Tài liệu ôn thi đại học về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng gồm củng cố kiến thức liên quan và bài tập. Chia bài tập làm 4 dạng, bài tập về điểm, đưởng thẳng, bài tập về tam giác, bài tập tứ giác và bài tập liên quan đường tròn. Có bài tập tự luyện kèm theo.
Trang 1A TÓM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN
I PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1 Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Vectơ u 0 r≠r đgl vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu giá của nó song song hoặc trùng với ∆
Nhận xét:– Nếu u r
là một VTCP của ∆ thì ku r
(k ≠ 0) cũng là một VTCP của ∆ – Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTCP.
2 Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Vectơ n 0 r ≠r đgl vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu giá của nó vuông góc với ∆
Nhận xét: – Nếu nr là một VTPT của ∆ thì knr (k ≠ 0) cũng là một VTPT của ∆.
– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTPT.
– Nếu u r
là một VTCP và n r
là một VTPT của ∆ thì u r ⊥n r
3 Phương trình tham số của đường thẳng
Cho đường thẳng ∆ đi qua M x y0( ; ) và có VTCP u u u0 0 r =( ; )1 2
4 Phương trình chính tắc của đường thẳng
Cho đường thẳng ∆ đi qua M x y0( ; ) và có VTCP u u u0 0 r =( ; )1 2
5 Phương trình tổng quát của đường thẳng
PT ax by c 0+ + = với a2+b2 ≠0 đgl phương trình tổng quát của đường thẳng.
Nhận xét: – Nếu ∆ có phương trình ax by c 0+ + = thì ∆ có:
VTPT là n r=( ; )a b và VTCP u r = −( ; )b a hoặc u r =( ; )b a− – Nếu ∆ đi qua M x y0( ; ) và có VTPT n a b0 0 r=( ; ) thì phương trình của ∆ là:
a x x( − 0)+b y y( − 0) 0=
• ∆ đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b ≠ 0): Phương trình của ∆: x y
a b+ =1.
(phương trình đường thẳng theo đoạn chắn)
• ∆ đi qua điểm M x y0( ; ) và có hệ số góc k: Phương trình của 0 0 ∆: y y− 0 =k x x( − 0)
(phương trình đường thẳng theo hệ số góc)
6 Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆1: a x b y c1 + 1 + =1 0 và ∆2: a x b y c2 + 2 + 2 =0.
Toạ độ giao điểm của ∆1 và ∆2 là nghiệm của hệ phương trình:
a x b y c
a x b y c12 12 12
00
Trang 27 Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆1: a x b y c1 + 1 + =1 0 (có VTPT n r1=( ; )a b1 1 )
8 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thẳng ∆: ax by c 0+ + = và điểm M x y0( ; ).0 0
• Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng
Cho đường thẳng ∆: ax by c 0+ + = và hai điểm M x y( M; M), ( ;N x y N N)∉∆.
– M, N nằm cùng phía đối với ∆⇔ (ax M +by M +c ax)( N +by N + >c) 0.
– M, N nằm khác phía đối với ∆⇔ (ax M +by M +c ax)( N +by N + <c) 0.
• Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆1: a x b y c1 + 1 + =1 0 và ∆2: a x b y c2 + 2 + 2 =0cắt nhau.
Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng ∆1 và ∆2 là:
Phương trình đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R: (x a− )2+ −(y b)2 =R2
Nhận xét: Phương trình x2+y2+2ax+2by c+ =0, với a2+b2− >c 0, là phương trình đường tròn
tâm I(–a; –b), bán kính R = a2+b2−c
2 Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R và đường thẳng ∆
Trang 32 Phương trình chính tắc của elip
2 2
2 + 2 =1 (a b> >0,b2=a2−c2)
• Toạ độ các tiêu điểm: F1( ;0), ( ;0)−c F c2
• Với M(x; y) ∈ (E), MF MF1, 2 đgl các bán kính qua tiêu điểm của M.
• Hình chữ nhật cơ sở: tạo bởi các đường thẳng x= ±a y, = ±b (ngoại tiếp elip)
4 Đường chuẩn của elip (chương trình nâng cao)
• Phương trình các đường chuẩn ∆i ứng với các tiêu điểm Fi là: x a
4 Tính chất đường phân giác :
Chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỷ lệ
với hai cạnh kề hai đoạn thẳng ấy
AC
⇒uuur= − uuur
5 Bài toán tam giác :Một số lưu ý:
Khi giả thiết bài toán cho đường cao, nghĩ đến khai thác quan hệ vuông góc
Khi giả thiết bài toán cho trung tuyến, nghĩ đến khai thác quan hệ trung điểm
Khi giả thiết bài toán cho đường phân giác, nghĩ đến khai thác quan hệ đối xứng.
Bài 1.(KB-2011- CB)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng :∆ − − =x y 4 0 và d: 2x-y-2=0 Tìm tọa độ điểm N
Giải
+/ Vì M ∈∆ nên M a a( ; −4) Vì N thuộc d nên N b b( ; 2 −2)
+/ Đường thẳng ON cắt ∆ tại M thì O,M,N thẳng hàng : OMuuuur=kONuuur (k≠0)
Trang 4xúc với các cạnh BC,CA,AB tương ứng tại các diểm D,E,F Cho D(3;1) và đường thẳng EF có phương trình y− =3 0 Tìm tọa độ đỉnh A , biết A có tung độ dương
Giải
Phương trình đường thẳng BD là: y− =1 0
tiếp tuyến từ một điểm nằm ngoài đường tròn kẻ đến đường
tròn) nên ta có AB AC= Vậy, tam giác ABC cân tại A
Suy ra D là trung điểm BC
Đường thẳng AD đi qua D và vuông góc với EF có phương trình
a a
= −
⇒ = +) Với a= −1⇒ = −F ( 1;3) Suy ra đường thẳng BF có phương trình 4x+3y− =5 0
Ta có A là giao điểm của AD và BF nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:
3
+) Với a=2⇒ =F ( )2;3 Suy ra đường thẳng BF có phương trình 4x−3y+ =1 0.
Ta có A là giao điểm của AD và BF nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:
33
13
3
x x
-2
A
B()
C D(3;1 )
y=1 y=3 d
Trang 5Gọi M x y là trung điểm của AC.( ; )
Với G là trọng tâm tam giác ABC⇒BGuuur=2GMuuuur (1)
Ta có : M(x;y) ⇒GMuuuur= −(x 1;y−1 ) BGuuur=( )5;0 nên:
Gọi D là điểm đối xứng với B qua đường phân giác d Ta có D AC∈
Đường thẳng BD đi qua B và vuông góc với d nên có phương trình :
Đường thẳng AC đi qua D và M nên có phương trình 4x y− − =13 0
Giải
Ta có hai đường thẳng d d cắt nhau tại 1, 2 O( )0;0 .
Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến 1 nur1 =( )3;1
Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến 2 nuur2 =( 3; 1− )
Do đó ta có ·BOA=600 Ta có tam giác ABC vuông tại B suy ra AC
là đường kính Mặt khác đường tròn (T) tiếp xúc với d tại A, do vậy1
Trang 6Đường thẳng AC đi qua A vuông góc với d nên có phương trình 31 x−3y− =4 0.
Vì C là giao điểm của AC và d nên tọa độ điểm C thỏa mãn hệ phương trình:2
2
; 23
Gọi D là trung điểm của BC, H là trung điểm của AD
Ta có: AD⊥BC (Vì tam giác ABC cân) và H d∈
Đường thẳng AD qua A(6;6) và vuông góc với d nên có phương trình:
điểm của AD)
Đường thẳng BC qua D(-2;-2) và song song với d nên có phương trình: x y+ + =4 0
Điểm B thuộc BC suy ra B t t( ;− −4) Vì D là trung điểm của BC nên C(− −4 t t; )
Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(3;-7), trực tâm H(3;-1) và tâm đường tròn ngoại tiếp
là I(-2;0) Xác định tạo độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương
Giải
* Cách 1.Phương trình đường thẳng AH là x=3
Gọi D là giao điểm của AI với đường tròn ngoại tiếp Suy ra I là trung điểm của AD
Gọi M là giao điểm của HD và BC
Vì tứ giác BHCD là hình bình hành nên M là trung điểm của BC
A(6;6)
d:x+y-4=0
H E(1;-3)
Trang 7Xét tam giác ADH có IM là đường trung bình Suy ra 1
Gọi C m( ;3)∈BC, do C có hoành độ dương cho nên : m>0
Vì M là trung điểm của BC nên B(− −4 m;3)
Gọi H a b là hình chiếu vuông góc của A trên d.( );
Gọi K,E lần lượt là hình chiếu của H lên trục Ox, Oy
H
K
d A(0;2)
E
Trang 8Suy ra H(2 5 2; 5 1− − ) hoặc H(−2 5 2; 5 1− − )
Vậy có hai đường thẳng d:
( 5 1− )x−2 5 2− y=0 hoặc : ( 5 1− )x+2 5 2− y=0
Chú ý : Ta còn có cách giải khác :
Gọi H a b là hình chiếu vuông góc của A trên d.( );
Gọi K,E lần lượt là hình chiếu của H lên trục Ox, Oy
Xét tam giác vuông OAH ta có :
Giải
Đặt :d x y+ − =5 0
Gọi C' là điểm đối xứng của C qua phân giác d thì C' phải nằm
trên AB và tam giác AC'C vuông cân tại A
Gọi d' là đường thẳng qua C(-4;1) và vuông góc với d
C' đối xứng với C qua H suy ra C'=(4;9)
Vì A nằm trên d suy ra A a( ;5−a) Do hoành độ A dương cho nên a>0
Với a=4 suy ra A(4;1)
Đường thẳng AC' đi qua A(4;1) có nhận uuuurAC'=( )0;8 làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số
H
K
d A(0;2)
E
Trang 9Chú ý Bài này còn có cách giải khác
Vì C' đối xứng với C qua d: x+y-5=0 suy ra C'(x;y) thỏa mãn :
Gọi H là trung điểm của BC Vì tam giác ABC cân tại A nên H là hình chiếu của A lên d
Gọi d' là đường thẳng qua A(-1;4) và vuông góc với d thì d' có phương
Trang 10Vì M là trung điểm AB suy ra B(3;-2)
Đường thẳng BC qua B(3;-2) vuông góc với đường cao AH nên có phương trình:
Vì C đối xứng với B qua N suy ra C(-3;-1)
Vậy AC qua A(1;2) và nhậnuuurAC= − −( 4; 3) làm vec tơ chỉ phương nên có phương trình x−4y+ =5 0
BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình là x− 3y− =2 0 và haiđiểm phân biệt A( )1; 3 và B không thuộc đường thẳng d Lập phương trình đường thẳng AB Biếtrằng khoảng cách từ điểm B đến giao điểm của đường thẳng AB với đường thẳng d bằng hai lầnkhoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d
Bài 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy viết phương trình các cạnh tam giác ABC biết trực tâm
H(1;0) , chân đường cao hạ từ đỉnh B là K(0;-2) và trung điểm cạnh AB là M(3;1)
Bài 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích bằng 2 Đường thẳng AB có
phương trình x-y=0 Điểm I(2;1) là trung điểm của cạnh BC Tìm tọa độ trung điểm M của đoạnthẳng AC
Bài 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân tại A Biết cạnh huyền nằm
2
thẳng AB Xác định tọa dộ các đỉnh tam giác
Bài 5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đường cao AH , đường trung tuyến CM
và đường phân giác trong BD Biết H(-4;1), M 17;12
x y+ + = Điểm M(1;1) nằm trên cạnh AB Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
Bài 7 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có chu vi bằng 16 đỉnh A và B
thuộc đường thẳng d có phương trình 2 2x y− −2 2 0= B và C thuộc Ox Xác định tọa độ trọngtâm tam giác ABC
Bài 8 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với đỉnh A(1;-3) và đường thẳng BC có
phương trình : x-2y-2=0 Tìm tọa độ B,C biết tam giác ABC vuông cân tại B
Bài 9 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(5;-3), trọng tâm G(3;1) Đỉnh B
thuộc đường thẳng d có phương trình : 2x+y-4=0 Tìm tọa độ các dỉnh B,C biết BC bằng 2 2 và B
Trang 11phương trình AC: 3x+4y+6=0 và điểm M(1;-3) nằm trên đường thẳng BC thỏa mãn 3MB=2MC Tìmtọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Bài 11 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trực tâm H, phương trình cạnh
ABC tại điểm N(7;-1) Xác định tọa độ các đỉnh A,B,C và viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tamgiác HBC
Bài 12 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(3;4) ;B(1;2), đỉnh C thuộc
đường thẳng d có phương trình : x+2y+1=0 , có trọng tâm G Biết diện tích tam giác GAB bằng 3, tìmtọa độ đỉnh C
Bài 13 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với đỉnh A(1;-2), đường cao CH , phân
giác trong BK lần lượt có phương trình x y− + =1 0 và 2x y+ + =5 0 Tìm tọa độ điểm M thuộcđường thẳng BC sao cho tam giác AMB cân tại M
Bài 14 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có cạnh AC đi qua M(0;-1) Biết
AB=2AM, đường phân giác trong AD có phương trình : x-y=0 và đường cao CH có phương trình là2x+y+3=0 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
Bài 15 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-1;2) và đường thẳng d: x-2y+3=0 Tìm trên
đường thẳng d hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại C và AC=3BC
II VỀ HÌNH CHỮ NHẬT
Cần nắm:
1 Trong hình chữ nhật : Hai cạnh liên tiếp vuông góc nhau
2 Hai đường chéo cắt nhau tại điểm giữa mỗi đường
3 Hai cạch đối diện nhau bằng nhau
3 Theo tính chất hai đường thẳng song song bị cắt bởi một cát tuyến :
- Các góc so le bằng nhau
- Các góc cùng phía bằng nhau
Bài 1 (KD-2012 )
và x y− + =4 0, đường thẳng BD đi qua diểm 1;1
11;
34
Gọi∆ là đường thẳng đi qua E vuông góc với AD Đường thẳng ∆ có phương trình x y+ =0
Đường thẳng ∆ cắt AC tại I thì I là tâm hình chữ nhật
Đường thẳng ∆ cắt AD tại K thì K là trung điểm của AD
Ta lại có B đối xứng với D qua I nên ta có :B= −(1; 3)
C D
I
C D
I
M
N E K
Trang 12toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật, biết C có tọa độ nguyên.
- Đường thẳng BC qua B và vuông góc với AB cho nên
có véc tơ chỉ phương: ur = − ⇒(1; 2) nuuurBC =( )2;1
M(1;5)
E F
d:y+y-5=0 I(6;2)
A
B
C D
x-7y+14=0 x-2y+1=0
I
M(2;1)
Trang 13+ Với b= −7a, chọn a= ⇒ = −1 b 7 Ta có nr= −(1; 7) Đường thẳng AC đi qua M và có vectơ pháp tuyến nr= −(1; 7) nên có phương trình là: (x− −2) (7 y− = ⇔ −1) 0 x 7y+ =5 0.
Vì C là giao điểm của AC và BC nên tọa độ điểm C thỏa mãn hệ phương trình:
Bài 3 Viết phương trình cạnh AB của hình chữ nhật ABCD biết cạnh AB ,BC,CD và DA lần lượt
đi qua các điểm M(4;5) ,N(6;5);P(5;2) và Q(2;1) với diện tích hình chữ nhật bằng 16
Bài 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(1;1) Các đường thẳng
chứa các cạnh AB , AD lần lượt đi qua các điểm M(-2;2) và N(2;3) Xác định tọa độ các điểm
A,B,C,D , biết 3AB=2AD và điểm A có hoành độ âm
III VỀ HÌNH VUÔNG
Cần nắm:
1 Các cạnh đôi một vuông góc nhau và bằng nhau
2 Hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau
3 Bốn tam giác vuông cân : AIB,BIC,CID và AID bằng nhau
4 Nếu cạnh hình vuông bằng a thì hai đường chéo có đọ dài là a 2
Vì I là trung điểm của AC nên C( )3; 4 .
Vì B BD∈ nên tọa độ điểm B có dạng: B t t( ;7 +8) Vì I là trung điểm BD nên suy ra D(− −1 ;1 7t − t)
Đường thẳng AB đi qua A và nhận uuurAB=( )4;3 làm vectơ chỉ phương nên có pt: 3x−4y+32 0=
Đường thẳng AD đi qua A và nhận uuurAB=( )4;3 làm vectơ pháp tuyến nên có pt: 4x+3y+ =1 0
C D
I
Trang 14Đường thẳng DC đi qua C và nhận uuurAB=( )4;3 làm vectơ chỉ phương nên có pt: 3x−4y+ =7 0.
Đường thẳng BC đi qua C và nhận uuurAB=( )4;3 làm vectơ pháp tuyến nên có pt: 4x+3y−24 0=
Bài 2 (KA-2012) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm cạnh BC, N
Xét tam giác EPD ta có ·DEP=90 ;0 ·EDP=450 nên EPD là tam giác vuông cân tại E⇒ED EP x= = Suy
Bài 3 (KA-2014) Trong mặt phẳng tạo độ Oxy cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm của AB
Trang 15và N điểm thuộc đoạn AC sao cho AN =3NC Viết phương trình đường thẳng CD, biết rằng M( )1; 2 ,
(2; 1)
Giải
Gọi a là độ dài cạnh của hình vuông ABCD (Điều kiện a>0)
Ta có AC a= 2 Theo giả thiết ta có :
Khi đó I là giao điểm của đường tròn tâm M, bán kính bằng 4 và đường tròn tâm N, bán kính bằng 2
12
65
x y
Vậy, CD y: + =2 0 hoặc CD x: 3 −4y− =15 0
Chú ý : bài này còn có cách giải khác :
Gọi I là tâm của hình vuông
Dựng đường thẳng đi qua N và vuông góc với AB cắt AB, CD lần lượt tại K, H
Vì N là trung điểm của IC nên K là trung điểm của MB
Ta có AMK∆ vuông tại K và ·MAK =450 nên AMK∆ vuông cân nên AK =NK.Đặt MK =a a( >0) Ta có NK =AK =3a
Xét tam giác MAD vuông tại A, ta có :MD2 =MA2+AD2 =22+42 =20⇒MD=2 5
Ta có NH =HC=1 Xét tam giác NHD vuông tại H, ta có :
Do đó, D là giao điểm của đường tròn tâm M, bán kính 2 5 và đường tròn tâm N, bán kính 10
Trang 16y y
Vậy, CD y: + =2 0 hoặc CD x: 3 −4y− =15 0
BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1 Viết phương trình các cạnh hình vuông ABCD biết AB,CD,lần lượt đi qua các điểm P(2;1)
1 Có hai cặp cạnh tương ứng song song và bằng nhau
2 Hai đường chéo cắt nhau tại điểm giữa mỗi đường và chúng vuông góc
với nhau
3 Hai đường chéo là hai trục đối xứng của hình thoi
4 Các tam giác cân bằng nhau : ABD=CBD và ABC=ADC
2
Bài 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD có tâm I(1;1) , điểm M(2;3) thuộc đường thẳng
chứa cạnh AB và N(4;-1) thuộc cạnh CD Biết độ dài AC=2BD Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi.
Giải
Gọi E đối xứng với N qua I thì E thuộc cạnh AB và E(-2;3) ,do đó AB
có vectơ chỉ phương MEuuur= −( 4;0) Suy ra AB có phương trình
3 0
y− = và có vec tơ pháp tuyến là nuuurAB =( )0;1
Gọi nrAC =( )a b; là vectơ pháp tuyến của AC (với a2+b2 >0) thì
Trang 17và nhận nrAC = −(1; 2) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình x−2y+ =1 0.
Đường thẳng BD đi qua I và vuông góc với AC nên có phương trình: 2x y+ − =3 0
Đường thẳng BD đi qua I và vuông góc với AC nên có phương trình: 2x y− − =1 0
Giải Cách 1
Vì B thuộc d1⇒B t( 1;8−t1) và D thuộc d2⇒D t(22−3;t2)⇒BDuuur=(2t2− −t1 3;t2+ −t1 8)
Dường thẳng AC có vectơ pháp tuyến nr =( )1;7 Do BD vuông góc
AC nên vec tơ BDuuur cùng phương với nr=( )1;7
Từ đó suy ra : uuurBD=( )1;7 ⇒BD=5 2 và đường thẳng BD có phương trình 7x y− + =8 0
x-2y+3=0
I
