040 đề hsg toán 9 vĩnh phúc 21 22

Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể đường thẳng d m cắt hai đường thẳng  d1 và  d2 lần lượt tại hai điểm Avà B sao cho điểm Acó hoành độ âm và điểm Bcó hoành độ dương Câu 3.. Tr

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VĨNH PHÚC

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2021-2022

ĐỀ THI MÔN : TOÁN

Thời gian lầm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 Rút gọn biểu thức

9

x

P

x



  (với x0,x9,x64)

Câu 2.Cho các hàm số

1

2

y x y  x

và y mx (với m 0)có đồ thị lần lượt là các đường thẳng    d1 , d2 và d m Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể đường

thẳng d m cắt hai đường thẳng  d1 và  d2 lần lượt tại hai điểm Avà B sao cho

điểm Acó hoành độ âm và điểm Bcó hoành độ dương

Câu 3 Cho ba số thực x y z, , thỏa mãn x y z  1và xy yz zx xyz  

Tính giá trị của biểu thức Bx3 y3 y15 z15 z2021 x2021

Câu 4 Giải phương trình x 4 x 4  x4 x 4  x 3

Câu 5 Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể phương trình

2

2

2

2

m



có đúng hai nghiệm phân biệt

Câu 6 Giải hệ phương trình

2 2

3 2

1 2







Câu 7.Cho tam giác ABCvuông tại A, đường cao AH.Gọi M N, theo thứ tự là trung điểm của các cạnh ACvà HC, K đối xứng với Aqua N Cho

5

2

HM  CK 

Tính

độ dài đoạn thẳng BK

Câu 8.Cho tam giác ABCvuông tại C có BAC 30 , Gọi H là điểm đối xứng với

B qua C Trên các cạnh AB AH, lần lượt lấy các điểm I và K.Hai đường thẳng BK

và HIcắt nhau tại E Biết diện tích tứ giác AKEIbằng diện tích tam giác BEH.Tính

IEB



Câu 9.Cho tam giác ABCvuông cân tại B Gọi O là trung điểm AC và I là điểm tùy

ý trên cạnh BC (I khác B và C) Đường thẳng dqua C, song song với ABvà cắt

đường thẳng AItại K Gọi Elà giao điểm của hai đường thẳng OIvà BK.Chứng

minh CEvuông góc với BK

Câu 10 Cho ba số thực dương a b c, ,

Chứng minh rằng

2 2 2

2

ĐÁP ÁN

Câu 1 Rút gọn biểu thức

9

x

P

x



  (với x0,x9,x64)

9

3

x

P

x

x





Câu 2.Cho các hàm số

1

2

y x y  x

và y mx (với m 0)có đồ thị lần lượt

là các đường thẳng    d1 , d2 và d m Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể đường thẳng d mcắt hai đường thẳng  d1 và  d2 lần lượt tại hai điểm Avà B sao cho điểm Acó hoành độ âm và điểm Bcó hoành độ dương

Điều kiện để d mlà đô thị hàm số bậc nhất là m 0 Phương trình hoành độ giao điểm của  d1 và d mlà : 0,5x 3 mxm 0,5x3

Điều kiện để phương trình này có nghiệm âm là

0

m   m

Phương trình hoành độ giao điểm của  d2 và d mlà :

6  x mx  m 1 x 6

Điều kiện để phương trình này có nghiệm dương là m   1 0 m  1

Vậy điều kiện cần tìm là  1 m0,5;m0

Câu 3 Cho ba số thực x y z, , thỏa mãn x y z  1và xy yz zx xyz  

Tính giá trị của biểu thức Bx3 y3 y15 z15 z2021 x2021

Ta có :

 

 

2

xy yz zx xyz

xy yz zx xyz

  







1

y

xz y y







2021 2021 2021 2021

 

15 15

3 3

 



Câu 4 Giải phương trình x 4 x 4 x4 x 4  x 3

2

 



Vậy x 7;5

Câu 5 Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể phương trình

2

2

2

2

m

 có đúng hai nghiệm phân biệt

2

2

2

2

m

 Đặt tx2  2x Phương trình thành :

2 2

2

m

t

Để phương trình đề có đúng hai nghiệm phân biệt thì pt (2) có 1 nghiệm t 0

2 0

2

m

m m

 





Vậy m 2thỏa đề

Câu 6 Giải hệ phương trình

2 2

3 2

1 2







   

2 2

3 2







Thay vào (2) ta có :

2

3

3 2

3 2

2

2

x x

y





 





Câu 7.Cho tam giác ABCvuông tại A, đường cao AH.Gọi M N, theo thứ tự là trung điểm của các cạnh ACvà HC, K đối xứng với Aqua N Cho

5

2

HM  CK 

Tính độ dài đoạn thẳng BK

N

M

H B

A

C

AHCK là hình bình hành nên CK BC

5 2

AC

2 2

769

4

Câu 8.Cho tam giác ABCvuông tại C có BAC 30 , Gọi H là điểm đối xứng với B qua C Trên các cạnh AB AH, lần lượt lấy các điểm I và K.Hai đường thẳng BKvà HIcắt nhau tại E Biết diện tích tứ giác AKEI bằng diện tích tam giác BEH.Tính IEB

E H

A

I K

Vì B, H đối xứng qua AC nên

30

60

BAH cantai A







Vì

Lại có :

BHI

BAK

S

S











Mà BH AB(do ABHđều) BI AK, mà

Xét BHIvà ABKcó: BH AB;  B A 60 , BI AK

( )

BHI ABK c g c

  

( )

60

Câu 9.Cho tam giác ABCvuông cân tại B Gọi O là trung điểm AC và I là điểm tùy ý trên cạnh BC (I khác B và C) Đường thẳng dqua C, song song với AB

và cắt đường thẳng AItại K Gọi Elà giao điểm của hai đường thẳng OIvà

.

BK Chứng minh CEvuông góc với BK

O

C

A

B

I

/ /









  (cùng phụ với CBE) mà xBK CKE(hai góc so le trong do

/ / )

Ax CK  BCECKEmà BCE ECK  90   ECK CKE 90   CEK

vuông tại E CEBK

Câu 10 Cho ba số thực dương a b c, ,

Chứng minh rằng

2 2 2

2

Sử dụng bất đẳng thức Cô si ta có

6

Tương tự ta có :

Từ đó suy ra a11 b11 c11 2a6 b6 c6 3abc

2 2 2

2

a b c

Hay là  6 6 6

2 2 2

6

a b c

Ta sử dụng bất đẳng thức Co-si : a6 b6 c6  3a b c2 2 2

Do đó ta chỉ cần chứng minh

2 2 2

2 2 2

6

9a b c 6abc 9

a b c

Đặt t abc t , 0,BDT trở thành

2 2

6

t

Sử dụng bất đẳng thức Cosi ta được :

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c   1