chuyen de 6 so nguyen to hop so

_ Cách xác định số lượng các ước của một số: Nếu số M phân tích ra thừa số nguyên tố được M = a*.. Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam Bai 3: Tìm bốn số nguyên tố liên tiếp, sao cho tổ

Trang 1

Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam

NANG CAO PHAT TRIEN & BOI DUONG HSG THEO CHUYEN DE

MON TOAN LOP 6 THEO CHUONG TRINH MOI

(Liên tục khai giảng các khóa học bồi dưỡng Toán trực tuyến dành cho các em HS trên toàn quốc khối 6, 7, 8, 9)

CHUYEN DE 6: SO NGUYEN TO - HOP SO

- §S6 nguyén to 1a s6 tu nhién lớn hon 1, chi có hai ước là 1 và chính nó

- Hop s6 là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước

_ Cách xác định số lượng các ước của một số:

Nếu số M phân tích ra thừa số nguyên tố được M = a* b .c” thì số lượng các ước của M là (x + 1)( y + 1) (z + 1)

Nếu tích a.b chia hết cho số nguyên tố p thì hoặc a: p hoặc b: p

Đặc biệt nếu a" : p thì a:p

Mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều có dạng: 3n + 1 hoặc 3n + 2 Mọi số nguyên tố a lớn hơn 3 thi a? chia cho 3 du 1

Hai số nguyên tố sinh đôi là hai số nguyên tổ hơn kém nhau 2 đơn vị Một số bằng tông các ước của nó (Không kể chính nó) gọi là “Số hoàn chỉnh'

Tuyén tap cac bai toan 6n thi MYTS Toan 6 — Tuyén tap 150 đề thi HSG Toán 6 có dap an va Tuyén [i

tập 16 chuyên đê bôi dưỡng HSG Toán 7 | Thầy Thích - 0919.281.916 (Zalo)

Trang 2

Bai 3: Tìm bốn số nguyên tố liên tiếp, sao cho tổng của chúng là số nguyên tố

HUONG DAN:

Tong cua 4 s6 nguyén t6 là một số nguyên tô => tông của 4 số nguyên tổ là 1 số lẻ => trong 4 số đó tồn tại ít nhất một số nguyên tố chăn Mà số nguyên tố chăn duy nhất là 2 Vậy 4 số nguyên tố cần tìm là: 2; 3; 5; 7

Bài 4: Tống của hai số nguyên tổ có thể bằng 2003 được không?

HUONG DAN:

Vì tổng của 2 số nguyên tô bằng 2003, nên trong 2 số nguyên tố đó tồn tại 1 số nguyên tố

chăn Mà số nguyên tố chăn duy nhất là 2 Do đó số nguyên tố còn lại là 2001 Do 2001

chia hết cho 3 và 2001 > 3 Suy ra 2001 không phải là số nguyên tố => Tống của hai số nguyên tố không thê bằng 2003

Bài 5: Tìm hai số nguyên tố, sao cho tổng và hiệu của chúng đều là số nguyên to

HUONG DAN:

Vi tong hai sô nguyên là một sô nguyên tô nên suy ra: Một trong hai sô là sô nguyên tô 2 Gọi sô nguyên tô còn lại là a

Tuyên tập các bài toán ôn thi MYTS Toán 6 — Tuyển tập 150 đề thi HSG Toán 6 có đáp án và Tuyên l2

Trang 3

- Nếua=5 =>a-2=3;a+2 =7 đều là số nguyên tố

-_ Nếua #5 và a> 5 Xét 2 trường hợp: 3k + 1 và 3k + 2

+achia3 du 1 =>a=3k+1=>a+2=3k+1+2=3k+3 chia hết cho 3 : không là số nguyên tố (Loại)

+a chia 3 dư 2 => a= 3k + 2 => a— 2 = 3k + 2 - 2 chia hết cho 3:

không là số nguyên tố (Loại)

Vậy chỉ có số nguyên tố a duy nhất thoả mãn là 5

Hai số nguyên tố cần tìm là 5 và 2

Bài 6: Tìm số nguyên tố có ba chữ SỐ, biết rằng nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì ta

được một số là lập phương của một số tự nhiên

Goi sé can tim co dang la: abba = 1001a + 110b = 11.(91a + 10b)

Vì sô này được việt dưới dạng tích của ba sô nguyên tô liên tiêp nên ta có các trường hợp

sau:

Tuyên tập các bài toán ôn thi MYTS Toan 6 — Tuyén tap 150 đề thi HSG Toan 6 cé dap an va Tuyén [i

Trang 4

+) abba = 5.7.11 => 9la+ 10b = 5.7 = 35 khong co g14 tri a, b nào thỏa mãn

+) abba = 7.11.13 => 9la+ 10b = 7.13 = 91 => a=1 vab=0 la thỏa mãn

+) abba = 11.13.17 => 91a + 10b = 13.17 = 221 không có giá trị a, b nào thỏa mãn

Vì r là hợp số và r < 42 nên r phải là tích của 2 số r = x.y

X va y khong thé la 2, 3, 7 và cũng không thể là số chia hết cho 2, 3, 7 được vì nếu thế thì

p không là sô nguyên tô

Vậy x và y có thể là các số trong các số ƒ5,I1,13, }

Nếu x=5 và y=11 thir =x.y =55>42

Vậy chỉ còn trường hợp x = 5, y = 5 Khi đó r= 25

Bài 9: Hai số nguyên tố sinh đôi là hai số nguyên tố hơn kém nhau 2 đơn vị Tìm hai số nguyên tố sinh đôi nhỏ hơn 50

HUONG DAN:

Các số nguyên tố sinh đôi nhỏ hơn 50 là: 5 và 7; 11 và 13; 17 và 19; 29 và 31; 41 và 43

Bài 10: Tìm sô nguyên tô, biệt rắng sô đó băng tông của hai sô nguyên tô và băng hiệu của

hai sô nguyên tô

Tuyên tập các bài toán ôn thi MYTS Toán 6 — Tuyển tập 150 đề thi HSG Toán 6 có đáp án và Tuyên lo

Trang 5

- Néup=2 thi p+2=4 vap+ 10 = 12 đều không phải là số nguyên tố

-_ Nếup=3=>;p+2=5;p+ 10 = 13 đều là số nguyên tố -_ Nếup >3 thì số nguyên tố p có một trong 3 dạng : 3k + 1, 3k + 2 với k € N*

+Néu p =3k+1=>p+2=3k+3 chia hét cho 3: khong 1a sé nguyén t6

+ Nếu p= 3k +2 => p + 10 = 3k + 12 chia hết cho 3: không là số nguyên tố

+ Nếu p = 3k + 1 =>p + 14= 3k + 15 chia hết cho 3: không là số nguyên tó

+ Nếu p = 3k +2 => p + 10 = 3k + 12 chia hết cho 3: không là số nguyên tố

Tuyên tập các bài toán ôn thi MYTS Toán 6 — Tuyén tap 150 đề thi HSG Toán 6 có đáp án và Tuyên l9

Trang 6

-Voi p =5k + 1, tacd: p+ 14=5k + 15 =5 (k+3) : 5 (loat)

-V6i p = 5k + 2, tacé: p+ 8=5k + 10 =5 (k+2 ): 5 (loai)

-Với p= Sk + 3, ta có: p + 12 = Sk+ I5 = 5 (k+3) : 5 (loại)

-V6i p =5k + 4, taco: p+ 6=5k + 10 =5 ( k+2) : 5 (loại)

> không có giá trị nguyên tố p lớn hơn 5 thỏa mãn

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 6k - 1 hoặc 6k + 1 nếu p= 6k+1 thi

p†2=6k+3=3(2k+1)chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên là hợp số(vô lí)

do đó p=6k-I=>p+1=6k — 1 + 1 = 6k chia hét cho 6(dpem)

Tuyên tập các bài toán ôn thi MYTS Toan 6 — Tuyén tap 150 đề thi HSG Toan 6 cé dap an va Tuyén

Trang 7

Nén suy ra: p + 1 = 3(k + 1) : (3.2) = 6 (dpem)

Bài 13: Cho a + b =p, p là một số nguyên tố Chứng minh a và b nguyên tố cùng nhau

=> d= I = a, b là hai số nguyên tố cùng nhau

Bài 14: Tìm 3 số nguyên tố sao cho tích của chúng gấp 5 lần tổng của chúng?

HUONG DAN:

Goi 3 s6 nguyén t6 do 1a a,b,c

Ta có: abc =5(a+b+c)

=> abc chia hét cho 5, do a,b,c nguyén tố

=> chỉ có trường hợp 1 trong 3 số =5, giả sử là a =5

=> bc = b+c +5

=> be—b-—c=5

=> b(c - 1)-—(c-—1)-1=5

Tuyên tap cac bai toan 6n thi MYTS Toan 6 — Tuyén tap 150 đề thi HSG Toán 6 có đáp án và Tuyên [i

Trang 8

Trang 9

= 24k +15 chia hết cho 3: là hợp số (trái với giả thiết)

Bài 19: Có phải với mọi số có dạng 6n — 1 hoặc ón + 1 (n € N*) đều là số nguyên tố hay không?

Giải:

Với n=4 => 6n + I =6.4+1= 25 là hợp số

Với n= 13 =6n— I =6.13— 1= 77 là hợp số

Vậy với mọi số có dang 6n — l hoặc 6n + I chưa chắc là số nguyên td

Bài 20: Có tồn tại 1000 số tự nhiên liên tiếp đều là hợp số không?

Giải:

Xét A = 1.2.3 1001

Xét dãy số: A +2; A +3; A+4; ; A + 1001

Ta thấy: A+2:2;A+3:3;A+4:4; ; A + 1001 : 1001

Vậy có tồn tại 1000 số tự nhiên liên tiếp đều là hợp số

Bài 21: Chứng minh rằng không thê có hữu hạn số nguyên tó

Gial:

Trang 10

Suy raL | 23.5 piq => I:q=>q€U(I)= {1} vô lí

Vậy tập hợp các số nguyên tố là vô hạn

Bài 22: Cho số tự nhiên a > 2 Chứng minh rằng số a! — 1 có ít nhất một ước nguyên tố lớn hơn a

Giải:

GọI m = al — I Do a> 2 nên m> T

Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều có ít nhất một ước nguyên tố

Goi p là ước nguyên tố của m Ta sẽ chứng minh rằng: p > a

Thật vậy, giả sử p < a thì: a! = 1.2.3 a: p, màm =al—I:p

Suy ra: 1 : p v6 li

Vay a! — 1 có ít nhất I ước nguyên tổ lớn hơn a

Bài 23: Chứng minh rằng mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều viết được dưới dạng 4k + I

Tuyên tập các bài toán ôn thi MYTS Toán 6 — Tuyển tập 150 dé thi HSG Toan 6 cé dap an va Tuyen Ji

Trang 11

Vì a là số nguyên tố nên a = 4k, 4k + 2 loại

Vậy a sẽ được viết dưới dạng 4k + 1; 4k + 3

Bài 24: Cho a =^ = Xét xem với n bằng 3, 5, 7, 9 thì n là số nguyên tố hay hợp số? GIải:

Vậy, tồn tại 2016 số tự nhiên liên tiếp đều là hợp số

Bài 26: Chứng minh rằng chỉ có duy nhất một bộ ba số nguyên tố mà hiệu của hai số liên

tiếp bằng 4

Hướng dẫn giải:

- Với số nguyên tố 2 không có hai số nguyên tố nào thỏa mãn điều kiện bài toán

- Với số nguyên tố 3 có hai số nguyên tố 7 và 11 là thỏa mãn Vì: 7— 3 =4; 11—7=4

- Với các số nguyên tô lớn hơn 3 tồn tại hai dang 3k + 1 hoặc 3k + 2

- Trong ba số nguyên tố tồn tại hai số nguyên tố khi chia cho 3 có cùng số dư

+) Giả sử hai số nguyên tố a, b và a = 3k + 1,b = 3p + 1 thỏa mãn hiệu của hai số a

—b bang 4 (a> b, a, b, k, p € N*) thi:

Tuyén tap cac bai toan 6n thi MYTS Toan 6 — Tuyén tap 150 đề thi HSG Toán 6 cé dap an va Tuyén Jil

Trang 12

+) Giả sử hai số nguyên tố a, b và a = 3k + 2, b = 3p + 2 thỏa mãn hiệu của hai số a

—b bang 4 (a> b, a, b, k, p € N*) thi:

3k +2—(3p + 2) =3k — 3p =3.(k- p) =4

Mà 3.(k - p) : 3, 4 không chia hết cho 3 nên suy ra: Không có giá trị k, p nào thỏa mãn

Vậy, chỉ có ba số nguyên tố 3, 7, 11 là thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 27: Chứng tỏ rằng nếu 3 số a, a + n, a + 2n đều là số nguyên tố lớn hơn 3 thì n chia hết

cho 6

Giải:

+) Ta có: a + n là số nguyên, a> 3 => n là số chăn => n chia hết cho 2

+) Vì ba số a, a + n, a + 2n là ba số nguyên tố lớn hơn 3 nên suy ra: Tôn tại hai số trong ba

sô trên khi chia cho 3 có cùng sô dư

Gi1ả sử a và a + n là hai sô có cùng sô dư khi chia cho 3

Suyra:a+n—-a:3=>n:3

Suy ra: n chia hết cho (2.3) = 6

Bài 28: Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì: (p - 1)(p + 1) chia hết cho

24

Giải:

Tuyên tập các bài toán ôn thi MYTS Toán 6 — Tuyển tập 150 đề thi HSG Toán 6 có đáp án và Tuyên

Trang 13

+) Xét ba s6: p— 1; p; p + 1 là ba số tự nhiên liên tiếp

Ma p là số nguyên tố lớn hơn 3 => p không chia hết cho 3

Suy ra: Một trong hai số p — 1 hoặc p + 1 chia hết cho 3 => (p - 1)(p + 1) : 3

Bài 29: Tìm số nguyên tố có ba chữ số › biết rằng nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì

được một số là lập phương của một số tự nhiên

GIải:

Gọi số nguyên tố có ba chữ số là: abc Suy ra: Số ngược lại là: cba

Suy ra: 5< cba < 93

Ta có bảng sau:

Suy ra: Số cân tìm là: 521

Tuyên tập các bài toán ôn thi MYTS Toán 6 — Tuyển tập 150 đề thi HSG Toán 6 có đáp án và Tuyến HE

Trang 14

Vậy mọi số nguyên tố lớn hơn 3 thì bình phương của chúng luôn chia 3 du 1

Suy ra: p”; q2; ?? khi chia cho 3 đều du 1

Suy ra: pˆ + q2 + r7? chia hết cho 3 (Loại)

Bài 31: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tổ a, b, c sao cho abc < ab + be + ca

=> Bộ 3 số (a; b; c) là: (2; 3; 5) và các hoán vị của chúng

Bài 32: Tìm 3 số nguyên tố p, q, r sao cho p1 + qP =r

Tuyên tập các bài toán ôn thi MYTS Toán 6 — Tuyển tập 150 đề thi HSG Toán 6 có đáp án và Tuyên li

Trang 15

Ta có: q là số nguyên tổ lớn hơn 3 nên suy ra: q2 chia cho 3 du 1

Với q= 2k + I =>21+ q2= 2#! + q2 = 2.4* + q2 chia hết cho 3 => r chia hết cho 3 là hợp

số (Loại)

KL: (p, q,r)= @, 3, 17); G, 2, 17)

Bài 33: Tìm các số nguyên tổ x, y, z thoa man x¥ + 1 =z

GIải:

Nếu x là số lẻ => xỲ là số lẻ => x? + 1 là số chăn => z không phải là số nguyên tố

Suy ra: x là số chăn, x là số nguyên tố => x = 2

Suy Ta: 2 + ]=z

+) Với y= 2 =>z= 2? + 1 = 5 là các số nguyên tô thỏa mãn

+) Với y= 3 =>z= 23 + 1 =9 là hợp số (Loại)

+) Với y > 3: Suy ra: y là số nguyên tố lẻ => y = 2k + I

Suy ra: z= 27! + 1 = 4.2 + 1 chia hết cho 3 => z là hợp số (Loại)

Tuyên tập các bài toán ôn thi MYTS Toán 6 — Tuyền tập 150 đề thi HSG Toán 6 có đáp án và Tuyên [ii

Trang 16

+) Nếu hai số trên cùng lẻ, số còn lại là chấn: Giả sử a, b cùng lẻ, c là số chăn nên suy ra: p

= bf +a là sô chăn, mà p là sô nguyên tô nên suy ra: p= 2 =>a=b=1

>q=l+c;r=c+rl==q=t

+) Nếu hai số trên cùng chăn, số còn lại là số lẻ: Giả sử a, b cling chan, c là số lẻ

Suy ra: p = b* + a là số chăn, mà p là số nguyên tổ => p = 2

Mà a, b € Nš nên suy ra: p > 2 (Loại)

Vậy 3 số p, q, r có ít nhất hai số bằng nhau

Bài 35: Tìm số nguyên tổ x, y biết:19x + 57 = yŸ

Vì x— 1, x là hai số nguyên liên tiếp => (x - 1).x : 2

Tương tự: y(y - 1): 2; Z(z - l): 2; tít - I): 2

Tuyên tập các bài toán ôn thi MYTS Toán 6 — Tuyển tập 150 đề thi HSG Toán 6 có đáp án và Tuyên [ia

Trang 17

Từ (1) và (2) suy ra: x+y+z+t:2

Vì x, y, z, là các số nguyên dương nên x + y + z + t> 4 nên suy ra: x + y + z + t là hợp

+) Nếu 9c + d = 6, vì c là số lẻ nên 9c + d > 9 loại

+) Néu 9c + d= 20, vì e là số lẻ nên: e = 2, d = 2 là thỏa mãn Vì đ là số lẻ nên d = 2 loại

+) Nếu 9e + đ = 42, vì c, d là số lẻ nên không có giá trị c, d nào thỏa mãn

+) Nếu 9e + đ= 72, vì c, d là số lẻ nên c = 7; d= 9 là thỏa mãn

Vậy số abcd = a979

Vi a979 là số nguyên tổ nên: a + 9 + 7 + 9 =a + 18 + 7 không chia hết cho 3 => a có thể thuộc vào tập hợp: {1; 3; 4; 6; 7; 9}

a I E Ẻ L6 |7 E |

Tuyên tập các bài toán ôn thi MYTS Toán 6 — Tuyển tập 150 đề thi HSG Toán 6 có đáp án và Tuyến ẤM

Tiêu đề	Chuyên Đề 6: Số Nguyên Tố - Hợp Số
Người hướng dẫn	Thầy Thích
Trường học	Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam
Chuyên ngành	Toán
Thể loại	Bài Giảng

Định dạng
Số trang	35
Dung lượng	17,17 MB