Đề thi hsg toán 12 hưng yên năm học 2019 2020

Tìm các giá trị của m để hàm số có 5 cực tiểu.. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng  90 AB và CD... Tìm các giá trị của m để hàm số có 5 cực tiểu.. + Hàm số có cực tiểu thì trước hết

GIẢI CHI TIẾT ĐỀ CHỌN HSG TỈNH

HƯNG YÊN NĂM 2019 MÔN TOÁN TIME: 180 PHÚT

Câu I (5,0 điểm)

1 Cho hàm số y2x 2 m x2 4x với m là tham số Tìm các giá trị của m để hàm số có 5 cực tiểu

2. Cho hàm số y x 4 mx2 2m 2 C với m là tham số Gọi A là một điểm thuộc đồ thị  C có

hoành độ bằng 1 Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị  C

tại Acắt đường tròn

 T x: 2y2  tại hai điểm phân biệt tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất.4

Câu II (4,0 điểm)

1 Giải phương trình

2

sin cos 2

5

3

x

 

 

 

 

2

1

dx



  



Câu III (5,0 điểm)

1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a và  ABC   Gọi 60 E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh SC , SD Biết SA SC SD  và mặt phẳng ABEF

vuông góc với mặt bên SCD

, tính thể tích khối chóp S ABCD theo a

2 Cho tứ diện ABCD có độ dài các cạnh AB 3, AC 4, AD 6 và các góc

BAC BAD   , CAD   Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng  90 AB và CD

Câu IV (2,0 điểm) Cho đa thức f x  x4ax3bx2cx với ; ;1 a b c là các số thực không âm.

Biết rằng phương trình f x   0

có 4 nghiệm thực, chứng minh f2018 20194

Câu V (2,0 điểm) Giải hệ phương trình:

1





    

Câu VI (2,0 điểm)Cho dãy số được xác định như sau:

1

*

1

u







GIẢI CHI TIẾT ĐỀ CHỌN HSG TỈNH

HƯNG YÊN NĂM 2019 MÔN TOÁN TIME: 180 PHÚT

vietanhhda1983@gmail.com

Câu I (5,0 điểm)

1 Cho hàm số y2x 2 m x2 4x với m là tham số Tìm các giá trị của m để hàm số có 5 cực tiểu

2. Cho hàm số y x 4 mx2 2m 2 C với m là tham số Gọi A là một điểm thuộc đồ thị  C

có hoành độ bằng 1 Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị  C

tại Acắt đường tròn

 T x: 2y2  tại hai điểm phân biệt tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất.4

Lời giải

1 Xét y2x 2 m x2 4x5

TXĐ: 

2

2

4 5

m x



 



+) Hàm số có cực tiểu thì trước hết phương trình y ' 0có nghiệm

2

2

x

 



Đặt  

2

2

g x

x

 





 

2 2

2

4 5

x





 

BBT:

Từ bảng biến thiên ta có phương trình (*) có nghiệm

2 2

m m





   

+)

2 2

2

2

4 5

4 5

x

m



  



 

Với m 2 y'' 0 : Hàm số không có cực tiểu

Với m 2 y'' 0 : Hàm số có cực tiểu

Vậy m   thì hàm số có cực tiểu.2

2.

O

N

H I

Ta có A m (1; 1)

Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị  C

tại A Phương trình đường thẳng d là:

4 2   1 1 4 2  3 5 0

Đường thẳng d luôn đi qua điểm cố định

3

;1 2

I  

  nằm trong đường tròn

Do đó d luôn cắt đường tròn tại hai điểm M N, Gọi H là trung điểm MN

Ta có: MN 2MH 2 4 OH2 2 4 OI2  3

min

2

m

Vậy với

11 4

m 

thì MN đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3

Thuanchy@gmail.com

Câu II (4,0 điểm)

1 Giải phương trình

2

sin cos 2

5

3

x

 

 

 

 

2

1

dx



  



Lời giải

Tác giả:Vũ Thị Thuần; Fb:Xu Xu

1 Ta có:

2

2

cos2 1

5 1; 1 cos 2 1 5 5 5

x

x

x x

Vậy

2 sin

cos 2 5

3

x

x

 

 

 

  , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

2 sin 0

cos 2 1

x









Lại có x1 x5  1 x  x5  1 x x 5  , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi6

1 x x  5    0 5 x 1

Do đó

2 sin cos2 5

3

x

 

Vậy phương trình có hai nghiệm là x;x0.

I

1 1

dx

x x



1



2 x 2 x 112

4 2 2 3 2

tongangoquyen@gmail.com

Câu III (5,0 điểm)

1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a và  ABC   Gọi 60 E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh SC , SD Biết SA SC SD  và mặt phẳng ABEF vuông

góc với mặt bên SCD

, tính thể tích khối chóp S ABCD theo a

2 Cho tứ diện ABCD có độ dài các cạnh AB 3, AC 4, AD 6 và các góc

BAC BAD   , CAD   Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng  90 AB và CD

Lời giải

Tác giả: Trần Tố Nga; Fb: Trần Tố Nga

1.

Gọi M là trung điểm của CD , I là giao điểm của EF và SM , H là giao điểm của AM và

DO

Có ABCD là hình thoi cạnh 2a, ABC   nên 60 ACD đều cạnh 2a



{. là tâm đường tròn ngoại tiếp

Có SA SC SD nên hình chiếu của S lên mặt phẳng ABCD

trùng với H hay

Có ABEF  SCD theo giao tuyến EF

Mà SM EF (Do SM CD EF CD; // )

AIM

  vuông tại I

I

H E

C B

S

F

D

M A

O

+) Gọi K là trung điểm của HM  IK là đường trung bình của SHM

 {¿

Xét AIM vuông tại I có IK AM nên

2

15



Vậy .

1 3

S ABCD ABCD

V  SH S 1 152 2sin 60

3 3

a

a

3

2 5 3

a



2.

Gọi N là trung điểm của AD , M là điểm trên cạnh AC sao cho

3 4

AM  AC

Vì AB 3, AC 4, AD 6  ABAM AN 3

H

I S

  vuông tại B

Gọi O là trung điểm của MN thì O là tâm đường tròn ngoại tiếp BMN

Lại có AB AM AN3

và

2

Vì BMN vuông tại B nên

;

Đặt hệ trục toạ độ Oxyz như hình vẽ với:

0;0;0

O

,

3 2 0;0;

2

  ,

3 2

;0;0 2

  ,

3 2

;0;0 2

3 2 0; ;0 2

+) Vì N là trung điểm của AD nên

3 2 3 2

;0;

+) Có

2 2 ;0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Có }   AB CD,    3; 15; 15  

Có AC   2 2 ;0; 2 2 

, 6 2 30 2 36 2

AB CD AC

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

Áp dụng công thức

,

AB CD AC

d AB CD

AB CD



  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

 

17

9 225 225

d AB CD

Rinnguyen1991@gmail.com

Câu IV. (2,0 điểm) Cho đa thức f x  x4ax3bx2cx với ; ;1 a b c là các số thực không âm Biết

rằng phương trình f x   0

có 4 nghiệm thực, chứng minh f 2018 20194

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Văn Rin; Fb: Nguyễn Văn Rin

Nhận xét: Nếu x là nghiệm của phương trình 0 f x   0

thì x  (vì nếu 0 0 x  thì0 0

Gọi 4 nghiệm của phương trình f x   0 là  x1; x2; x3; x4 với x i 0, i 1; 4.

Khi đó f x   x x 1 x x 2 x x 3 x x 4

; f  0  1 x x x x1 2 3 4  1

Ta có

2018 2018 i 1 1 1 i

laàn

4

1 2 3 4 1

2019 i 2019 2019

i



Dấu “=” xảy ra  x1x2 x3 x4  1

tanznguyen.a1@gmail.com

Câu V. (2,0 điểm) Giải hệ phương trình:

1





    

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Trường An; Fb: Trường An Nguyễn

 

1 2





    



Cộng vế  1

và  2

ta có:

y  y x  x  y   y x  x

(do  y2 1 y  y2 1 y 1

nên ln y2 1 y  ln y2 1 y

)

Xét hàm số f t    t3 t ln t2 1 t

trên 

1

1 1

t t





 

6

1

t

t

  



 

0 0

t







  

(phương trình 6 t 2 13 1

vô nghiệm vì 6 t213     6 1, t

) Bảng biến thiên:

t

 

f t

 

f t

0



0



Từ bảng biến thiên ta có f t      Hàm số 0, t f t  đồng biến trên 

Ta có:  3  f x  f y   y x

Thay yx vào  2

ta có: x3 x x 2 x 1 x3 x2 2x 1 0 4 

Đặt

1 3

t x

Phương trình  4

trở thành:

 

0 5

t t

Với

2 7 3

t 

thì

3 1

2 7

t

 , do đó tồn tại 0; sao cho

3 cos

2 7

t

 

hay

2 7 cos 3

Thay

2 7 cos 3

vào  5

ta có:

3

27  9 27

56 7 cos3 3cos 14 7 7





cos3

14

 

arccos

arccos

k

k k















Do 0; nên suy ra

7 arccos

cos arccos

7 arccos

cos arccos

7 arccos

cos arccos







 

 

 



































(Phương trình bậc ba có tối đa 3 nghiệm nên ta không cần xét trường hợp

2 7 3

t 

)

Câu VI. (2,0 điểm) Cho dãy số được xác định như sau:

1

*

1

u







1 Tìm số hạng thứ 10 của dãy số đã cho.

2 Chứng minh rằng u2019 là số vô tỷ.

Lời giải

1 Từ giả thiết dễ thấy u n    1, n *

Khi đó u n1  1 2 u u n n1 u2n1 1 2u u n n1 u2n1 2u u n n11 0 u n1u n 1u2n

Đặt

cot , 0;

4

n

u     

  (do u n    1, n * ), khi đó

2 2

1

2cos

n

u







Ta thấy u1 1 cot 4



 

nên u2 cot8 cot23,u3 cot24

, từ đó ta tìm được công thức tổng

quát của dãy số là: u n cot2n 1







Vậy u10 cot211





2 Từ giả thiết ta viết lại

2 1 1

1 2

n n

n

u u

u









, nên nếu u n1 hữu tỷ thì u hữu tỷ n

Do đó u2019 cot22020





số hữu tỷ thì u2018 hữu tỷ….và 2 cot 1 2

8

u    

hữu tỷ, vô lý

cot