028 đề hsg toán 9 hưng yên 21 22

Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB D, là điểm đối xứng với A qua C, Ilà trung điểm của CH J, là trung điểm của DH a Chứng minh CIJ CBH b Chứng minh CJH∽ HIB c Gọi E là giao

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ HƯNG YÊN

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Có 01 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP THÀNH PHỐ

NĂM HỌC 2021-2022 Môn thi : Toán Thời gian làm bài : 150 phút Ngày thi : 20/01/2022

Bài 1 (4,0 điểm)

a) Cho biểu thức

1

x

   với x0,x1 Rút gọn biểu thức Avà tìm tất cả các giá trị của xđể A 2

b) Tìm hệ số a 0sao cho các đường thẳng y ax 1;y1;y5và trục tung tạo

thành hình thang có diện tích bằng 8 (đơn vị diện tích)

Bài 2 (4,0 điểm)

a) Giải phương trình : 2 x6 x211x32

b) Giải hệ phương trình :

2

y xy





    



Bài 3 (4,0 điểm)

a) Tìm các số nguyên x y, thỏa mãn x3y3 2022

b) Tìm các số hữu tỉ xđể x2 x 6là số chính phương

Bài 4 (6,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB.Gọi C là một điểm

nằm trên nửa đường tròn   O CA C B,   Gọi H là hình chiếu vuông góc của C

trên AB D, là điểm đối xứng với A qua C, Ilà trung điểm của CH J, là trung điểm

của DH

a) Chứng minh CIJ CBH

b) Chứng minh CJH∽ HIB

c) Gọi E là giao điểm của HDvà BI Chứng minh HE HD HC  2

Bài 5 (2,0 điểm) Cho ba số dương x y z, , thỏa mãn điều kiện xy yz zx  674

1

x  yz  y  zx  z  xy x y z 

ĐÁP ÁN Bài 1 (4,0 điểm)

c) Cho biểu thức

1

x

       



   với x0,x1 Rút gọn biểu thức Avà tìm tất cả các giá trị của xđể A 2

1

.

1

.

1 1

x

x

1 1

A

x x



 







d) Tìm hệ số a 0sao cho các đường thẳng y ax 1;y1;y5và trục tung tạo thành hình thang có diện tích bằng 8 (đơn vị diện tích)

Ký hiệu hình thang ABCD

Tính được

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y2x1

Bài 2 (4,0 điểm)

c) Giải phương trình : 2 x6x211x32

 

2

2

2

2 2

2 2

11 32 2 6 0

10 25 6 2 6 1 0

5 0

5( )

6 1 0

x

x tmdk x

 



  



d) Giải hệ phương trình :

2

y xy







 

 

2 2

2 2 1

y xy

y xy



Thay (1) vào (2) ta có :

2

1 1

2

2 2

1

2( ) 2

y

y













Vậy  

; ; 1 ; ; 2

x y      

Bài 3 (4,0 điểm)

c) Tìm các số nguyên x y, thỏa mãn x3y3 2022

x

y ktm ktm ktm ktm ktm ktm ktm ktm ktm ktm ktm ktm

Vậy không có x,y nguyên thỏa mãn

d) Tìm các số hữu tỉ xđể x2 x 6là số chính phương

Đặt

p

x

q



với p,q nguyên, p q,  1,q0

Từ  

2

 

       

 



Suy ra p2 q p 6q y q 2  Điều đó chứng tỏ p q, có ước số chung Vì  p q ,  1nên 1.

q  Vậy xp Bài toán trở thành tìm nghiệm nguyên của phương trình

p p y

Để phương trình p2 p 6 y2 0có nghiệm

1 2

p  

nguyên thì điều kiện cần

và đủ là  2 2

1 4 6 y k

là số chính phương lẻ (k nguyên dương)

Vì 4y2 k2 2y k  2y k  23là số nguyên tố và 2y k 0 2y k 0

Nên 2y k 23, 2y k 1

Vậy y12,k 11 x  p 5; 6

Bài 4 (6,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB.Gọi C là một điểm nằm trên nửa đường tròn   O CA C B,   Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB D, là điểm đối xứng với A qua C, Ilà trung điểm của CH J,

là trung điểm của DH

B

J I

H

D

O A

C

d) Chứng minh CIJ CBH

Vì ABCnội tiếp đường tròn đường kính AB nên ACBC BCCD 1

Mà IJ CD/ /  2

Từ (1) và (2)  IJ BC CIJ CBH (cùng phụ với HCB)

e) Chứng minh CJH∽ HIB

CHB

 vuông vì có tan  3

CH CBH

BH



CIJ

 vuông có tan    4

Xét CJH và HIB có :

90 ;CH CJ

( )

  ∽ 

f) Gọi E là giao điểm của HDvà BI Chứng minh HE HD HC  2

Ta có : HEI  90 

HE HJ HC HI

Mà

2

Bài 5 (2,0 điểm) Cho ba số dương x y z, , thỏa mãn điều kiện xy yz zx  674

1

x  yz  y  zx  z  xy x y z 

Vì xy yz zx   674  x x 2  yz 2022 x x 2 xy zx  1348  0

Tương tự : y y 2  zx 2022 0 ; z z 2  xy 2022 0

Áp dụng bất đằng thức

 

 

     

     

2

3 2022



3

3

3 2022

3.674 3

x y z xyz x y xy x y z xyz

x y z x y x y z z xy x y z

x y z x y z xy yz zx

x y z x y z xy yz zx

x y z x y z xy yz zx xy yz zx

x y z x y z x y z

 

1 1

VT