048 đề hsg toán 8 vĩnh bảo 22 23

UBND HUYỆN VĨNH BẢO PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 Năm học 2022 2023 Câu 1 (3,0 điểm) 1) Phân tích đa thức thành nhân tử 2) Cho biểu thức Tìm giá trị nhỏ nhất[.]

UBND HUYỆN VĨNH BẢO

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8

Năm học 2022-2023 Câu 1 (3,0 điểm)

1) Phân tích đa thức thành nhân tử : x4  2019x2  2018x 2019

2) Cho biểu thức

:

A

      Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Akhi x 1

3) Cho xy 1.Chứng minh rằng x5y5 x3y3x2y2 x y

Câu 2 (2,0 điểm)

1) Giải phương trình nghiệm nguyên x32x23x 2 y3

2) Cho a b c , , 0.Chứng minh rằng

3 3 3

a b c

ab bc ca

b  c  a   

Câu 3 (2,0 điểm) Cho ABCvuông tại A và AB AC .Kẻ đường cao AH.Trong nửa mặt phẳng có chứa đỉnh A,bờ là đường thẳng BC,vẽ hình vuông AHDE(với D

thuộc đoạn thẳng HC).Gọi Flà giao điểm của DEvà AC Đường thẳng qua Fsong song với ABcắt đường thẳng qua Bsong song với ACtại điểm G.Chứng minh rằng a) Tứ giác ABGF là hình vuông

b) Tứ giác DEHGlà hình thang

c) Ba đường thẳng AG BF HE, , đồng quy

Câu 4 (2,0 điểm) Cho ABCvuông cân tại A.Gọi M N, lần lượt là trung điểm của ,

AB AC Kẻ NH CM tại H Kẻ HEABtại E Chứng minh rằng ABHcân và HM

là tia phân giác của BHE

Câu 5 (1,0 điểm) Cho một đa giác đều gồm 2019 đỉnh Người ta tô mỗi đỉnh của

da giác bởi một màu xanh hoặc màu đỏ Chứng minh rằng luôn tìm được ba đỉnh của đa giác là ba đỉnh của một tam giác cân được đánh dấu bởi cùng một màu

ĐÁP ÁN Câu 1 (3,0 điểm)

4) Phân tích đa thức thành nhân tử : x4 2019x2 2018x 2019

   

5) Cho biểu thức

:

A

      Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Akhi x 1

2

x

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương x  1và

1 1

x  ta được

Dấu bằng xảy ra khi

1

1

x tm

x ktm x







Vậy Min A 4 x2

6) Cho xy 1.Chứng minh rằng x5y5 x3y3x2y2 x y

Ta có :

5 5

x y x y x y x x y x y y x y

x y x y x y x y x y x y x y do xy

x y dfcm

Vậy x5y5 x3y3x2y2 x y

Câu 2 (2,0 điểm)

3) Giải phương trình nghiệm nguyên x32x23x 2 y3

Xét x 0ta thấy phương trình vô nghiệm

Xét x 0ta có :

2

y  x  x  x  x    

  với mọi x y3 x3

3 3

x x   y  x

x y x

    mà x y  ,

          

x  y x  y

Vậy phương trình có hai nghiệm x y ;   1; 2 ; 1;0   

4) Cho a b c , , 0.Chứng minh rằng

3 3 3

a b c

ab bc ca

b  c  a   

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm ta có :

 

2

3 3 3

a b c

ab bc ca a b c

b c a

Lại có a2b22 ,ab b2c2 2 ,bc c2a2 2ac

 

Từ (4) và (5) suy ra

3 3 3

a b c

ab bc ca dfcm

b  c  a   

Câu 3 (2,0 điểm) Cho ABCvuông tại A và AB AC Kẻ đường cao AH.Trong nửa mặt phẳng có chứa đỉnh A,bờ là đường thẳng BC,vẽ hình vuông AHDE

(với D thuộc đoạn thẳng HC).Gọi Flà giao điểm của DEvà AC Đường thẳng qua Fsong song với ABcắt đường thẳng qua Bsong song với ACtại điểm G.

Chứng minh rằng

O J

I

G

F D

E

H

A

B

C

d) Tứ giác ABGF là hình vuông

Ta có AB FG gt BG/ / ( ), / /AF gt( ) ABGFlà hình bình hành (1)

Xét AEFvà AHBcó :  E H 90 , AEAH (ADHE là hình vuông)

EAP HAB

  (cùng phụ với HAF)

( )

AEF AHB c g c AB AF

     (2 cạnh tương ứng ) (2)

Từ (1) và (2) suy ra ABGFlà hình thoi mà BAF 90 gt nên ABGFlà hình vuông

e) Tứ giác DEHGlà hình thang

Gọi I là giao điểm của BD FG,

Xét BIGvà FIDcó : GD90 , BIGFID(đối đỉnh)

( ) IF ID

BIG FID g g

IB IG

( )

BIG GID c g c IDG IFB

Mà FBlà phân giác của AFG90 (tính chất hình vuông)

Lại có AHDElà hình vuông  EHD 45   IDGEHD

Mà IDGvà EHDở vị trí so le trong nên GD HE/ /  HGDElà hình thang

f) Ba đường thẳng AG BF HE, , đồng quy

Gọi O là giao điểm của HE AD,  Olà trung điểm của AD(tính chất hình vuông)

ADG

 có OH GD cmt O/ /  , là trung điểm của AD nên OHđi qua trung điểm J của

AG  3 mà tứ giác ABGElà hình vuông (cmt)

BE

 cũng đi qua trung điểm J của AG (4)

Từ (3) và (4) ta có AG BF HE, , đồng quy tại J

Câu 4 (2,0 điểm) Cho ABCvuông cân tại A.Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AB AC, .Kẻ NH CM tại H Kẻ HEABtại E Chứng minh rằng ABHcân

và HM là tia phân giác của BHE

F P D

E

H

N M

C A

B

Dựng hình vuông ABCD

Xét ACM và CDNcó : AC CD (cạnh hình vuông),  A C 90 

AM CN(nửa cạnh hình vuông)

 . 

ACM CDN c g c ACM CDN

Mặt khác NH CM gt  N H D, , thẳng hàng

Gọi P là trung điểm của DC

Mà M là trung điểm của AB ABCD, là hình vuông  gt

/ / ;

BM CP BM CP BMCP

   là hình bình hành  MC BP/ /

Mà MCDHdo MCNH  BPDH 1

Gọi I là giao điểm của BP DH,  IP HC/ /

DHC

 có P là trung điểm DC,IP HC cmt/ /   I là trung điểm của HD  2

Từ (1) và (2) suy ra BPlà trung trực của HD BH BD

Mà BDAB( ABDC là hình vuông)

BH AB ABH

    cân tại B (đpcm)

Gọi F là giao điểm của HE DC,

Ta có EF/ /BD(cùng vuông góc với AB) FHDHDB(so le trong)

Mà BH BD cmt( ) BHDcân tại B  BHDBDH(tính chất tam giác cân)

BHD FHD HD

    là phân giác ngoài của HBE

Mặt khác HM HD cmt( ) HM là phân giác trong của HBE HM là phân giác của

BHE



Câu 5 (1,0 điểm) Cho một đa giác đều gồm 2019 đỉnh Người ta tô mỗi đỉnh của da giác bởi một màu xanh hoặc màu đỏ Chứng minh rằng luôn tìm được

ba đỉnh của đa giác là ba đỉnh của một tam giác cân được đánh dấu bởi cùng một màu.

Vì đa giác đều có 2019 đỉnh được tô bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ nên sẽ có

2 đỉnh liên tiếp cùng màu (do 2019 lẻ)

Không mất tính tổng quát, gọi 2 đỉnh đó là Avà B có cùng màu xanh

Gọi M là đỉnh nằm trên đường trung trực của AB MABcân tại M

+) nếu Mcó màu xanh  MABcân có 3 đỉnh cùng màu xanh

+) nếu Mcó màu đỏ Xét 2 đỉnh kề với Avà B là C và D  MCDcân tại M

-Nếu Cvà D có màu đỏ  MCDcân có 3 đỉnh cùng màu đỏ

-Nếu Cvà D có màu xanh ABDhoặc ABCcân có 3 đỉnh cùng màu xanh

Vậy luôn tồn tại một tam giác cân có 3 đỉnh cùng màu