055 đề hsg toán 9 vinh 21 22

Cho nửa đường tròn O R; đường kính AB.Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ ABcó chứa nửa đường tròn vẽ tia Axvuông góc với AB C.. là một điểm bất kỳ trên nửa đường tròn C khác A, khác B.. Qu

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ VINH

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi gồm có 01 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2021-2022 Môn thi: TOÁN Thời gian : 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1 (4,0 điểm)

a) Rút gọn biểu thức

 3  3 2

2

A

x



b) Tìm giá trị biểu thức Bx5 5x3 6x2 6x 72021

tại x 3 23 4

c) Tìm xđể x 4 3và

1

4 3

x đều là số nguyên

Câu 2 (5,0 điểm)

a) Giải các phương trình sau :

 

2 2

b) Giải phương trình nghiệm nguyên : 2x24x19 3 y2

c) Cho hàm số y x  2m1(mlà tham số) có đồ thị cắt trục Ox Oy, theo thứ tự tại hai điểm ,

A B H là hình chiếu của O trên đường thẳng AB.Tìm giá trị của tham số mđể

2 2

OH 

Câu 3 (4,0 điểm)

a) Xác định a b, để đa thức f x  x100ax2bx2chia hết cho đa thức x 2 1

b) 1 Chứng minh rằng với mọi số dương x y, thì  

1 1

4

x y

x y

2 Cho các số dương x y z, , thỏa mãn x y z  1.Chứng minh :

x y  y z z x  x y z

Câu 4 (7,0 điểm)

1 Cho nửa đường tròn O R; đường kính AB.Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ ABcó chứa nửa đường tròn vẽ tia Axvuông góc với AB C. là một điểm bất kỳ trên nửa đường tròn (C khác A, khác B) Qua Okẻ đường thẳng song song với BCcắt ACtại F và cắt tia Axtại M,

BM cắt nửa đường tròn tại D

a) Chứng minh rằng MClà tiếp tuyến của O R; 

b) Giả sử R3cm AM,  3 cm Tính diện tích tam giác MDF

2 Cho tam giác ABCđều có cạnh bằng a M, là một điểm nằm bên trong tam giác Gọi D E F, , lần lượt là hình chiếu của M trên các cạnh AB BC CA, , .Tìm vị trí điểm M để biểu thức

MD ME ME MF MF MD có giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó theo a

ĐÁP ÁN Câu 1 (4,0 điểm)

d) Rút gọn biểu thức

 3  3 2

2

A

x



ĐKXĐ:   1 x 1

2

2

2

A

x

x





e) Tìm giá trị biểu thức Bx5 5x3 6x2 6x 72021

tại x 3 23 4

3

2021 2021

f) Tìm xđể x 4 3và

1

4 3

x đều là số nguyên

Đặt x4 3a a  x a  4 3

2

48

4 3

a







Do

1

4 3

x



 là số nguyên nên

  2

2

1 48 1

48

a a a















2 2

1

a

 (thỏa) Vậy a 7

Câu 2 (5,0 điểm)

d) Giải các phương trình sau :

2

2 2 2

x

 

 

2

2

1

2

e) Giải phương trình nghiệm nguyên : 2x24x19 3 y2

2

f) Cho hàm số y x  2m1(mlà tham số) có đồ thị cắt trục Ox Oy, theo thứ tự tại hai điểm A B, H là hình chiếu của O trên đường thẳng AB.Tìm giá trị của tham số m

để

2 2

OH 

A là giao điểm của đồ thị hàm số và Ox y A  0 x A 2m1

2 1;0 2 1

B là giao điểm của hàm số với Oy x B  0 y B 2m1

Ta có OAB vuông tại O, OH AB

2

2 2 0

1

m m

m









Câu 3 (4,0 điểm)

a) Xác định a b, để đa thức f x  x100ax2bx2chia hết cho đa thức x 2 1

Áp dụng định lý Bơ-du ta có : f x x 2 1 khi

 

 

f f









3 0 3

c) 1 Chứng minh rằng với mọi số dương x y, thì  

1 1

4

x y

x y

Áp dụng định lý Cosi

x y 1 1 2 xy 2 4

  Dấu bằng xảy ra khi xy

2 Cho các số dương x y z, , thỏa mãn x y z  1.Chứng minh :

x y  y z  z x  x y z

Ta có :

1

4

Câu 4 (7,0 điểm)

3 Cho nửa đường tròn O R;  đường kính AB.Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ

ABcó chứa nửa đường tròn vẽ tia Axvuông góc với AB C là một điểm bất kỳ trên nửa đường tròn (Ckhác A, khác B) Qua Okẻ đường thẳng song song với BCcắt

ACtại F và cắt tia Axtại M, BM cắt nửa đường tròn tại D

D M

F

B O

A

C

d) Chứng minh rằng MClà tiếp tuyến của O R; 

ABC

 có ABlà đường kính đường tròn ngoại tiếp  ABCvuông ACBC

Do đó MO BC/ /  MOACmà AOCcân nên Flà trung điểm AC

OM

 là đường trung trực của AC MA MC

Xét MAOvà MCOcó : MO chung MA MC OA OC R,  ,  

( )

MAO MCO c c c

90

        là tiếp tuyến của (O)

e) Giả sử R3cm AM,  3cm.Tính diện tích tam giác MDF

Ta có MCD∽ MBC g g( ) MD MB MC.  2

Mà

39

13

MB MA AB   MD

Ta có :

2

2

MA

MO

3 3 2

Ta có :

1 3 3

MDF

MDF MBO

S

4 Cho tam giác ABCđều có cạnh bằng a M, là một điểm nằm bên trong tam giác Gọi D E F, , lần lượt là hình chiếu của Mtrên các cạnh AB BC CA, , .Tìm vị trí điểm

M để biểu thức

MD ME ME MF MF MD có giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó theo a

E

F D

A

M

Bài toán phụ: Chứng minh rằng nếu a b c , , 0thì  

1 1 1

9

a b c

a b c

Dấu bằng xảy ra khi a b c  Ta có :

 2  2  2

1 1 1

3

a b a c b c

a b c

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c 

Trở lại bài toán, ta có :

2

a

2

a

MD ME MF

Áp dụng bài toán phụ ở trên, ta có :

 

T

Vậy

3

T

a a

không đổi Dấu bằng xảy ra  MD ME ME MF   MF MD  MD ME MF   M là tâm đường tròn nội tiếp ABC M là tâm ABC

Vậy khi M là tâm tam giác ABCthì tổng

MD ME ME MF MF MD có giá trị nhỏ nhất