Đề thi hsg toán 12 quảng ninh năm học 2018 2019

Tìm các giá trị của m để đồ1 thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác đều.. Biết rằng bể chỉ có các mặt bên và mặt đáy không có mặt trên.. Chiều dài của đáy bể bằn

GIẢI CHI TIẾT ĐỀ CHỌN HSG TỈNH NĂM 2018

TỈNH QUẢNG NINH TIME: 180 PHÚT

Bài 1 (4 điểm).

1 Cho hàm số y x 42m1x2m2m  , với m là tham số Tìm các giá trị của m để đồ1 thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác đều

2 Một hộ gia đình cần xây dựng một bể chứa nước, dạng hình hộp chữ nhật có thể tích 24 m 3

Tỉ số giữa chiều cao của bể và chiều rộng bằng 4 Biết rằng bể chỉ có các mặt bên và mặt đáy (không có mặt trên) Chiều dài của đáy bể bằng bao nhiêu để xây bể tốn ít nguyên vật liệu nhất

Bài 2(4 điểm).

1 Cho tam giác ABC có cạnh BC a  , AB c thỏa mãn 2 .cos2 2 .sin ,2

với

2a c  Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác cân.

2 Có hai chuồng nhốt thỏ, chuồng thứ nhất nhốt 19 con thỏ lông màu đen và 1 con thỏ lông

màu trắng Chuồng thứ hai nhốt 13 con thỏ lông màu đen và 2 con thỏ lông màu trắng Bắt ngẫu nhiên mỗi chuồng đúng 1 con thỏ Tính xác suất để bắt được hai con thỏ có màu lông khác nhau

Bài 3 (3 điểm) Cho x y, là các số thực dương Giải hệ phương trình sau



Bài 4 (3 điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho hình chữ nhật ABCD , AB2AD Điểm N thuộc cạnh AB

sao cho

1 4



, M là trung điểm của DC Gọi I là giao điểm của MN và BD Viết

phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác BIN Biết điểm A2;1, đường thẳng BD có

phương trình 11x 2y 5 0, điểm B có hoành độ là số nguyên.

Bài 5 (4 điểm) Cho lăng trụ ABC A B C.    có đáy là tam giác vuông tại , A AB a BC , 2 a Mặt bên

mặt phẳng BCC B  và  ABB A  bằng ,  với

5 2

4

 

hãy tính theo :a

a) Thể tích khối lăng trụ ABC A B C.   .

b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng A C  và B C .

Bài 6 (2 điểm). Cho x, y, z là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

45

P

x y z

  

GIẢI CHI TIẾT ĐỀ CHỌN HSG TỈNH NĂM 2018

TỈNH QUẢNG NINH TIME: 180 PHÚT

Mar.nang@gmail.com

Bài 1 (4 điểm).

1 Cho hàm số y x 42m1x2m2m  , với m là tham số Tìm các giá trị của m để đồ1 thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác đều

2 Một hộ gia đình cần xây dựng một bể chứa nước, dạng hình hộp chữ nhật có thể tích 24 m 3

Tỉ số giữa chiều cao của bể và chiều rộng bằng 4 Biết rằng bể chỉ có các mặt bên và mặt đáy (không có mặt trên) Chiều dài của đáy bể bằng bao nhiêu để xây bể tốn ít nguyên vật liệu nhất

Lời giải

Tác giả: Lê Đình Năng, FB: Lê Năng

1 Hàm số y xác định với mọi x   và 3    2 

0 ' 0

1

x y





  

 Hàm số có 3 điểm cực trị   m1  0 m  (*).1

Với điều kiện (*) thì đồ thị hàm số đã cho có 3 điểm cực trị là

, B m1;m 2

, C m1;m 2

Ta có

 14  1





  Tam giác ABC cân tại đỉnh A với    m 1

Do đó để tam giác ABC đều thì AB BC  m143m1  0  m 1 33

Vậy với m  1 33 thì đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác đều

2 Gọi chiều cao, chiều rộng, chiều dài của bể lần lượt là h , x , y  m (Điều kiện: h x y , , 0)

Theo đề bài ta có

4 24

h x xyh









4 6

y x







 





Tổng diện tích xung quanh và diện tích một mặt đáy của bể là

2 54

x

Ta đi tìm x để S đạt giá trị nhỏ nhất.

Cách 1 : Áp dụng bất đẳng thức AM-GM :

Ta có

2 27 27 3 2 27 27

Dấu ‘=’ xảy ra khi

3 2

x 

Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng 54 khi

3 2

3

y

 

Cách 2 : Xét hàm số

2 54 8

x

, x  0

54 ' 16

x

 

;

3 ' 0

2

Ta có bảng biến thiên :

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại

3 2

3

y

 

Vậy khi chiều dài của bể bẳng

8

3 m thì ta xây bể tốn ít nguyên vật liệu nhất.

minhhaitrancan1984@gmail.com

Bài 2(4 điểm).

1 Cho tam giác ABC có cạnh BC a  , AB c thỏa mãn 2 .cos2 2 .sin ,2

với

2a c  Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác cân.

Lời giải:

Tác giả: Trần Hải;Fb: Trần Minh Hải

Bình phương hai vế ta có phương trình:

2 .cos2 2 .sin2

2a c  1 cosB 2a c  1 cosB

       2 cosa B c 4 sin cosR A B2 sinR C

2.sin cosA B sinC

  sinA B sinA B  sinC

0

sin(180 C) sin(A B) sinC

      sin(A B ) 0  A B do 0 A B,  

Vậy tam giác ABC cân tại C

2 Có hai chuồng nhốt thỏ, chuồng thứ nhất nhốt 19 con thỏ lông màu đen và 1 con thỏ lông

màu trắng Chuồng thứ hai nhốt 13 con thỏ lông màu đen và 2 con thỏ lông màu trắng Bắt ngẫu nhiên mỗi chuồng đúng 1 con thỏ Tính xác suất để bắt được hai con thỏ có màu lông khác nhau

Lời giải:

Chuồng thứ nhất bắt ra 1 con thỏ có 20 cách

Chuồng thứ hai bắt ra 1 con thỏ có 15 cách

Số cách bắt ra mỗi chuồng 1 con thỏ là: n    15.20 300

Gọi A là biến cố: "bắt được hai con thỏ cùng màu"

+ TH1: Hai con thỏ cùng màu đen có 13 19 = 247 (cách)

+ TH2: Hai con thỏ cùng màu trắng có 1 2 = 2 (cách)

( ) 247 2 249

( ) 249 ( )

300

n A

P A

n



Do đó xác suất bắt được hai con thỏ có màu lông khác nhau là:

249 17 1

300 100

chucnguyen29796@gmail.com

Bài 3 (3 điểm) Cho x y, là các số thực dương Giải hệ phương trình sau



Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Chúc; Fb:Chuc Nguyen

Ta có  y1 log 4x1 y1 16 x1 y1

16

1

y

 (vì x y, dương)

16

1

y



Xét hàm số f t   t log4t 2 liên tục trên 0;.

ln 4

t

    

Suy ra hàm số yf t  liên tục và đồng biến trên 0; 

Phương trình  1

có dạng  1 16

1

y



   

16

1

y



2x y x y 1 15 2

Ta có 4x27xy 3x y 2 99 2x y 23x y 199 3  

Từ    2 , 3

ta có hệ phương trình

2 2



x y

x y

x y x y

  

 

x y

x y



 

 (vì x y, dương nên 2x y 0)

8 2  6

9 2



 

 



1 7 3 3

x y x y

 













 

 



 

 (thỏa mãn điều kiện x y , 0)

Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm S  1;7 ; 3;3    

chtruong19@gmail.com

Bài 4 (3 điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho hình chữ nhật ABCD , AB2AD Điểm N

thuộc cạnh AB sao cho

1 4



, M là trung điểm của DC Gọi I là giao điểm của MN

và BD Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác BIN Biết điểm A2;1

, đường thẳng BD có phương trình 11x 2y 5 0, điểm B có hoành độ là số nguyên.

Lời giải

Tác giả: Cao Hữu Trường; Fb: Cao Hữu Trường

Gọi P là trung điểm của AB , J là giao điểm của PM và BD.

Ta có P , M là trung điểm của AB và DC nên AP PM MD AD  

APMD

 là hình vuông

Xét hai tam giác vuông MNP và DJM có







    MNP DJM   MN BD

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BD, ta có AH d A BD ,   5.

5

Gọi

11 5

; 2



t

B BD B t

Vì điểm B có toạ độ nguyên nên t .

Mà AB5  

2

2

t

125tt 50 75 0

1 3 5

t t

 





 



 1; 3

 B  

vì t là số nguyên.

Ta có

;0

Gọi K là trung điểm của BN , khi đó

;



K

,

15 8



KB

Phương trình đường trong ngoại tiếp tam giác BIN là:

nguyennhuhunggh@gmail.com

Bài 5 (4 điểm) Cho lăng trụ ABC A B C.    có đáy là tam giác vuông tại , A AB a BC , 2 a Mặt bên

mặt phẳng BCC B  và  ABB A  bằng ,  với

5 2

4

 

hãy tính theo :a

a) Thể tích khối lăng trụ ABC A B C.   .

b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng A C  và B C .

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Như Hưng; Fb: Nguyen Hung

* Nhận xét: Đề nên cho B BC là góc nhọn, nếu không phải xét thêm trường hợp B BC 900 và

B BC 

a) Dựng AH BC H BC,

suy ra AH BCC B 

Trong tam giác vuông ABC:

2

AB AC a

BC

Dựng HI BB I BB   thì BB HI BB AHI















Ta có:



Vậy

b) Dựng B D BC D BC  , ta có B D ABC Ta có

 ,   ,    ,    ,   BC  ,  .

DC

Dựng DJ AC J AC DK, B J K BJ   

, khi đó d D B AC ,    DK

Trong tma giác vuông IBH:





2 cos

.sin

5

a

a

B D BB IBH















Trong tam giác

2

5 :

a a



Suy ra

4 6 4

35

a a

DK







7

BC



Phanquangson80@gmail.com

Bài 6 (2 điểm). Cho x, y, z là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

45

P

x y z

  

Lời giải

Tác giả: Phan Quang Sơn

Ta có 16 xy2 10yz2 10xz 16 xy2 (2 )(5 ) 2 (2 )(5 )y z  x z

8x 8y 2y 5z 2x 5z 10(x y z)

10

0

x y

Xét   1 10

10 45

f t

t t

 

( )

f t



0

5

5 45

11

t

t

t t









 

Ta có bảng biến thiên

Suy ra   9 0

50

Do đó giá trị nhỏ nhất của P là

9 50

 đạt được khi

25 5

12 2

5 5

6

x y



 

 

