Chuyên đề 4 số nguyên tố ước chung bội chung

Trong ngày khai giảng, ba lớp cùng xếp thành một số hàng dọc như nhau để diễu hàng mà không lớp nào có người lẻ hàng.. Tính số hàng dọc nhiều nhất có thể xếp được... Chứng minh rằng: Tro

CHUYÊN ĐỀ 4 SỐ NGUYÊN TỐ - ƯỚC CHUNG – BỘI CHUNG

ĐỀ BÀI TỪ BÀI 1 ĐẾN BÀI 10

Bài 1 Tìm tất cả các số nguyên tố p và q sao cho các số 7 p q và pq  cũng là các 11

a) Tìm các số tự nhiên ,a b biết: a b 96và UCLN a b ( ; ) 6

Bài 9 Tìm số nguyên tố abcdsao cho ab ac là các số nguyên tố và , b2 cd b c 

Bài 10 Tìm hai số tự nhiên a, b biết: BCNN a b( , ) 420; UCLN a b( , ) 21 và a21b

Vậy hai số 7n3,8n nguyên tố cùng nhau khi 1 n31k4k 

b) Gọi hai số phải tìm là a b a b,  , *,a b 

Do A x 183ychia cho 2 và 5 đều dư 1 y1

Vì A x 1831chia cho 9 dư 1 x1831 1 9   x1830 9  x6

Với p3k thì 1 p2  2 9k2 6k chia hết cho 33

Với p3k  thì 2 p2  2 9k2  6k chia hết cho 36

Vì p nguyên tố nên p  , khi đó trong cả 2 trường hợp trên thì 2 p  đền lớn hơn 3 và2 2chia hết cho 3 Tức là p  là hợp số2 2

Vì abcd ab ac là các số nguyên tố nên , ,; ; b c d là các số lẻ và khác 5

Ta có: b2 cd b c   b b  1 9c d

Do: 9c d 10nên

74

9

b b

a b

Bài 14.

Lớp 6A có 54 học sinh, lớp 6B có 48 học sinh, lớp 6C có 42 học sinh Trong ngày khai giảng, ba lớp cùng xếp thành một số hàng dọc như nhau để diễu hàng mà không lớp nào có người lẻ hàng Tính số hàng dọc nhiều nhất có thể xếp được

Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3 Hỏi n 2 2006là số nguyên tố hay hợp số

Bài 20 Tìm UCLN của 777….7 (51 chữ số 7) và 777777

nên p2016chia cho 3 dư 1

Mặt khác: 2018chia cho 3 dư 2, do đó:  p2016 2018 3

+Nếu p 5kthì p nguyên tố nên k  1 p5

+Nếu p5k  1 p14 5 k3 5 và p  nên là hợp số (loại)5

+Nếu p5k  2 p 8 5k 2 5, p5 nên là hợp số (loại)

+Nếu p5k  3 p12 5 k 3 5, p5 nên là hợp số (loại)

+nếu p5k  4 p 6 5k 2 5, p5 nên là hợp số (loại)

Thử lại với p  thỏa mãn.5

Do 7 p q là số nguyên tó lớn hơn 7 nên ,p q không thể cùng chẵn

*)Th1: p2;7p q 14 Ta thấy 14chia 3 dư 2 q

+)Nếu q chia hết cho 3, do q nguyên tố nên q 3 7p q 17;pq11 17( ) tm

+)Nếu q chia cho 3 dư 1 14 q  chia hết cho 3 7 p q  là hợp số

+)Nếu q chia cho 3 dư 2 thì 2q chia cho 3 dư 1 pq11 2 q11 3 nên pq+11 là hợp số

*)Th2: q2;7p q 7p2

+)Nếu 7 3p  p3 p3 7p q 17;pq11 17( ) tm

+)Nếu 7p chia 3 dư 1 thì 7p  chia hết cho 3 nên 72 p  là hợp số2

+)Nếu 7 p chia cho 3 dư 2 thì : 3 p du2 2pchia cho 3 dư 1 pq11 2 p11chia hết cho 3 nên pq  là hợp số11

2p  1 2 1 M luôn chia hết cho 3

Nên p 2 2pchia hết cho 3 nên p 2 2pkhông là số nguyên tố

Vậy với p  thì 3 p 2 2plà số nguyên tố

Bài 18.

Hai số lẻ liên tiếp có dạng 2n  và 1 2n3n 

Gọi d là ước số chung của chúng Ta có 2 n1 ,2d n3d

Nên 2n3  2n1d  2 nhưng d không thể bằng 2 vì d là ước chung 2 số lẻ, d

vậy d  tức là hai số lẻ liên tiếp bao giờ cũng nguyên tố cùng nhau1

Bài 19.

n là số nguyên tố nên n  và không chia hết cho 3 Vậy 3 2

n chia cho 3 dư 1 do đó

Ta có : A B C . 777hay A B C . 777 Từ đó mọi ước chung của A và B đều có ước của 777 Mặt khác 777 là ước số của A và B

A777 10481045 1 ; B777.1001

Vậy 777 là UCLN của A và B

ĐỀ BÀI TỪ BÀI 21 ĐẾN BÀI 30

Khi đó p 2 5, p  đều là các số nguyên tố.4 7

Nếu p3k  1 p 2 3k 3 3, p 3nên p+2 là hợp số (trái với đề bài)

Nếu p3k  2 p 4 3k 6 3, p 3nên p  là hợp số (trái đề bài)4

Vậy p  là giá trị duy nhất phải tìm.3

Thấy ,a n khác tính chất chẵn lẻ thì vế trái (*) là số lẻ nên không thỏa mãn (*)

Nếu ,a n cùng tính chẵn hoặc lẻ thì a n 2,a n  nên vế trái chia hết cho 4 2

và vế phải không chia hết cho 4

Vậy không tồn tại n để n 2 2006là số chính phương

b) n là số nguyên tố nên n  và không chia hết cho 3 Vậy 3 2

n chia cho 3 dư 1 do đó

a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng số đó khi chia cho 3, cho 4, cho 5, cho

6 đều dư 2, còn chia cho 7 thì dư 3

b) Tìm hai số tự nhiên biết tổng UCLN và BCNN là 23

c) Tìm số tự nhiên ;x y biết 32 1x ychia hết cho 45

Mặt khác a là số tự nhiên nhỏ nhất chia 7 dư 3 nên a 122

b) Gọi hai số tự nhiên đó là a b a b  Gọi ,  ,  d UCLN a b ( , )

4) 3

Kiểm tra các trường hợp ta thấy b  thì 5 c10;b thì 4 c 20(thỏa mãn)

Các trường hợp còn lại của b không thỏa mãn

Vậy các bộ số a b c thỏa mãn đề bài là ; ;  2;5;10 , 2;4;20 và các hoán vị của chúng.  

b) Vì p q r  nên p2 q2 2

Do vậy p2 q2 r2là số nguyên tố thì p2 q2 r2phải là số lẻ p q r2, ,2 2là các số lẻ

, ,

p q r

 là các số nguyên tố lẻ

Trong ba số , ,p q r phải có ít nhất 1 số chia hết cho 3 vì nếu không có số nào chia hết

cho 3 thì p q r chia 3 đều dư 1, khi đó 2, ,2 2 p2 q2 r2chia hết cho 3 (mâu thuẫn)

Vì a c t k1, , ,1 1 nguyên dương nên A là hợp số.

ĐỀ BÀI TỪ BÀI 41 ĐẾN BÀI 50

a) Tìm số nguyên tố p sao cho p  và2 p 10là sồ nguyên tố

b) Cho ;p p  là số nguyên tố 4  p 3 Chứng minh p  là hợp số.8

a b

Kiểm tra các trường hợp ta thấy b  thì 5 c10;b thì 4 c 20(thỏa mãn)

Các trường hợp còn lại của b không thỏa mãn

Vậy các bộ số a b c thỏa mãn đề bài là ; ;  2;5;10 , 2;4;20 và các hoán vị của chúng.  

b) Vì p q r  nên p2 q2 2

Do vậy p2 q2 r2là số nguyên tố thì p2 q2 r2phải là số lẻ p q r2, ,2 2là các số lẻ

, ,

p q r

 là các số nguyên tố lẻ

Trong ba số , ,p q r phải có ít nhất 1 số chia hết cho 3 vì nếu không có số nào chia hết

cho 3 thì p q r chia 3 đều dư 1, khi đó 2, ,2 2 p2 q2 r2chia hết cho 3 (mâu thuẫn)

Hai số lẻ liên tiếp có dạng 2n  và 1 2n3n 

Gọi d là ước số chung của chúng Ta có 2 n1 ,2d n3d

Nên 2n3  2n1d  2 nhưng d không thể bằng 2 vì d là ước chung 2 số lẻ, d

vậy d  tức là hai số lẻ liên tiếp bao giờ cũng nguyên tố cùng nhau1

*Nếu p  3 p 2 5;p10 13 đều là nguyên tố (thỏa mãn)

Nếu p  thì p không chia hết cho 33

b) Để a  là bội của 1

11

1

a a

ĐỀ BÀI TỪ BÀI 51 ĐÉN BÀI 60

Bài 51.

Câu 1 Có hay không một số nguyên tố mà khi chia cho 12 thì dư 9 ? Giải thích

Câu 2 Chứng minh rằng: Trong 3 số nguyên tố lớn hơn 3, luôn tồn tại 2 số nguyên tố

mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 12

Bài 54.

a) Tìm n sao cho n2 7n chia hết cho 2 n 4

b) Tìm số 1 7a bsao cho a b  và 3 1 7a bchia cho 9 dư 5

Cho dãy số m1;m2; ;m10với m là số tự nhiên

Hãy tìm tất cả các số tự nhiên m để dãy trên chứ nhiều số nguyên tố nhất

Bài 59.

Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng khi chia số đó cho các số 25;28;35 thì được các số dư lần lượt là 5;8;15

Bài 60.

Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho: a chia cho 2 dư 1, a chia cho 3 dư 1, a chia

cho 5 dư 4, a chia cho 7 dư 3

Suy ra một số nguyên tố lớn hơn 3 khi đem chia cho 12 thì được số dư có 4 giá tri là:1;5;7;11

Chia các số nguyên tố lớn hơn 3 thành 2 nhóm:

+Nhóm 1: Gồm các số nguyên tố khi chia cho 12 thì dư 1 hoặc 11

+Nhóm 2: Gồm các số nguyên tố khi chia cho 12 thì dư 5 hoặc 7

Giả sử p p p1, ,2 3là ba số nguyên tố lớn hơn 3 Có ba số nguyên tố, chỉ nằm trong 2

nhóm, theo nguyên lý Dirichle trong trong 3 số nguyên tố trên, tồn tại ít nhất hai

nguyên tố cùng thuộc 1 nhóm, chẳng hạn p p1, 2cùng thuộc một nhóm

+Nếu p p1, 2khi chia cho 12 thì có số dư khác nhau (tức là dư 1 và 11, hoặc dư 5 và 7)

thì p1 p2 12k1 1 12k2 11 12 k1k2 12 p1 p212

Hoặc p1 p2 12n1 5 12n2  7 12n1n2 1 12  p1 p212

Nếu p p1, 2khi chia cho 12 có số dư bằng nhau thì hiệu p1 p212

Bài 52.

Từ dữ liệu đề bài cho, ta có :

Vì UCLN (a,b)=15 nên ắt tồn tại các số tự nhiên m và n khác 0, sao cho:

Trong các trường hợp thỏa mãn các điều kiện  2 và  3 , thì chỉ có trường hợp

4; 5

m n là thỏa mãn điều kiện  4

Vậy với m4,n ta được các số phải tìm là: 5 a15.4 60; b15.5 75

Ta xem với giá trị nào của k thì a 400và a11

Trong các giá trị trên, chỉ có a 363 400 và a11

Vậy số học sinh cần tìm là 363 học sinh

m  trong dãy luôn chứa 5 số lẻ liên tiếp, các số lẻ này đều lớn hơn 3 và phải có 1 số

lẻ là bội của 3 do đó nó không là nguyên tố Vậy m  thì trong dãy có ít hơn 5 số 3

Vậy a chia cho 91 dư 82

b) Gọi số học sinh khối 6 là a3 a 400

Bài 84.

Lớp 6A có 54 học sinh, lớp 6B có 48 học sinh, lớp 6C có 42 học sinh Trong ngày khai giảng, ba lớp cùng xếp thành một số hàng dọc như nhau để diễu hàng mà không lớp nào có người lẻ hàng Tính số hàng dọc nhiều nhất có thể xếp được

a) Chứng minh n  và 22 n  là hai số nguyên tố cùng nhau5

b) Tìm số tự nhiên x , biết rằng ba số 12;20; x có tích bất kỳ của hai số nào cũng

chia hết cho số còn lại

Bài 88.

Một đoàn công tác gồm 80 người trong đó có 32 nữ Cần phân chia đoàn thành các tổ công tác có số người bằng nhau Số nam, nữ của các tổ đều bằng nhau Hỏi có bao nhiêu cách phân chia doàn thành các tổ để mỗi tổ không có quá 10 người

a b,  105 96 261 156 345 180 357 168 297 120 165 36Tổng 108 112 264 162 348 186 360 174 300 126 168 42

Kiểm tra các trường hợp ta thấy b  thì 5 c10;b thì 4 c 20(thỏa mãn)

Các trường hợp còn lại của b không thỏa mãn

Vậy các bộ số a b c thỏa mãn đề bài là ; ;  2;5;10 , 2;4;20 và các hoán vị của chúng.  

Trong ba số , ,p q r phải có ít nhất 1 số chia hết cho 3 vì nếu không có số nào chia hết

cho 3 thì p q r chia 3 đều dư 1, khi đó 2, ,2 2 p2 q2 r2chia hết cho 3 (mâu thuẫn)

b) Theo đề bài ta có: 20 12x  5 3x  x3

12 20x  3 5x  x5 x 15k

Mà 12.20 15 k  16k  k1;2;4;8;16  x15;30;60;120;240

Bài 88.

Số nam trong đoàn là 80 32 48  người

Gọi số tổ cần chia là n Để số lượng nam, nữ bằng nhau thì ta phải có 48 ,32n n

Nghĩa là n UC (32,48)U(16)

Mỗi ước chung phải là 1 ươc của 16

Suy ra số lượng mỗi tổ có thể chia là 2,4,8 và 16 tổ

Để số lượng người trong 1 tổ không vượt quá 10 ta chia đoàn có thể thành 8 tổ (mỗi tỏ 6nam, 4 nữ) hoặc 16 tổ (mỗi tổ 3 nam , 2 nữ)

Bài 89.

a) Xét phép chia của p cho 5 ta thấy p có 1 trong 5 dạng sau

Nếu p5 ,k p nguyên tố nên p 5

Bài 90.

Giả sử có thêm 4 học sinh nữa thì khi chia cho mỗi tổ 10 em thì cũng còn thừa 1

em như khi chia mỗi tổ 9 em Vậy cách chia sau hơn cách chia trước 4 học sinh Mỗi tổ

10 học sinh hơn mỗi tổ 9 học sinh: 10 9 1  (học sinh)

được 18 sản phẩm còn lại mỗi người làm được 13 sản phẩm Tổ 3 có 1 người làm được

19 sản phẩm còn lại mỗi người làm được 7 sản phẩm Tính số sản phẩm mỗi tổ làm được và số người của mỗi tổ, biết rằng số sản phẩm của mỗi tổ không vượt quá 2000

Cho 2 dãy số tự nhiên 1,2,3, ,50

a) Tìm hai số thuộc dãy trên sao cho UCLN của chúng đạt giá trị lớn nhất

b) Tìm hai số thuộc dãy trên sao cho BCNN của chúng đạt giá trị lớn nhất

1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì UCLN21n4;14n3  1

2) Chứng minh rằng: Nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 và 2 p  cũng là số nguyên 1

Nếu p chia 3 dư 2 thì p+10 là số lớn hơn 3 và chia hết cho 3 nên không là số nguyên tố

Gọi a và b là hai số bất kỳ thuộc dãy 1,2,3, 50.Giả sử a b

a) Gọi d thuộc ƯC(a,b) thì a b d  ta sẽ chứng minh d 25,thật vậy, giả sử d 25thì b 25ta có: a  mà 50 b25 0 a b25, không thể xảy ra

5 5 11 tối giản nên tồn tại các số tự nhiên , ,k l m sao

Theo bài ra p  3 2p  và là số nguyên tố 21 7  p không chia hết cho 3 Suy 1

ra 4p  không chia hết cho 3.2

Mà 4 ;4p p1;4p là ba số tự nhiên liên tiếp nên tồn tại một số chia hết cho 3, do đó2

3) Tìm phân số tối giản

đi Hỏi ba xe lại cùng xuất phát từ bến lần thứ hai vào lúc mấy giờ ?

Do đó p3k khi đó 2 4p 1 4 3 k2  1 3 4 k 3 4p là hợp số1

Bài 104.

a) Từ dữ liệu đề bài cho, ta có:

Vì UCLN a b  nên tồn tại các số tự nhiên m và n khác 0, sao cho:( , ) 21

Vì a21 nên theo trên ta suy ra:b 21m21 21 n 21m1  n m 1 n (4)Trong các trường hợp thỏa mãn các điều kiện (2) và (3), thì chỉ có trường hợp:

4, 5

m n hoặc m2,n là thỏa mãn điều kiện (4).3

Vậy với m4,n hoặc 5 m2,n ta được các số phải tìm là:3

Như vậy p a   2 b 2( ,a b là các số nguyên tố)

Mà a p 2, ,p b  là 3 số lẻ liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 3 Vậy có 1 số p 2bằng 3

Nếu a 3 p5,b thỏa mãn7

Nếu p 3 a không là số nguyên tố1

Nếu b 3 p không là nguyên tố1

Vậy số nguyên tố p  là số nguyên tố duy nhất thỏa mãn5

Sau 5h thì ba xe lại cùng xuất phát, lúc đó là 11 giờ cùng ngày

Xét p 3 2p  p2 17là số nguyên tố Vậy p  thỏa mãn3

Xét p3: p2chia cho 3 dư 1

Còn vì p lẻ nên 2p 22k1 4 2k chia 3 dư 2

Nên 2p  p2chia hết cho 3, mà 2p  p2  nên sẽ là hợp số3

Bài 113.

Tìm p nguyên tố để p 10và p 26cũng là số nguyên tố

Bài 114.

a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng số đó khi chia cho 3, cho 4, cho 5, cho

6 đều dư 2, còn chia cho 7 thì dư 3

b) Tìm hai số tự nhiên biết tổng UCLN và BCNN là 23

c) Tìm số tự nhiên ;x y biết 32 1x ychia hết cho 45

Tìm số dư trong phép chia khi chia một số tự nhiên cho 91 Biết rằng nếu lấy số

tự nhiên đó chia cho 7 thì được dư là 5 và chia cho 13 được dư là 4

Bài 120.

Số học sinh khối 6 của một trường chưa đến 400 bạn, biết khi xếp hàng 10; hàng 12; 15 đều dư 3 nhưng nếu xếp hàng 11 thì không dư Tính số học sinh khối 6 của trường đó.

ĐÁP ÁN TỪ BÀI 111 ĐẾN BÀI 120

Bài 111.

2

2011 1 2011 1) 1 3 5 2009 2011 1 1006 1012036

p  do p nguyên tố nên p không chia hết cho 3

Nếu p3k  thì 1 p 26 3 không thỏa mãn

Nếu p3k  thì 2 p  10 3không thỏa mãn

Vậy p 3

Bài 114.

a) Gọi số tự nhiên đó là a

Ta có: a BC (3;4;5;6) 2  a62;122;182;242 

Mặt khác a là số tự nhiên nhỏ nhất chia 7 dư 3 nên a 122

b) Gọi hai số tự nhiên đó là a b a b  Gọi ,  ,  d UCLN a b ( , )

S chia hết cho 91 nên S chia hết cho 7 91 7.13 

S chia hết cho 10 Do 7,10  nên S chia hết cho 7.10 701 

b) Xét tính chẵn, lẻ của hai số nguyên tố:

- Đều là số lẻ (nếu cả hai đều lớn hơn 2):Lúc đó hiệu là số chẵn nên không thể bằng 2013

Ta xem với giá trị nào của k thì a 400và a11

Trong các giá trị trên, chỉ có a 363 400 và a11

Vậy số học sinh cần tìm là 363 học sinh

ĐỀ BÀI TỪ BÀI 121 ĐẾN BÀI 130

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho số đó chia cho 3 dư 1, chia cho 4 dư 2, chia cho

5 dư 3 , chia cho 6 dư 4 và chia hết cho 11

Bài 126.

1) Tìm số tự nhiên n để n3 n1là số nguyên tố

2) Cho n7 5 8 4a  b Biết a b  và n chia hết cho 9 Tìm a, b6

3) Tìm phân số tối giản

1) Tìm các cặp số x y sao cho ;  34 5x ychia hết cho 36

2) Tìm hai số ,a b biết bội chung nhỏ nhất của , a b là 420, ước chung lớn nhấ của a,

Bài 130.

Với n là số tự nhiên, hãy so sánh bội chung nhỏ nhất của n2   và 3 vớin 2

Vậy hai số 7n3,8n nguyên tố cùng nhau khi 1 n31k4k 

b) Gọi hai số phải tìm là a b a b,  , *,a b 

Gọi số tự nhiên phải tìm là a

Lập luận để có a  là BC của 3;4;5;6 và a là bội của 112

x y

Thay k  vào (1)3  a120.3 1 361  không chia hết cho 13 (loại)

Thay k  vào (1)4  a 120.4 1 481 13   (thỏa mãn)

Vậy số học sinh đồng diễn là 481 em

Nếu n3thì n n 1 3  n n 12chia cho 3 dư 2

Nếu n chia cho 3 dư 1 thì n3k 1k  khi đó

chia cho 3 dư 1

Nếu n chia cho 3 dư 2 thì n  chia hết cho 3 khi đó 1 n2  chia cho 3 dư 2n 2

Như vậy n2   không chia cho 3 với mọi n 2 n   mà 3 là số nguyên tố nên ,





  là phân số tối giản

b) Tìm các giá trị nguyên của n để phân số

2 53

n B n

Bạn An nghĩ ra một số có 3 chữ số, nếu bớt số đo đi 8 đơn vị thì được một số chia hết cho 7, nếu bớt số đó đi 9 đơn vị thì được một số chia hết cho 8, nếu bớt số đó đi

10 đơn vị thì được 1 số chia hết cho 9 Hỏi bạn An nghĩ số nào ?

a) Gọi d là ước chung của n  và 23 n  với d 5

P  P k  hoặc P3k  (do P nguyên tố)2

Khi đó ta thấy P 10,hoặc P 14không nguyên tố

a) Gọi số tự nhiên phải tìm là x

- Từ giả thiết suy ra x19 39,30,42  x19BC39,30,42