Tìm giới hạn bằng máy tính cầm tay nguyễn văn phép file word

TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI PHÁP THỰC HIỆN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY MTCT ĐỂ TÍNH GIỚI HẠN Kiến thức giới hạn dãy số và giới hạn hàm số là cơ sở của hai phép tính đạo hàm và tích

TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI PHÁP THỰC HIỆN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY (MTCT) ĐỂ TÍNH GIỚI HẠN

Kiến thức giới hạn dãy số và giới hạn hàm số là cơ sở của hai phép tính đạo hàm và tích phân ở phổ thông trung học Kiến thức về giới hạn không những khó đối với người học mà còn khó đối với người dạy Trong tình hình hiện nay để cập nhật phù hợp thi trắc nghiệm Để giúp giảm bớt khó khăn nên tôi soạn đề tài này

Giải pháp thực hiện bằng máy tính cầm tay (MTCT) để tính giới hạn Dãy số:

Quy ước: trong máy tính không có biến n nên ta ghi x thay cho n.

• Gặp hàng số: C×10 ,10 C×1020 … đọc là (dấu của C) nhân vô cực với C là hằng số (chú ý có thể lớn hơn

10)

Ví dụ − ×5 1010 (đọc là âm vô cực ghi −∞)

• Gặp hằng số C×10−12 đọc là 0 (chú ý số mũ có thể nhỏ hơn −10)

A Dãy có giới hạn là 0

Ví dụ 1: ( )1

lim

5

n

n

− + máy ghi:

( )1

5 calc x

x

x

− + ? Nhập 1010[ ]= Kq: 9.99999995 10× − 11 ta đọc là 0

Cách bấm máy:

 Nhập vào máy tính: (sau khi đã mở máy)

Màn hình sẽ xuất hiện:

 Sau đó nhập: , màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số khác ở dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến quá trình bấm máy)

 Ta nhập tiếp:

Màn hình sẽ xuất hiện:

Kq: 9.99999995 10× −11 ta đọc là 0

Vậy ( )1

5

n

n

−

= +

Ví dụ 2: ( )

2

1 cos lim

1

n

n n

− + nếu nhập

( )

2

1 cos

1 calc

x

x x

− + như trên máy sẽ Math ERROR – Vận dụng định lý 1 Nếu u n ≤v n với mọi n và lim v n =0 thì limu n =0

– Ta chỉ cần ghi 21

1 calc x?

x + nhập 10[ ]

10 = kết quả 20

1 10× − đọc là 0

Vậy ( )

2

1 cos

1

n

n n

−

= +

Ví dụ 3: ( )1

lim

2 1

n n

− + máy ghi ( )1

2 1 calc x?

x x

− + 100 kq:

31

3.84430 26 10× − đọc là 0

Cách bấm máy:

 Nhập vào máy tính: (sau khi đã mở máy)

Màn hình sẽ xuất hiện:

Sau đó nhập: , màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số khác ở dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến quá trình bấm máy)

 Ta nhập tiếp:

Màn hình sẽ xuất hiện:

Vậy ( )1

2 1

x

x

−

= +

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: Tìm các giới hạn

1 ( )

2

1 lim n

n

− +

2 ( )1 lim

2 1

n

n

−

sin lim

5

n

cos 2 lim

1

n

n +

B Giới hạn hữu hạn:

Ví dụ 1: ( )1

lim 2

2

n

n

+

+

  máy ghi:

( )1 2

2 calc x?

n

n

− + + nhập 1010[ ]= kq là 2 Cách bấm máy:

 Nhập vào máy tính:

Màn hình sẽ xuất hiện:

 Sau đó nhập: , màn hình sẽ xuất hiện (có thể sẽ xuất hiện con số khác ở dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến quá trình bấm máy)

 Ta nhập tiếp:

Màn hình sẽ xuất hiện:

Vậy ( )1

2

n

n

+

Ví dụ 2: lim sin 3 1 1

4

n n

 − = −

sin 3 1 4

n

n ≤ n mà lim1 0

n= khi đó lim 1( )− = −1 nên lim sin 3 1 1

4

n n

 − = −

Ví dụ 3:

2

2

3 5 lim

2 1

n

− +

−

Cách bấm máy:

 Nhập và máy tính:

Màn hình sẽ xuất hiện:

 Sau đó nhập: , màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số khác ở dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến quá trình bấm máy)

 Ta nhập tiếp:

Màn hình sẽ xuất hiện:

Vậy

2

2

3 5

2 1

n

− + =

−

Với cách bấm máy tương tự cho các ví dụ sau:

Ví dụ 4:

3

lim

5 7

− + máy ghi

3

5 7 calc x?

− + nhập 1015[ ]= kq là 2− Vậy

3

5 7

Ví dụ 5: Máy ghi

1

2 3 11

3 2 4 calc x

+

1 9

− Vậy:

1

2 3 11 1

lim

+

− + =−

Ví dụ 6: lim 13.3 15

3.2 4.5

n

− + máy ghi

13 3 15

3 2 4.5 calc X?

X

× + nhập 100 0 [ ] 17

3.19755 10× − đọc là 0

Vậy lim13.3 15 0

3.2 4.5

n

+ (chú ý dấu nhân không ghi dấu chấm)

C Giới hạn vô cực:

Ví dụ 1:

3

2

3 5 lim

2 11

n

− − +

+ máy ghi

3

2

3 5

2 11 calc x?

n

− − + + nhập 15[ ]

10 = kq 14

5 10

− × đọc là âm vô cực Vậy

3

2

3 5 lim

2 11

n

− − + = −∞

+

Cách bấm máy:

 Nhập vào máy tính:

Màn hình sẽ xuất hiện:

 Sau đó nhập: , màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số khác ở dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến quá trình bấm máy)

 Ta nhập tiếp:

Màn hình sẽ xuất hiện:

Vậy

3

2

3 5 lim

2 11

n

− − + = −∞

+

Ví dụ 2: lim 5( n2− +3n 1) máy ghi (5n2− +3n 1) calc x? nhập 1015[ ]= kq là 5 10× 30 (đọc là dương vô cực)

Cách bấm máy:

 Nhập vào máy tính:

Màn hình sẽ xuất hiện:

 Sau đó nhập: , màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số khác ở dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến quá trình bấm máy)

 Ta nhập tiếp:

Màn hình sẽ xuất hiện:

Vậy

3

2

3 5 lim

2 11

n

− − + = +∞

+

lim 3n +5n + −n 1 máy ghi: 4 2

3n +5n + −n 1 calc x? nhập 1015[ ]= kq: 1.73205 08 10× 30 (đọc là dương vô cực)

Vậy: lim 3n4+5n2+ − = +∞n 1

(Nhập tương tự ví dụ 2)

( )

f n

từng biểu thức f n g n ( ) ( ),

Ví dụ 1:

3

2

2 3 2 lim

3 5

n

− máy ghi

3

2

2

3n calc x?

n nhập 1015[ ]= kq: −6.66666667 10× 14 (đọc là âm vô cực)

Cách bấm máy:

 Nhập vào máy tính:

Màn hình sẽ xuất hiện:

 Sau đó nhập: , màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số khác ở dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến quá trình bấm máy)

 Ta nhập tiếp:

Màn hình sẽ xuất hiện:

Vậy

3

2

2 3 2

lim

3 5

n

− + − = −∞

− Tương tự cho các ví dụ bên dưới

Ví dụ 2: lim 6 7 3 5 8

12

n

+ máy ghi

6

calc x?

n

n nhập 1015[ ]= kq 1 10× 30 (đọc là dương vô cực) Vậy lim 6 7 3 5 8

12

n

+

Ví dụ 3: lim3 1

2 1

n n

+

− máy

3 1

2 1 calc x?

x x

+

100 = 4065611 10× đọc là +∞

* CHÚ Ý: Gặp n

a nhập n=100

Vậy lim3 1

2 1

n

n+ = +∞

−

Ví dụ 4:

2

4 5 lim

+ + máy ghi

2

3

3n calc x

n ? Nhập 1015[ ]= kq: 0

Vậy:

2

4 5

+ +

Ví dụ 5: lim 2 24 3 2

− + máy ghi

4

2

2

2n calc x?

n nhập 15[ ]

10 = kq: 2

2

Nếu gặp dạng tổng – hiệu hai căn cần chú ý lượng liên hợp rút gọn trước khi áp dụng dạng trên.

Ví dụ 1: lim( n2+ + −n 1 n) ta có ( 2 ) ( 2 )

1 1

1

n

+ + + − =

+ + + máy ghi 2n calc x?

n +n nhập

[ ]

15

10 = kq: 1

2

2

n + + − =n n

Ví dụ 2: lim 1

n+ − n+ ta có

1

Mà lim n = +∞

Vậy: lim 1

Ví dụ 3: lim 1

3n+ −2 2n+1 máy ghi

1

3 2 calc x?

n− n nhập 1015[ ]= kq: 0 Vậy: lim 1 0

3n 2 2n 1=

+ − + (các hệ số trước n lệch nhau không cần nhân lượng liên hợp)

Ví dụ 4: lim 2 1 1

3 2

n

+ máy ghi:

2

3 calc x?

n

− nhập 15[ ]

10 = kq: 1

3

Bài tập rèn luyện:

Tìm các giới hạn sau:

1

2

2

lim

3 2

n

− −

2

2

3 5 lim

1 2

n

+ +

− (KQ: 0)

3 lim 2 2

1

n

n

lim n + −n n −1 (KQ: 1

2)

5

3

2 3 1

lim n n

5

lim

1 4

n

− (KQ:

27

4 )

7 lim 2 1 4 2 2

3

n

3 4 1 lim

2.4 2

− + + (KQ: 1− )

B GIỚI HẠN HÀM SỐ

1 GIỚI HẠN HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

( )

0

lim

x x f x

→ Nếu f x xác định tại ( ) x viết 0 f x( ) calc? x0[ ]= f x( )0

Ví dụ 1: ( 3 2 )

2

lim 5 10

→ + + máy viết: (x3+5x2 +10x) calc X? 2[ ]= 48

Cách bấm máy:

 Nhập vào máy tính:

Màn hình sẽ xuất hiện:

 Sau đó nhập: , màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số khác ở dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến quá trình bấm máy)

 Ta nhập tiếp:

Màn hình sẽ xuất hiện:

Vậy ( 3 2 )

2

limx→ x +5x +10x =48

Tương tự cho ví dụ 2

5 6

2

x

f x

−

2 CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH:

2.1 Dạng 0

0 Khi tìm

( ) ( )

0

limx x f x

g x

→ mà f x( )0 =0 và g x( )0 =0

Ví dụ 3:

2

4 lim

3 2

x

x

− + máy ghi

2

2

4

3 2 calc X?

x

−

− + nhập 2,000001 (lớn hơn 2 một tí ti) máy hiện 3,999997 làm tròn đọc là 4 hay nhập x=1,999999999 (nhỏ hơn 2 một tí ti) [ ]= 4

Cách bấm máy:

 Nhập vào máy tính:

Màn hình sẽ xuất hiện:

 Sau đó nhập: , màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số khác ở dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến quá trình bấm máy)

 Ta nhập tiếp:

Màn hình sẽ xuất hiện:

Vậy

2

4

3 2

x

x

− + Tương tự cho các ví dụ tiếp theo

Ví dụ 4:

3

3 2 lim

4 3

x

→

− +

− + máy ghi

3

4

3 2

4 3 calc X?

− +

− + Nhập 0,9999999[ ]1

2

= Vậy

3

3 2 1 lim

4 3 2

x

Ví dụ 5:

72 lim

2 3

x

→

− −

− − máy ghi

2

72

2 3 calc X?

− −

− − nhập 3,0000001 kq: 25,50000069 đọc là 25,5 hoặc nhập 2,9999999 kq: 25, 49999993 đọc là 25,5

Vậy

72 51 lim

2 3 2

x

→

Ví dụ 6: 1 2

lim

x

  máy ghi 2

1 1 calc X?

  nhập 1,000000001[ ]= KQ: 1

2

−

lim

x

1 1 calc X?

  nhập 1,000000001[ ]= −1 KQ: 1−

Ví dụ 8:

limx a x a

x a

→

−

− máy ghi

calc

x a

−

−

Chọn a=0 khi đó x→0 kq: 0

Chọn a=1 khi đó x→1 kq: 4 4 1= × 3

Chọn a=2 khi đó x→2 kq: 32 4 2= × 3

Chọn a=3 khi đó x→3 kq: 108 4 3= × 3

Vậy

3

limx a x a 4a

x a

→

− Nhận xét bài này thực hiện phép chia giải tự luận nhẹ hơn!

Bảng chia Hoocner

limx a x a x ax a x a limx a x ax a x a 4a

x a

−

2.2 DẠNG: ∞

∞ thường gặp khi x→ ±∞ nếu dạng

( ) ( )

f x

g x không chứa căn bậc chẵn thì tính như giới hạn dãy Chỉ khác n thay bằng x, khi x→ −∞ nhập −1010

Ví dụ 1:

3

3 2 2 lim

x

→+∞

− + − máy ghi

3

20

3 2 2

10

2x 2x 1 calc X?

3 2

−

Ví dụ 2:

3

3 1 lim

2 2

x

→−∞

− + − máy ghi

10 3

3 1

2 2 calc X? -10

Ví dụ 3:

3

3 1 lim

2 2

x

− + − máy ghi

10 3

3 1

10

2 2 calc X?

20

1 10

− × → −∞ (đọc là trừ vô cực)

Ví dụ 4: lim 2 3 2

3 1

x

x

→−∞

− máy ghi

2

20

3 2

10

3 1 calc X?

x

1 3

Ví dụ 5:

2

2

4 2 1 2 lim

9 3 2

X

→±∞

− + + −

TH1:

2

20 2

4 2 1 2 lim

9 3 2 CALC X? 10

X

→+∞

− + + −

− + (trong căn) KQ:

1 5 TH2:

2

20 2

4 2 1 2

9 3 2 CALC X?

X

→−∞

Ví dụ 6: limX→+∞( x2+ + −x 1 x) dạng (∞ − ∞)

1 CALC X?

x

+

1 2

limX→−∞ x + + −x 1 x Khi đó không phải dạng (∞ − ∞) nên không cần nhân lượng liên hợp

1 CALC 10

2 10× đọc là +∞