Chuyên đề 16 số nguyên tố

111Equation Chapter 1 Section 1CHUYÊN ĐỀ 16:- Cách xác định số lượng các ước của một số: Nếu số M phân tích ra thừa số nguyên tố được M a b x... CÁC DẠNG BÀI TẬPC.. Chứng minh rằng tổng

111Equation Chapter 1 Section 1CHUYÊN ĐỀ 16:

- Cách xác định số lượng các ước của một số:

Nếu số M phân tích ra thừa số nguyên tố được M a b x y c z thì số lượng các ước của

M là x1  y1  z1

Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn Từ đó suy ra

+Số chính phương chia hết cho 2, phải chia hết cho 2 2

+Số chính phương chia hết cho 3 thì phải chia hết cho 3 2

+Số chính phương chia hết cho 3 thì phải chia hết cho 3 4

3 +Số chính phương chia hết cho 5 thì phải chia hết cho 5 2

- Tính chất chia hết liên quan đến số nguyên tố:

Nếu tích a b chia hết cho số nguyên tố p thì hoặc a p hoặc b p

Đặc biệt nếu a p n thì a p

+ ước nhỏ nhất khác 1 của một hợp số là một số nguyên tố và bình phương lên không vượt quá nó

+Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng : 4n  1

+Mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều có dạng 6n  1

Hai số nguyên tố sinh đôi là hai số nguyên tố kém nhau 2 đơn vị

Một số bằng tổng các ước của nó (không kể số đó) gọi là “ Số hoàn chỉnh”

Ví dụ 6 1 2 3   nên 6 là một số hoàn chỉnh

B CÁC DẠNG BÀI TẬP

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN (cứ 10 bài giải 1 lần)

Bài 1 Tìm số nguyên tố p sao cho p2;p  cũng là số nguyên tố.4

Bài 2 Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 Biết p  cũng là số nguyên tố Chứng 2

minh p  chia hết cho 61

Bài 3 Cho , p p  là các số nguyên tố 4  p  Chứng minh 3 p  là hợp số8

Bài 4 Cho , a n   biết 5.*, n

a  Chứng minh : a 2 150 25

Bài 5 Cho a b p p  , là một số nguyên tố Chứng minh a và b nguyên tố cùng nhau.

Bài 6 Nếu a2  b2là một số nguyên tố thì a2  b2  a b

Bài 7 Chứng minh rằng tổng bình phương của 3 số nguyên lớn hơn 3 không thể là

Bài 9 Dùng bảng các số nguyên tố nhỏ hơn 100 hãy nêu cách kiểm tra một số nhỏ

hơn 1000 có là số nguyên tố hay không ? Xét bài toán trên đối với các số 259; 3531

Bài 10.Có tồn tại 1000 số tự nhiên liên tiếp đều là hợp số hay không ?

Đáp án từ bài 1 đến bài 10

Bài 1.

Vì p là số nguyên tố nên p có một trong 3 dạng sau: 3 ,3 k k 1,3k  với k là số tự 2nhiên

Nếu p3k thì p 3 p 2 5,p 4 7  đều là số nguyên tố

Nếu p3k  thì 1 p 2 3k  3 3(k 1) chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p+2 là hợp

số, trái giả thiết

Nếu p3k  thì 2 p 4 3k  6 3k 2 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p  là 4hợp số, trái với giả thiết

Vậy p  là số nguyên tố cần tìm.3

Bài 2.

Do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẻ p là số chẵn nên 1 p  1 2 (1)

p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên có dạng 3 1 k  hoặc 3 k 2(k  )

Dạng p3k  không xảy ra1

Dạng p3k  cho ta 2 p 1 3k  3 3 (2)

Từ (1) và (2) suy ra p  1 6

Bài 3.

p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 3 1 k  hoặc 3k 2k  

Nếu p3k  thì 2 p 4 3k  chia hết cho 3 nên là hợp số, trái với đề bài6

Vậy p có dạng 3 k  khi đó 1 p 8 3k chia hết cho 3 Nên 9 p  là hợp số.8

a d b d   a b d   p d d  Điều này vô lý vì p là một số nguyên tố

Vậy ,a blà hai số nguyên tố cùng nhau.

Do đó tổng bình phương của 3 số nguyên tố là 6n3 3, n1

Điều này chứng tỏ tổng bình phương của 3 số nguyên tố lớn hơn 3 là hợp số

Số 259chia hết cho 7 nên là hợp số

Số 353không chia hết cho tất cả các số nguyên tố

Bài 10 Có Gọi a 2.3.4 1001 Các số A2;A3;A4; ;A1001là 1000 số tự nhiên liên tiếp và rõ ràng đều là hợp số (đpcm)

ĐỀ BÀI TỪ BÀI 11 ĐẾN BÀI 20

Bài 11.Chứng minh rằng không thể có hữu hạn số nguyên tố

Bài 12.Cho số tự nhiên n 2.Chứng minh rằng các số n ! 1có ít nhất một ước nguyên

tố lớn hơn n

Bài 13.Chứng minh rằng tồn tại vô số số tự nhiên n sao cho n2 x2p trong đó p là

số nguyên tố và x là số tự nhiên

Bài 14.Tìm tất cả các số nguyên tố có dạng

 1

1 2

Bài 18.Chứng minh rằng với số nguyên tố p 5không tồn tại đẳng thức

 p 1 ! 1  p m với mọi m tự nhiên

Bài 19.Cho a,b, p là 3 số tự nhiên bất kỳ Chứng minh rằng ta tìm được hai số k, l

nguyên tố cùng nhau sao cho ak pl chia hết cho p

Bài 20.Cho ba số tự nhiên a b c, , sao cho các số q b c a q a,  bc r c,  ab đều là số nguyên tố Chứng minh rằng hai trong ba số p,q,r bằng nhau.

ĐÁP ÁN TỪ BÀI 11 ĐẾN BÀI 20

Bài 11.Giả sử chỉ có hữu hạn số nguyên tố là p p1 , , , 2 p n, trong đó p nlà số lớn nhất trong các số nguyên tố

Xét số A p p 1 2 p n 1thì A chia hết cho mỗi số nguyên tố p i1  i nđều dư 1 (1)

Mặt khác Alà hợp số (vì nó lớn hơn số nguyên tố lớn nhất là p n), do đó A phải chia hết cho một số nguyên tố nào đó, tức là A chia hết cho một trong số các số

i

p  i n (2), mâu thuẫn với (1)

Vậy không thể có các hữu hạn nguyên tố (đpcm)

Bài 12 Gọi a n ! 1.Do n 2 a1.Một số tự nhiên lớn hơn 1 đều có ít nhất một ước nguyên tố Gọi p là ước nguyên tố của a.Ta sẽ chứng minh rằng p n

Thật vậy, giả sử p n thì tích 1.2.3 nchia hết cho p, ta có n!chia hết cho p, mà a

chia hết cho p nên 1 chia hết cho p, vô lý

Bài 13.Lấy n3k2(k là số tự nhiên) Từ đẳng thức n2 x2 p

Suy ra p n 2  x2 n x n x    

Vì p nguyên tố và n x nên n x 1và n x p

Từ đó p 2n 1 3 2   k 1, điều không thể xảy ra

Vậy số đó có dạng 3k 2(có vô số như thế) không thể biểu diễn dưới dạng x2p

n n 



là hợp số Thật thế, với n2k Ta có :

Nếu n 2 ta có số nguyên tố đầu tiên là 2, nếu n=3 thì ta có số nguyên tố 5

Bài 15.Giả sử n2m, thế thì nó có thể viết dưới dạng n tk ,trong đó k lẻ lớn hơn 1

 2 ( 1)

2n 1 2tk 1 2 1t t k 2 (t k 2) 2t 1)

là hợp sốVậy điều giả sử là sai vì 2n 1

 theo đề bài là số nguyên tố

Bài 16.Nếu p 2 2232 13x m(trong đó x m, là số tự nhiên và m 1)

Giả sử bây giờ p là số nguyên tố nào đó Thế thì

 theo đề bài là số nguyên tố

Bài 18.Giả sử với m tự nhiên nào đó ta có đẳng thức  p 1 ! 1  p m,thế thì  p  12

Bài 20.Hai trong 3 số a b c, , có cùng tính chẵn lẻ, giả sử đó là hai số a b,

Vì b ccùng tính chẵn lẻ như b nên p b c alà chẵn Nhưng p là số nguyên tố nên

p  a b  Khi đó

ĐỀ BÀI TỪ BÀI 21 ĐẾN BÀI 30

Bài 21.Giả sử p>2 là số nguyên tố Chứng minh

2

pchỉ có thể biểu diễn bằng một cách

dưới dạng

2 1 1

p  x yvới x, y là hai số nguyên dương khác nhau

Bài 22.Tìm tất cả các số tự nhiên N (theo hệ thập phân) thỏa mãn các điều kiện sau :

,

N aabb trong đó aabvà abblà số nguyên tố

Bài 23.Tìm số tự nhiên p sao cho p và p 3đều là số nguyên tố

Bài 24.Tìm số nguyên tố p sao cho p 4và p 8đều là số nguyên tố

Bài 25.Chứng tỏ rằng nếu p a b  là một số nguyên tố thì a b, là hai số nguyên tố cùng nhau

Bài 26.Cho a, b là hai số nguyên tố cùng nhau Chứng minh rằng ab a b;  nguyên tố cùng nhau

Bài 27.Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng là 601

Bài 28.Cho A  5 5253 5 100

a) Số A là số nguyên tố hay hợp số

b) Số A có phải là số chính phương hay không ?

Bài 29.Số 54 có bao nhiêu ước ? Viết tất cả các ước của nó

Bài 30 Gọi d( N)là số ước của N Tìm tất cả số N sao cho N/d(N)=p với p là số nguyên tố (lưu ý: cả số 1 và N được coi là ước của N)

ĐÁP ÁN TỪ BÀI 21 ĐẾN BÀI 30

Bài 21.Nhân cả hai vế của phương trình

2 1 1

p  x y với 2xyprồi chuyển 2xpvà 2yptừ

vế phải sang vế trái , sau đó cộng thêm p2vào 2 vế, ta biến đổi phương trình thành dạng 2x p  2y p  p2

Do x và y là 2 số phân biệt nên 2 thừa số ở vế trái của phương trình cũng phân biệt Vậy tích của chúng có thể bằng p2chỉ trong trường hợp một trong hai thừa số bằng 1, còn thừa số kia bằng p2

Trường hợp thứ hai chỉ khác do x và y đổi chỗ cho nhau

Bài 22.Do aablà số nguyên tố, tức là 110a b là số nguyên tố ta có b 1,3,7 hoặc 9

Từ điều kiện thứ nhất, ta có : N  11 100 a b  Theo bảng số nguyên tố ta tìm được các cặp số nguyên tố aabvà abbthỏa mãn điều kiện thứ nhất sau đây :

Một số tự nhiên bất kỳ có 1 trong hai dạng : 2 ,2n n 1n 

Nếu p2n1thì p 3 2n 4 2

Ta có p  3 3và p3 2  p3là hợp số (trái với đề bài)

Do đó p2nmà p nguyên tố nên p 2 p 3 5nguyên tố

Bài 25.Giả sử avà b là hai số không nguyên tố cùng nhau

Ta suy ra avà b phải có ít nhất một USC d>1

Bài 26 Giả sử abvà a b không nguyên tố cùng nhau

Ta suy ra abvà a b có 1 USC nguyên tố d

Tương tự b d

Vậy ab a b;  nguyên tố cùng nhau nếu a b, nguyên tố cùng nhau

Bài 27.Tổng của hai số nguyên tố là 601; là một số lẻ nên một trong hai số phải là số

nguyên tố chẵn nên 1 số là 2 Số còn lại là 599

b     nhưng 5 không chia hết cho 25 nên A không chia hết cho

25 nên A không là số chính phương

Bài 29.54 2.3 3.Số ước của 54 là 1 1 3 1       8(ước)

Bài 30 Giả sử q là ước của N Hiển nhiên nếu q không chia hết cho p thì q cũng là

ước của d N ,trong trường hợp trái lại q p/ là ước của d(N)

ĐỀ BÀI TỪ BÀI 31 ĐẾN BÀI 40

Bài 31.Chứng minh rằng phân số 2

  là phân số tối giản

Bài 32.Tìm tất cả các giá trị của số tự nhiên n để phân số sau tối giản:

Bài 33.Cho phân số tối giản

ab b có tối giản hay không

Bài 34.Ta biết rằng có 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 Tổng của 25 số đó chẵn hay lẻ Bài 35.Tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012 Tìm số nguyên tố nhỏ nhất trong 3 số

nguyên đó

Bài 36.Tổng của hai số nguyên có thể bằng 2003 không ? Vì sao ?

Bài 37.Tìm số nguyên tố p, sao cho p2,p4cũng là các số nguyên tố

Bài 38.Cho p và p+4 là các số nguyên tố  p 3  Chứng minh rằng p+8 là hợp số.

Bài 39.Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 4n 1hoặc

 2  d| 2n 8  2n 16 (2  n 5) 21 3   

Từ (1) và (3)  d| 21  d1;3;7;21

D nguyên tố nên  d 3hoặc d 7

Muốn phân số đã cho là phân số tối giản thì n 8không chia được cho 3 và 7

Do đó ta có n3k1,n7m 1, với k m, là các số tự nhiên và k 1,m1

Vậy các giá trị của n phải tìm là n3k1,n7m 1với n ,n3

Bài 33.Giả sử phân số

Vậy nếu

a

blà phân số tối giản thì

a

a b cũng là một phân số tối giản

Bài 34.Trong 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 có chứa một số nguyên tố chẵn duy nhất là

2 Còn 24 số nguyên tố còn lại là lẻ Do đó tổng của 25 số nguyên tố là số chẵn

Bài 35.Vì tổng của 3 số nguyên tố là 1012, nên trong 3 số nguyên tố đó có ít nhất 1 số

chẵn, mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 Nên 2 là số cần tìm

Bài 36 Vì tổng của 2 số nguyên tố bằng 2003, nên trong 2 số đó tồn tại 1 số nguyên tố

chẵn là 2 Số còn lại là 2001 3

Nên tổng 2 số bằng 2003 không xảy ra

Bài 37.Giả sử p là số nguyên tố

Nếu p=2 thì p 2 4;p 4 6đều không phải là số nguyên tố

Nếu p 3thì p có 1 trong 3 dạng :3 ,3k k1,3k2với k  *

*)p 3k p  3 p  2 5;p  4 7đều là các số nguyên tố

*)p 3k  1 p  2 3(k  1) 3 Do đó p=2 là hợp số

*)p 3k  2 p  4 3k  6 3 k 2 , do đó p+4 là hợp số

Vậy với p 3thì p2,p4cũng là các số nguyên tố

Bài 38.Vì p là số nguyên tố và p 3,nên p có dạng 3k1;3k2với k  *

Nếu p 3k  2 p  4 3k 2 3 nên là hợp số

Nếu p 3k  1 p  8 3k  9 3k 3 3 nên là hợp số

Vậy số nguyên tố p có dạng p3k1và p 8là hợp số

Bài 39.Mỗi số tự nhiên n khi chia cho 4 có thể có 1 trong các số dư : 0,1,2,3 Do đó

mọi số tự nhiên n đều có thể viết được dưới 1 trong 4 dạng : 4 , 4k k1, 4k2, 4k3với k  *

ĐỀ BÀI TỪ BÀI 41 ĐẾN BÀI 50

Bài 41 Tìm p q P,  sao cho p2 8q1

Bài 42.Tìm k để trong 10 số tự nhiên liên tiếp : k1;k2;k3; ;k10có nhiều số nguyên tố nhất

Bài 43.Chứng minh rằng có vô số số nguyên tố có dạng 3x 1x 1

Bài 44.Chứng minh rằng: có vô số số nguyên tố có dạng 4x 3x 

Bài 45.Nếu p là số nguyên tố và 1 trong 2 số 8p-1; 8p+1 là số nguyên tố thì số cò lại

là hợp số hay số nguyên tô

Bài 46.Nếu p 5và 2p 1là các số nguyên tố thì 4p 1là nguyên tố hay hợp số

Bài 47.Trong dãy số tự nhiên có thể tìm được 1997 số liên tiếp nhau mà không có số

nguyên tố nào hay không ?

Bài 48.Chứng minh rằng có thể tìm được 1 dãy số gồm n số tự nhiên liên tiếp n 1

không có số nào là số nguyên tố

Bài 49.Tìm 3 số nguyên tố sao cho tích của chúng gấp 5 lần tổng của chúng

Bài 50.Chứng minh rằng  p  1 ! chia hết cho p nếu p là hợp số, không chia hết cho p nếu p là số nguyên tố

Vậy q 2,vì q thuộc (P), q  2 2,q  1

Từ (3) ta có : k 2và q k  1 k 2,q3

Thay kết quả trên vào (2) ta có : p 2.2 1 5  hoặc

1 ( )

Bài 44.

Nhận xét : Các số nguyên tố lẻ không thể có dạng 4xhoặc 4x 2

Vậy chúng chỉ có thể tồn tại dưới 1 trong 2 dạng:

4x 1hoặc 4x 3.Ta sẽ chứng minh có vô số số nguyên tố có dạng 4x+3

+) Xét tích 2 số có dạng 4x 1là : 4m 1và 4n 1 Ta có :

4m 1 4  n 1  16mn 4m 4n  1 4 4 mn m n    1 4x 1

Vậy tích của 2 số có dạng 4x 1là một số cũng có dạng 4x 1

Lấy 1 số nguyên tố p bất kỳ có dạng 4x  1,ta lập tích của 4p với tất cả các số nguyên

tố nhỏ hơn p rồi trừ đi 1, khi đó ta có :

Những số nguyên tố có dạng 4x  1cũng chính là những số có dạng 4x 3và bài toán được chứng minh.

Khả năng 2

N là hợp số: Chia N cho 2,3,5,….p đều được các số dư khác 0 nên các ước nguyên tố của N đều lớn hơn p Các ước ngày không thể có dạng 4xhoặc 4x 2(vì đó là hợp số).Cũng không thể toàn các ước có dạng 4x  1nên ước này hiển nhiên lớn hơn p

Vậy có vô số số nguyên tố có dạng 4x  1(hay có dạng 4x 3)

Vậy nếu p P và 1 trong 2 số 8p 1;8p  1  P thì số còn lại phải là hợp số

Bài 46.Xét 3 số tự nhiên liên tiếp : 4 ;4p p1;4p2

Trong 3 số tự nhiên liên tiếp ắt có 1 số là bội của 3

Mà p5,p P nên p có dạng 3k 1 hoặc 3k 2

+) Nếu p 3k  1 4p 4 3 k 1  3Q  1 p và 4p 2 4(3k1) 2  p3 3QMặt khác 4p  2 2 2 p 1  3Q 3 3Q  2 2 p 1 3  2p 1 3 

+) Nếu p có dạng 3k 2, khi đó 4p  1 4 3 k 2  1 12k  9 3M 3  4p 1là hợp

số Vậy trong 3 số ắt có 1 số là bội của 3

Bài 47.Chọn dãy số

 là số nguyên tố.Chứng minh rằng m cũng là số nguyên tố

Bài 52.Chứng minh rằng 1994! 1 có mọi ước nguyên tố lớn hơn 1994

Bài 53.Chứng minh rằng n 2thì giữa n và n!có ít nhất 1 số nguyên tố (từ đó suy ra

có vô số số nguyên tố)

Bài 54.Tìm tất cả các giá trị của số nguyên tố p để p 10và p 14cũng là số nguyên

tố

Bài 55.Tìm số nguyên tố p để p2;p6;p18đều là số nguyên tố

Bài 56.Tìm tất cả các số nguyên tố p để 2p  p2cũng là số nguyên tố

Bài 57.Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p| 2p1

Bài 58.Chứng tỏ rằng nếu 3 số a a n a,  , 2n đều là số nguyên tố lớn hơn 3 thì n chia hết cho 6

Bài 59.Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì  p 1 p 1 chia hết cho 24.

Bài 60.Tìm số nguyên tố p sao cho các số sau cũng là số nguyên tố

 là hợp số (trái với giả thiết 2m 1

 là số nguyên tố) nên điều giả sử khôngthể xảy ra

Vậy m phải là số nguyên tố (đpcm)

Bài 52.Gọi p là ước số nguyên tố của (1994! 1)

Giả sử p1994 1994.1993 3.2.1p 1994!p

Mà 1994! 1  p 1 p(vô lý)

Vậy p không thể nhỏ hơn hoặc bằng 1994 hay p1994(dfcm)

Bài 53.Vì n 2nên k n ! 1 1, do đó k có ít nhất một ước số nguyên tố p

Ta chứng minh p n .Thật vậy, nếu p n thì n p!

Mà k p  n! 1  p Do đó 1 p (vô lý)

Vậy p n  n p n ! 1 n dfcm!( )

Bài 54.Nếu p 3 p10 13, p14 17 đều là số nguyên tố nên p3( )tm

Nếu p 3 pcó dạng 3k 1hoặc dạng 3k  1

*Nếu p 3k  1 p 14 3  k 15 3  k 5 3

*Nếu p 3k  1 p 10 3  k  9 3k 3 3

Vậy nếu p 3thì hoặc p+10 hoặc p+14 là hợp số không thỏa mãn bài ra

Do đó : giá trị duy nhất cần tìm là p 3

Bài 55.ta có p=5 thỏa mãn bài ra

Bài 56.Xét hai trường hợp :

Vậy p=3 là số nguyên tố thỏa mãn tính chất p| 2p1

Bài 58.Chú ý rằng, các số nguyên tố (trừ số 2) đều là các số lẻ

Nếu nlẻ thì n a là số chẵn (là hợp số- trái giả thiết)