Chuyên đề 1 bất đẳng thức

Bài 93.Trước hết ta dự đoán được dấu đẳng thức xảy ra tại Quan sát biểu thức thứ nhất bên vế trái ta thấy cả tử và mẫu cùng chứa các đại lượng.. Suy ra ta được Đại lượng thu được trong

111Equation Chapter 1 Section 1CHUYÊN ĐỀ 1: BẤT ĐẲNG THỨC

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c 

Bài 2 Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a b c    Chứng minh rằng:1.

22

2

b a b b a b ab

Hay ab bc ca a   2 b2 c2, đánh giá cuối cùng là một đánh giá đúng.

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Bài 3 Cho a b c, , là các số thực dương Chứng minh rằng:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c  .

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN (cứ 10 bài giải 1 lần)

Đề bài từ bài 01 đến bài 10.

Bài 01 Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a b c    Chứng mnh rằng:3.

.2

Bài 3 Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn

1 1 1

a b c

a b c     Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 2

a) Cho x y z , , 0 thỏa mãn x y z  1 Chứng minh rằng

3 2

a b c

ab bc ca     

Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong

Bài 02.

Dự đoán được dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c  .

Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử c là số nhỏ nhất trong ba số a b c, , Khi

đó ta cố gắng đánh giá bất đẳng thức xoay quanh biến c Áp dụng bđt Cô si ta

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c  .

ab bc ca abc ab bc ca    

Vậy ta có điều phải chứng minh

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b c  1

Dấu " " xảy ra khi

1 4

Vậy ta có điều phải chứng minh

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi a b c 

1 3

Từ bài 11 đến bài 20

Đề bài:

Bài 11.

Cho ba số dương a,b,c thoả mãn a2 b2  b2 c2  c2 a2 2 2012

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức      

Bài 19.

Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a + b + c = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

2 1006 3

a b 2 0 a2b2 2ab 2ab(a2b )2 (a2b2c )2 18 2ab18 (2)

Cộng từng vế (1) và (2) ta được P = 3ab+bc+ca 27  P Min  27 khi

Nhận xét: trong tất cả các điều kiện và biểu thức, vai trò của x, y đều bình đẳng nên

C đạt GTNN khi x y Do đó, ta biến đổi như bên dưới.

Ta có: C x 2y2xy a x y   2b x y  2 a b x   2y2 2a b xy 

.

Suy ra

3 1

4 1

1 2

4

C 

khi

1 2

2 1

4

C 

khi

1 2

Đặtt ab,0 t t ta được

2 2

Đặt t = xy thì (*) t2  2013t 2014 ≤ 0  (t+1)(t2014) ≤ 0  1 ≤ t ≤ 2014 GTLN của xy là 2014 khi x = y =  2014

GTNN của xy là 1 Khi (x = 1 ; y =1) hoặc ( x = 1; y = 1)

a b c

x y z

Thật vậy, với a, b   và x, y  0 ta có:

Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a + b + c = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

1 3

x y P

x y

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2a2ab2b2  2b2bc2c2  2c2ca2a2 .

Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a b c 3   

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Cho ba số thực dương x y z, , thỏa mãn x y z  3.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Cho x, y là các số thực dương thoả mãn x + y = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4

Chứng minh rằng:

12x+y+z  x2yz  xy2z 

Cho a, b, c là các số thực dơng thay đổi thỏa mãn: a b c   3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

x+2y+z 4 4x  2y  4z (2)

Khi đó A=x2 +y 2 +16y+2x=(5-3y)2+y2+16y+2(5-3y)=10y2-20y+35

=10(y-1)2+2525( vì 10(y-1)2 0 với mọi y)

Dấu “=” xảy ra khi 2

1 10( 1) 0

y y

2 1

x y

a b c  Vậy GTNN của P là

39 2

Bài 045.

Ta có x+3y=5=>x=5-3y

Khi đó A=x2 +y 2 +16y+2x=(5-3y)2+y2+16y+2(5-3y)=10y2-20y+35

=10(y-1)2+2525( vì 10(y-1)2 0 với mọi y)

Dấu “=” xảy ra khi 2

1 10( 1) 0

y y

2 1

x y

DÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = c = 1

VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P lµ 4

Với a b,  0 Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta được:

x z

y ;

2 2

x z

2 2

y x

z +

2 2

z y

x + x  3y (3) và

2 2

z y

x +

2 2

x z

y + y  3z (4) dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1

Cộng vế với vế tương ứng của các bất đẳng thức trên ta được

x  y z

ĐỀ BÀI TỪ BÀI 051 ĐẾN BÀI 060

Bài 051 Cho: a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn: a+b+c = 1 Tìm GTLN của

Bài 057.

Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn

9 4

Bài 060 Cho x0,y  thỏa mãn 0 xy  Tìm giá tri nhỏ nhất của biểu thức:6.

 a b  b c  c a  3(2a 2b 2 )c Dấu đẳng thức xảy ra  a=b=c

Mà a+b+c=1 nên: Min P = 6  a=b=c =

1 3

Bài 052.

Giải: Ta có:

Dấu = xảy ra khi a = b = c = 1

abc 

)

Vậy: a3b3c3 3c a b , dấu ‘=’ xẩy ra ( ) 3

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức T =8 khi x= =y 2.

32

x Q

ĐỀ BÀI TỪ BÀI 061 ĐẾN BÀI 070

Bài 61.Cho a b c , , 0và a b c  32.Tìm giá trị nhỏ nhất của

Bài 65 Tìm GTNN của biểu thức A x2  x 1 x2  x 1

Bài 66.Cho a b c, , là các số thực dương bất kỳ Chứng minh rằng :

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương x2  x1, x2   ta có :x 1

Như vậy ta cần chỉ ra được b2  1 c2  1 0,

tuy nhiên vì vai trò của a b c, , như nhau nên theo nguyên lý Dirichlet thì trong ba số a2  1;b2  1;c2  1luôn tồn tại hai

số cùng dấu và ta hoàn toàn có thể giả sử hai số đó là b2 1;c2 1 Như vậy bài toán được chứng minh xong

Bài 67.Trước hết ta để ý đến đẳng thức xảy ra tại a b c   điều này có nghĩa là 1khi đẳng thức xảy ra thì a 1;b 1;c 1cùng bằng 0, ngoài ra trong bất đẳng thức chứa các đại lượng ab abc, nên ta nghĩ đến tích c a  1 b 1 , tuy nhiên ta chưathể khẳng định được tích đó không âm hay không nên ta sử dụng nguyên lý

Dirichlet

Theo nguyên lý Dirichlet trong ba số a 1;b 1;c 1luôn tồn tại hai số cùng dấu, không mất tính tổng quát ta giả sử hai số đó là a 1;b 1, khi đó ta có

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c  1

Bài 68.Sau khi nhân 2 vế cho 2 thì bất đẳng thức trên tương đương với

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng Vậy bài toán được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c  1

Bài 69 Bất đẳng thức đề tương đương với :

Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c  1

Bài 70.Theo nguyên lý Dirichlet ta có :

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

ĐỀ BÀI TỪ BÀI 71 ĐẾN BÀI 80

Bài 71.Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca abc    Chứng 4.

Bài 80.Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc  Chứng minh rằng 1.

Bài 71.Không mất tính tổng quát, giả sử hai số a 1,b 1cùng không âm

Khi đó ta được : c a  1 b 1 0 abc bc ca c  

Suy ra a b c abc a b c ac bc c          a b c abc   a b c   1

a b c abc    nên ta có : a b c abc ab bc ca abc      

Hay a b c ab bc ca     .Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Bài 72.Bất đẳng thức được viết là : P 12 12 12 3 2a b c 0

x 1  y 1  y 1 z 1  z 1 x 1 3

Hay ta cần chứng minh xy yz zx  2x y z  

Theo nguyên lý Dirichlet thì 2 trong 3 số x 2 , y 2 , z 2cùng dấu

Không mất tính tổng quát, giả sử x 2  y 2  , suy ra 0

Từ hai bất đẳng thức trên ta được : 2x y z   2z xy  4 xy yz zx 

Vậy ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c  1

Bài 74.Theo nguyên lý Dirichlet thì 2 trong 3 số a 1 , b 1 , c 1cùng dấu, không mất tính tổng quát, giả sử b 1 c 1  Khi đó ta được :0

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c  1

Bài 75.Theo nguyên lý Dirichlet thì 2 trong 3 số a 1 , b 1 , c 1cùng dấu, không mất tính tổng quát giả sử a 1 b 1  0 abc ac bc c  

Theo bất đẳng thức Cô – si ta có a b c  33 abc 3 Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu chỉ ra được a2 b2 c2  3 2ab bc ca  

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c  1

Bài 77.Theo nguyên lý Dirichlet thì 2 trong 3 số a 1 , b 1 , c 1cùng dấu, không mất tính tổng quát, giả sử a 1 b 1  0 abc ac bc c  

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được :

Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 1 3 ac3bc c 4ab bc ca  

Thật vậy , bất đẳng thức trên tương đương với :

Như vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi

1

a b c  

ĐỀ BÀI TỪ BÀI 81 ĐẾN BÀI 90

Bài 81.Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc  Chứng minh rằng :1

 2  2  2

11

Bài 90.Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn a b c    Chứng minh rằng1.

a  b  Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đằng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c  1

Bài 82 Trước tiên ta chứng minh 2 bổ đề sau :

Vậy bổ đề 1 được chứng minh

+Bổ đề 2: Theo nguyên lý Dirichlet thì 2 trong 3 số a 1 , b 1 , c 1cùng dấu,không mất tính tổng quát, giả sử a 1 b 1 0 c 1 ab 1 a b

Vậy bổ đề 2 được chứng minh

Trở lại bài toán thì bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c  1

Bài 83.Chú ý đến giả thiết ta viết lại bất đẳng thức thành :



Theo nguyên lý Dirichlet thì 2 trong 3 số

a b c  

Bài 84.Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy được sự phức tạp của bài toán, để có

các đánh giá hợp lý trước hết ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra tại

13

a b c  

Bất đẳng thức có tính đối xứng nên ta sẽ đi phân tích một biểu thức rồi áp dụng tương tự

vế đại lượng lớn hơn sẽ rất khó khăn Từ đó ta nghĩ đến việc tìm ra mối liên hệ giữa tử và mẫu Để ý là ta chứng minh được 1 a2 1 b2  1 ab2

, nên ta cần đánh giá tử số về 1 ab 2hoặc 1 ab 2

Ta dễ dàng chứng minh được x2 y2 z2 9xyz 2xy yz zx

Điều này dẫn tới 9xyz 7xy yz zx   2

Như vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh xong

Bài 85.Trước hết ta để ý đến các mẫu số, để đồng bậc ta áp dụng bất đẳng thức

Bunhiacopxki thì được a b 1 a b c  2 a b c  2 Hoàn toàn tương tự ta được

hay

a b c ab bc ca    

Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong Dấu đẳng thức xảy ra tại a b c  1

Bài 86.Từ giả thiết a b c   ta suy ra 1

127

3 11 ab bc ca  19abc 27a b c  0 4 3 19  abc 27a b c  44 ab bc ca 

Từ bất đẳng thức quen thuộc a b c b c a c a b           abcsuy ra

1 2 a 1 2 b 1 2 c abchay 11.4ab bc ca   11 1 9  abc

Ta cần chứng minh 4 3 19  abc 27a b c2 2 2 11 1 9  abc

Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với 1 27 abc 1 4 abc0

Bất đẳng thức cuối cùng đúng do

127

abc 

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

13

a b c  

Bài 87.Quan sát bất đẳng thức ta thấy có số 7, vậy thì số 7 này có ý nghĩa gì trong

bài toán Để ý đến giả thiết a2b2 c2  và các đại lượng bậc hai trong bất đẳng 3

Chú ý là nếu trên tử có đại lượng 2ab thì ta có thể kết hợp với a2 b2để tạo ra

a b 2, để ý đến chiều bất đẳng thức thì theo bất đẳng thức Cô si ta sẽ được :

Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu chỉ ra được :

32

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi a b c   1

Bài 88.Trước hết ta dự đoán được dấu đẳng thức xảy ra tại a b c   Khi đó để 1.

Không mất tính tổng quát, ta giả sử b là số ở giữa hai số a c, Khi đó ta có :

Bất đẳng thức cuối đúng, do đó bài toán được chứng minh

Bài 89.Quan sát bất đẳng thức ta thấy các đại lượng a b c  2;a2b2c2, ta

cần đánh giá đại lượng abc về ab bc ca  để tìm xem có mối liên hệ nào với các

đại lượng trên hay không Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc sau:

Vậy bài toán được chứng minh xong.

ĐỀ BÀI TỪ BÀI 91 ĐẾN BÀI 100

Bài 91.Cho a,b,c là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng :

Bài 98.Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn a b c    Chứng minh rằng1.

si hoặc bất đẳng thức Bunhiacopxki Tuy nhiên để áp dụng các bất đẳng thức này

ta cần tạo ra tích các đại lượng Do đó ta biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh như sau :

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c  1

Bài 92.Dễ dàng dự đoán được đẳng thức xảy ra tại a b c   Quan sát bất đẳng 1

thức ta liên tưởng đến một đánh giá quen thuộc

Suy ra

Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong

Bài 93.Trước hết ta dự đoán được dấu đẳng thức xảy ra tại Quan sát biểu

thức thứ nhất bên vế trái ta thấy cả tử và mẫu cùng chứa các đại lượng

Tuy nhiên dưới mẫu lại là tổng nên nếu đánh giá mẫu được về tích thì có cơ hội rút

gọn được Chú ý đến chiều bất đẳng thức và dấu đẳng thức xảy ra ta có dánh giá

Suy ra ta được

Đại lượng thu được trong đánh giá làm ta liên tưởng đến bất đẳng thức

Bunhiacopxki dạng phân thức, chú ý đến dấu đẳng thức ta có :

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được :

Dấu bằng xảy ra khi

Bài 94.Trước hết ta dự đoán được dấu đẳng thức xảy ra tại Để có những đánh giá hợp lý ta viết bất đẳng thức cần chứng minh lại thành :

Quan sát bất đẳng thức trên ta viết được vế trái thành :

Quan sát vế phải ta nhận thấy cần đánh giá đại lượng về đại lượng

để có thể thu gọn được hai vế, chú ý đến chiều bất đẳng thức ta áp dụng bất đẳng thức Cô si thì được :

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên, ta được :

Do đó ta có :

Hoàn toàn tương tự ta có :

Vậy bất đẳng được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Bài 95.Để có các đánh giá hợp lý ta viết lại vế trái của bất đẳng thức cần chứng

Mà theo một đánh giá quen thuộc thì nên ta được :

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi

Bài 96.Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh thì suy nghĩ đầu tiên là cố gắng đơn

giản hóa các đại lượng dưới dấu căn rồi tiến tới loại bỏ căn bậc hai Trước hết ta biến đổi đơn giản hóa các biểu thức trong căn Chú ý đến giả thiết ta

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cô si ta được :

và

Do đó theo một đánh giá quen thuộc ta có :

Mà theo bất đẳng thức Cô-si ta lại có :

tự ta được :

Ta cần chứng minh

Hay ta cần chứng minh:

Đến đây ta chú ý đến bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được :

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi

a b c  

Bài 97.Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy vế trái có ba phân thức phía sau đồng

bậc nên ta đánh giá ba phân thức đó trước Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta được :

Trong biểu thức dưới dấu căn ta chú ý đến đại lượng có thể đánh giá về Như vậy, theo bất đẳng thức Cô si ta được :

Ngoài ra chú ý đến đại lượng ở dưới mẫu của phân thức thứ nhất, để đánh giá được vế trái về thì ta cần đánh giá đại lượng và

Bài toán được chứng minh xong Đẳng thức xảy ra khi

Bài 98.Bất đẳng thức không xảy ra dấu bằng tại , do đó ta dự đoán xảy ra tại một biến bằng 0 và hai biến còn lại bằng nhau Thay vào bất đẳng thức ta có

dấu đẳng thức xảy ra tại Trong tình huống này ta nghĩ đến sắp thứ

tự các biến và đánh giá làm sao bảo toàn được dấu đẳng thức Vì vai trò của các biến như nhau nên ta giả sử c là số nhỏ nhất trong các số Như vậy, khi đánh

giá ta cần chú ý sao cho dấu đẳng thức xảy ra tại Trong các đánh giá ta cần xem vai trò của a, b như nhau so với c Từ những phân tích trên ta có cácđánh giá sau :

a b c  

a b c 1

Suy ra Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi và các hoán vị của nó

Bài 99.Trước hết ta phân tích các giả thiết bài toán, từ tasuy ra được trong các tổng trên không có tổng nào bằng 0 và từ giả thiết thứ hai ta thu được trong các biến chỉ có thể có một số bằng 0 Do đó ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra tại và các hoán vị của nó Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy không thể đánh giá trực tiếp tử hoặc mẫu của các biểu thức Do đó ta hướng đến biến đổi các biểu thức trước Chú ý đến phép biến đổi

Để đảm bảo dấu đẳng thức xảy ra ta nhân với Khi

đó bất đẳng thức được viết lại thành :

Đến đây áp dụng bất đẳng thức Cosi ta được :

.Áp dụng tương tự ta được :

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được :

Khi đó phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được