B'C

2. Gọi  là góc giữa hai mặt bên qua CC ' của lăng trụ ABC A B C ' ' ', tìm hệ thức liên

hệ giữa cot và cot

Lời giải

Tác giả: Trần Văn Tiền ; Fb: Tien Tran

Câu 1a

Dựng AH BC H BC   , suy ra AH BCC B' ' Trong tam giác vuông ABC có

3 ;

2

AB AC a

BC

Dựng HI BB I BB'  ', Ta có ' '  

'









2019

Suy ra góc giữa hai mặt phẳng BCC B' ' và ABB'A' bằng góc giữa hai đường thẳng AI

và HI bằng AIH   ( Do tam giác AHI vuông tại H nên AIH là góc nhọn)

Trong tam giác vuông ABH ta có:

2 2

BH BC

, ta lại có:





Ta có :

'.sin '

a

V ABC A B C  V A B C  BC BB B BC AH 

Câu 1b

Dựng B D' BC D BC   B D' ABC

Ta có A'C'//AC A C' ' //B AC'  nên:

 ' ', '   ' ', '    ', '    , '   BC.d , '  

DC

Dựng DJ AC J AC Ta có DJ AB//

Dựng DK JB K JB'  '

Ta dễ dàng chứng minh được DK B AC'  d D B AC , '   DK

Ta có:

5

BI

BH

Mà

Ta có:

DK B D DJ  a  a  a .

d A C B C

DC

Câu 2

Dựng HECC E CC  

 







 

Ta có góc giữa hai mặt phẳng BCC B 

và ACC A

bằng góc giữa hai đường thẳng AE và HE ( do tam giác AHE vuông tại H nên HEA là góc nhọn).

Xét tam giác vuông AHE , ta cócot

HE AH

 

Ta có

Do tam giác BHI vuông tại I nên

Vì

3

Vậy cot 3cot 60  90 