PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Dùng các tính chất của bất đẳng thức để biến đổi bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với một bất đẳng thức mà ta biết là đúng... Lưu ý đẳng thức kh[r]
Trang 11 PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
A TÍNH CHẤT BẤT ĐẲNG THỨC
1 Định nghĩa :
• Bất đẳng thức là hệ thức có một trong các dạng :
A > B ⇔ A – B > 0 hay A < B ⇔ A – B < 0
A ≥ B ⇔ A – B ≥ 0 hay A ≤ B ⇔ A – B ≤ 0 (dạng suy rộng) Trong đó A, B là các biểu thức chứa biến số hay các số
2 Tính chất cơ bản :
2.1 a > 0 ⇔ a + m > b + m
2.2 Nếu m > 0 thì : a > b ⇔ am > bm
Nếu m < 0 thì : a > b ⇔ am < bm
3 Vài tính chất khác :
3.1 Nếu a > b thì b < a
3.2 Nếu a > b và b > c thì a > c
3.3 Nếu a > b và c > d thì a + c > b + d (tính chất này không áp dụng cho phép trừ hai đẳng thức cùng chiều)
3.4 Nếu a > b > 0 và c > d > 0 thì ac > bd
3.5 Nếu a > b và ab > 0 thì 1 1<
a b
3.6 Nếu a > b > 0 và n là số nguyên dương thì : an > bn
3.7 Nếu a > b > 0 và n là số nguyên dương thì : n a > n b
Ghi chú :
Các tính chất nêu trên vẫn được sử dụng đối với các bất đẳng thức suy rộng
4 Vài cách thông thường để chứng minh bất đẳng thức :
• Dựa vào định nghĩa (xét hiệu hai vế)
• Dùng phương pháp biến đổi tương đương
• Dựa vào các bất đẳng thức đúng đã biết
… hoặc phối hợp các phương pháp này
Trang 2B PHƯƠNG PHÁP DỰA VÀO ĐỊNH NGHĨA
Muốn chứng minh bất đẳng thức A ≥ B ta xét hiệu A – B và chứng minh A – B ≥ 0
Lưu ý :
A2 ≥ 0 A2 + B2 ≥ 0 Và các hằng bất đẳng thức :
(A ± B)2 = A2 ± 2AB + B2 ≥ 0
(A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2(AB + BC + CA) ≥ 0 1.1
Chứng minh các bất đẳng thức :
1 x4 + y4 ≥ x3y + xy3 2 x4 + y4 + 2 ≥ 4xy
1.2
1 Cho hai số dương x, y chứng minh bất đẳng thức :
x3 + y3 ≥ x2y + xy2
2 Cho hai số dương x, y thỏa điều kiện : x3 + y3 = x – y Chứng minh bất đẳng thức : x2 + xy + y2 < 1
1.3
Chứng minh các bất đẳng thức :
1 a2 + b2 + 1 ≥ ab + a + b 2 a2 b2 c2 ab 2bc ca
1.4
Chứng minh bất đẳng thức : x2 + y2 + 4 ≥ 2(x + y) + xy
Đẳng thức xảy ra khi nào ?
Gợi ý :
Tách –2x thành x – 3x, đưa hiệu hai vế về dạng :
⎛ − + ⎞ + ⎛ − ⎞
1.5
Chứng minh rằng nếu abc = 1 và a3 > 36 thì :
2
3 + + > + +
Trang 3Gợi ý :
Tách 2
3
4 12
a a Đưa hiệu hai vế về dạng :
−
⎛ − − ⎞ +
36
a
C PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
Dùng các tính chất của bất đẳng thức để biến đổi bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với một bất đẳng thức mà ta biết là đúng
Cần lưu ý các biến đổi tương đương có điều kiện, chẳng hạn :
A2 > B2 ⇔ A > B trong điều kiện A, B > 0
m > n ⇔ Am > An trong điều kiện A > 1 và m, n nguyên dương
1.6
Chứng minh các bất đẳng thức :
1 (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax – by)2
2 x + y + z ≥ xy+ yz+ zx (với x, y, z ≥ 0)
1.7
Chứng minh bất đẳng thức : (a6 + b6)(a4 + b4) ≤ 2(a10 + b10)
1.8
Cho ba số dương a, b, c Chứng minh rằng :
1 Nếu a 1<
+
a a c
b b c
2 Nếu a 1>
+
a a c
b b c
1.9
Cho hai số dương a và b và x y≤
a b Chứng minh rằng : ≤ + ≤
+
x x y y
a a b b
1.10
1 Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác Chứng minh rằng :
< <
a b c b c a b c
2 Suy ra : 1< a + b + c <2
Trang 4Hướng dẫn :
2
⎫
⎪
⎪
a b c b c a b c
a b c c a a b c
a b c a b a b c
⇒ < + < <
b c c a a b
1.11
Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác với a ≥ b Chứng minh rằng :
a(a2 – 3ab – c2) ≤ b(b2 – 3ab – c2) 1.12
Cho hai số dương x, y thỏa điều kiện x + y = 1 Chứng minh rằng :
Hướng dẫn :
Trong điều kiện x > 0, y > 0 và x + y = 1 ta có :
(x + 1)(y + 1) ≥ 9xy ⇔ xy + x + y + 1 ≥ 9xy
⇔ 2 ≥ 8xy ⇔ 1 ≥ 4xy ⇔ (x + y)2 ≥ 4xy ⇔ (x – y)2 ≥ 0
1.13
Cho a > b > 0 và hai số nguyên dương m và n với m > n Chứng minh
1.14
Cho ba số dương x, y, z với x > z và y > z Chứng minh rằng :
z(x z) z(y z) xy 1.15
Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện : x3 + y3 + z3 = 1
1 Chứng minh bất đẳng thức : ≥
−
2
3 2
1 x
Gợi ý :
2 Lưu ý đẳng thức không xảy ra
Trang 51.16
Cho xy ≥ 1 , chứng minh bất đẳng thức : + − ≥
Hướng dẫn :
Trong điều kiện xy ≥ 1
Bất đẳng thức tương đương với :
2
(x y) (xy 1) 0
(1 x )(1 y )(1 xy) ⇔ xy – 1 ≥ 0
1.17
Cho x ≥ y ≥ z > 0 Chứng minh rằng :
Hướng dẫn :
Trong điều kiện x ≥ y ≥ z > 0, chứng minh bất đẳng thức tương đương với
y2 + zx ≤ yz + xy ⇔ (y – x)(y – z) ≤ 0
1.18
Tìm các số nguyên x, y, z thỏa bất đẳng thức :
x2 + y2 + z2 < xy + 3y + 2z – 3
Hướng dẫn :
Do x, y, z là số nguyên, bất đẳng thức tương đương với :
x2 + y2 + z2 – xy – 3y – 2z + 3 ≤ -1
Tìm được : x = 1 , y = 2 , z = 1
Trang 6D PHƯƠNG PHÁP TỔNG HỢP
Dựa vào các tính chất của bất đẳng thức và các hằng bất đẳng thức bằng suy diễn để tìm ra bất đẳng thức phải chứng minh
Ta thường dùng các bổ đề sau :
A2 + B2 ≥ 2AB (A + B)2 ≥ 4AB + ≥ ⎜⎛⎝ + ⎞⎟⎠
2
A + 1
A ≥ 2 (với A > 0) A B+
B A≥ 2 (với AB > 0)
+ ≥
+
A B A B (với A, B > 0) …
1.19
Chứng minh bất đẳng thức :
x2 + y2 + z2 + t2 ≥ (x + y)(z + t) 1.20
Chứng minh rằng :
1 Nếu a + b > 2 thì a2 + b2 > 2
2 Nếu a2 + b2 ≤ 2 thì a + b ≤ 2
1.21
Chứng minh bất đẳng thức :
x4 + y4 + z4 ≥ xyz(x + y + z) 1.22
Chứng minh rằng nếu x2 + y2 = 1 thì : - 2 ≤ x + y ≤ 2
1.23
Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 = 1 thì : −1
2 ≤ ab + bc + ca ≤ 1
Hướng dẫn :
Với a2 + b2 + c2 = 1 ta có :
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) ≥ 0 hay
1 + 2(ab + bc + ca) ≥ 0
ab + bc + ca ≥ - 1 (1)
Trang 7Mặt khác :
⎫
⎪
⎪
⇒ a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca
hay ab + bc + ca ≤ 1 (2)
1.24
Cho hai số không âm a, b Chứng minh rằng : (a + b)(ab + 1) ≥ 4ab 1.25
Cho ba số không âm x, y, z Chứng minh rằng :
(x + y)(y + z)(z + x) ≥ 8xyz 1.26
Chứng minh bất đẳng thức :
(x + y)2(y + z)2 ≥ 4xyz(x + y + z)
Hướng dẫn :
(x + y)2(y + z)2 = (xy + y2 + zx + yz)2
= [(x + y + z)y + zx]2 ≥ 4(x + y + z)y.zx = 4xyz(x + y + z)
1.27
Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện : x + y + z = 1
Chứng minh rằng : y + z ≥ 16xyz
Hướng dẫn :
12 = [x + (y + z)]2 ≥ 4x(y + z) mà y + z > 0
1(y + z) ≥ 4x(y + z)2 mà (y + z)2 ≥ 4yz
y + z ≥ 4x.4yz = 16xyz
1.28
1 Cho ba số dương x, y, z Chứng minh rằng : x y y z z x 6+ + + + + ≥
2 Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác Chứng minh :
b c a c a b a b c ≥ 6
Hướng dẫn :
2 Đặt : b + c – a = x ; c + a – b = y ; a + b – c = z thì :
2a = y + z ; 2b = z + x ; 2c = x + y
Vận dụng kết quả của câu (1)
Trang 81.29
Cho bốn số dương x, y, z, t thỏa điều kiện : xyzt = 1 Chứng minh rằng
x2 + y2 + z2 + t2 + x(y + z) + y(z + t) + z(t + x) + t(x + y) ≥ 12
Gợi ý :
x, y, z, t > 0 và xyzt = 1 cho zt = 1 >0
xy ; xy + zt = xy + 1xy ≥ 2
1.30
Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện : 1 1 2+ =
x y z
Chứng minh bất đẳng thức : + + +
2x z 2y z ≥ 4
Hướng dẫn :
Tính z theo x, y : z =
+
2xy
x y Thế vào vế trái của bất đẳng thức phải chứng minh rồi biến đổi :
x z z y x 3y y 3x 1 3 y 1 3 x. .
= ⎛⎜ + ⎞⎟+ ⎛⎜ + ⎞⎟≥ + =
1.31
Cho ba số dương x, y, z
1 Chứng minh bất đẳng thức : ≤ +
+
x y y z z x
Gợi ý :
+ +
≤ +x y 4
Trang 91.32
1 Cho hai số dương x, y Chứng minh rằng : + ≥
+
x y x y
Đẳng thức xảy ra lúc nào ?
2 Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác và p là nửa chu vi
Chứng minh rằng :
Đẳng thức xảy ra lúc tam giác có đặc điểm gì ?
1.33
Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác Chứng minh bất đẳng thức :
a b c b c a c a b a b c
Hướng dẫn :
Do bất đẳng thức giữa độ dài ba cạnh một tam giác, ta có :
a + b – c > 0 b + c – a > 0 c + a – b > 0
a b c b c a ≥ + − + + − =
a b c b c a b (1)
b c a c a b c (2)
c a b a b c a (3) Từ (1), (2), (3) suy ra điều phải chứng minh
1.34
Cho hai số dương x,y thỏa điều kiện x+y =1 Chứng minh bất đẳng thức :
+
Hướng dẫn :
- Dùng hằng bất đẳng thức : (x + y)2 ≥ 4xy tìm được : 1 ≥4
xy
- Vận dụng bất đẳng thức : + ≥
+
a b a b (với a, b > 0) :
Trang 101.35
Cho ba số x, y, z thỏa hai điều kiện :
x + y + z = 2 và xy + yz + zx = 1 Chứng minh rằng mỗi số x, y, z đều thuộc đoạn 0;4
3
Hướng dẫn :
x + y + z = 2 ⇔ 2 – x = y + z
(2 – x)2 = (y + z)2 ≥ 4yz
4yz = 4[1 – x(y + z)] = 4[1 – x(2 – x)]
(2 – x)2 ≥ 4(x – 1)2 ⇔ x(3x – 4) ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 4
3 Tương tự với y và z
1.36
1 Chứng minh bất đẳng thức : + ≥ ⎜⎛ + ⎞⎟
2
2 Vận dụng để chứng minh rằng nếu có 1 x+ + 1 y 2 1 z+ = + thì có : x + y ≥ 2z
1.37
Cho hai số dương x, y thỏa điều kiện x + y = 1 Chứng minh rằng :
2 2
Hướng dẫn :
Vận dụng bất đẳng thức : + ≥ ⎜⎛⎝ + ⎞⎟⎠
2
2
2
1 1 1
+
⎝ ⎠ (do x + y = 1) Mặt khác : (x + y)2 ≥ 4xy hay 1 ≥ 4xy ⇒ 1 ≥4
xy (do xy > 0) Nên : ⎛⎜ + ⎞⎟ +⎛⎜ + ⎞⎟ ≥ ( + ) =
2 2
2
Trang 111.38
1 Chứng minh bất đẳng thức : + + ≥ ⎜⎛⎝ + + ⎞⎟⎠
2
2 Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện x + y + z = 1
Chứng minh rằng : ⎛⎜ + ⎞⎟ +⎛⎜ + ⎞⎟ +⎛⎜ + ⎞⎟ ≥
2
Hướng dẫn :
2 ⎛⎜ + ⎞⎟ +⎛⎜ + ⎞⎟ +⎛⎜ + ⎞⎟ ≥ ⎛⎜ + + + + + ⎞⎟
= ⎡⎢( + + +) ⎛⎜ + + ⎞⎟⎤⎥ = ⎛⎜ + + + + + + + + + ⎞⎟
= ⎡⎢ + + + +⎛⎜ + ⎞ ⎛⎟ ⎜+ + ⎞ ⎛⎟ ⎜+ + ⎟⎞⎤⎥ ≥ ( + + + + + + )
2
2
= 1.10 332 >
3
1.39
1 Cho a > b > 0, so sánh hai số :
A = +
+ + 2
1 a
+ + 2
1 b
1 b b
2 So sánh hai số :
A = 1999+ 2001 B = 2 2000
1.40
Cho hai số nguyên m và n với m > n Chứng minh rằng :
1 Nếu 0 < x < 1 thì xm < xn
2 Nếu x > 1 thì xm > xn
Hướng dẫn :
Đặt k = m – n > 0
1 Nếu 0 < x < 1 thì : 0 < xk < 1k và 0 < xn
Nên : xn.xk < xn.1k hay xn.xm – n < xn.1k
xm < xn
2 Nếu x > 1 thì :
Nên : xn.xk > xn.1k hay xn + k > xn
xm > xn
Trang 121.41
1 Chứng minh bất đẳng thức : a12 – a9 + a4 – a + 1 > 0
2 Chứng minh rằng nếu có bất đẳng thức : y ≥ x3 + x2 + |x| + 1
thì có bất đẳng thức : x2 + y2 ≥ 1
1.42
Cho –1 ≤ x ≤ 1 và số nguyên dương n, chứng minh rằng :
(1 + x)n + (1 – x)n ≤ 2n
Gợi ý :
Từ –1 ≤ x ≤ 1 suy ra : 0 ≤ +1 x
2 ≤ 1 và 0 ≤ −
1 x
2 ≤ 1 Nên : +⎛⎜ ⎞ ≤⎟ +
n
⎛ ⎞ <
n
1.43
Cho ba số không âm thỏa điều kiện : x + y + z = 1
Chứng minh bất đẳng thức : 4(1 – x)(1 – y)(1 – z) ≤ x + 2y + z
Đẳng thức xảy ra khi nào ?
Hướng dẫn :
Do x + y + z = 1, ta có : 1 – x = y + z
Do 0 ≤ y ≤ 1 , ta có : 0 ≤ 1 – y2 ≤ 1
Từ hằng bất đẳng thức : (a + b)2 ≥ 4ab
4(1 – x)(1 – y)(1 – z) = 4[(y + z)(1 – z)].(1 – y) ≤
≤ (y + z + 1 – z)2.(1 – y) = (1 + y)2(1 – y) = (1 – y2)(1 + y) ≤
≤ 1 + y = x + y + z + y = x + 2y + z
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :
2
1 x 1 z (1 y )(1 y) 1 y
x y z 1
− = −
⎧
⎨
⎪ + + =
⎩
⇔ x = z = 1
2 ; y = 0
1.44
Cho x2 + y2 + z2 = 1 , chứng minh bất đẳng thức :
xyz + 2(xy + yz + zx + x + y + z + 1) ≥ 0
Hướng dẫn :
Trong điều kiện : x2 + y2 + z2 = 1 biến đổi vế trái thành :
A = (xyz + xy + yz + zx + x + y + z + 1) + (xy + yz + zx + x + y + z + 1) Mà :
Trang 13xyz + xy + yz + zx + x + y + z + 1 = (x + 1)(y + 1)(z + 1) (1)
Và
xy + yz + zx + x + y + z + 1 = x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx + x + y + z
2
+ + + (2) Mà |x| ≤ 1 , |y| ≤ 1 , |z| ≤ 1 suy ra điều phải chứng minh
1.45
Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác thì :
ab + bc + ca ≤ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
Gợi ý :
a < b + c và a > 0 ⇒ a2 < a(b + c) hay a2 < ab + ca
1.46
Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác Chứng minh bất đẳng thức :
abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)
Hướng dẫn :
a, b, c > 0, a + b > c, b + c > a, c + a > b
a2 ≥ a2 – (b – c)2 hay a2 ≥ (a + b – c)(c + a – b) (1)
Tương tự :
b2 ≥ (b + c – a)(a + b – c) (2) c2 = (c + a – b)(b + c – a) (3)
1.47
Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác với a ≤ b ≤ c
Chứng minh bất đẳng thức : (a + b + c)2 ≤ 9bc
Hướng dẫn :
Do a ≤ b nên : (a + b + c)2 ≤ (2b + c)2
Ta chứng minh bất đẳng thức : (2b + c)2 ≤ 9bc
Xét hiệu hai vế : (2b + c)2 – 9bc = (b – c)(4b – c)
Mà b ≤ c nên b – c ≤ 0, do đó ta còn phải chứng minh : 4b – c ≥ 0
Do a ≤ b nên :
4b – c = 2b + (b + b – c) ≥ 2b + (a + b - c) Mà a + b – c > 0 nên :
4b – c ≥ 2b + (a + b – c) > 0 Bất đẳng thức được chứng minh
Trang 141.48
Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác có chu vi là 2 Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 + 2abc < 2
Hướng dẫn :
Trước hết chứng minh : a < 1; b < 1 ; c < 1
Để có :
(1 – a)(1 – b)(1 – c) > 0 ⇔ 1 – (a + b + c) + ab + bc + ca – abc > 0 Mà a + b + c = 2, nên : -1 + ab + bc + ca – abc > 0
Vận dụng hằng đẳng thức : (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
ab + bc + ca = (a b c) (a2 2 b2 c )2 2 a2 b2 c2
Ta có : -1 + 2 - a2 b2 c2 abc 0
2
+ + − >
hay 2 – (a2 + b2 + c2) – 2abc > 0
⇔ a2 + b2 + c2 + 2abc < 2
Trang 152 VÀI BẤT ĐẲNG THỨC
THƯỜNG DÙNG
A BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
1 Định lý :
• Với hai số không âm a và b, ta có bất đẳng thức :
2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
2 Hệ quả :
• Nếu a ≥ 0, b ≥ 0 và tổng a + b = k (hằng) thì tích ab lớn
nhất khi và chỉ khi a = b :
max(ab) = k2
4 ⇔ a = b Trong các hình chữ nhật có chu vi bằng nhau thì hình vuông có diện tích lớn nhất
• Nếu a ≥ b, b ≥ 0 và tích ab = k (hằng) thì tổng a + b nhỏ nhất khi và chỉ khi a = b
min(a + b) = 2 k ⇔ a = b Trong các hình chữ nhật có diện tích bằng nhau thì hình vuông có chu vi nhỏ nhất
3 Tổng quát :
• Với a1, a2, …, an là n số không âm, ta có bất đẳng thức :
a a a a a a
n
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a1 = a2 = … = an
2.1
1 Chứng minh bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm :
2
+
≥
2 Vận dụng để chứng minh bất đẳng thức Cauhy có bốn số không âm, ba số không âm :
4
4
3
Trang 162.2
1 Cho ba số không âm a, b, c Chứng minh bất đẳng thức :
(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc
2 Cho a, b, c ≥ 0 và a + b + c = 1, chứng minh bất đẳng thức :
a4 + b4 + c4 ≥ abc 2.3
1 Chứng minh rằng, nếu x > 1 thì : x 2
x 1− ≥
2 Cho x > 1 và y > 1, chứng minh bất đẳng thức : x2 y2
y 1 x 1− + − ≥ 8 2.4
1 Chứng minh bất đẳng thức : 2
2
a 1
+ + ≥ 4
2 Cho a ≥ 1 và b ≥ 1, chứng minh bất đẳng thức : a b 1 b a 1− + − ≤ ab
Gợi ý :
2.5
1 Cho a, b, c ≥ -1
4 và a + b + c = 1 Chứng minh bất đẳng thức :
4a 1+ + 4b 1+ + 4c 1 5+ <
2 Cho a, b, c > 0, Chứng minh bất đẳng thức :
+ +
Hướng dẫn :
1 Lưu ý đẳng thức không xảy ra
2 a2 + bc ≥ 2 a bc = 2a2 bc ⇒ 2 1
a +bc ≤
1 2a bc
Trang 172.6
Cho ba số dương x, y, z với x > z và y > z
Chứng minh bất đẳng thức : z(x z)− + z(y z)− ≤ xy
Hướng dẫn :
Bình phương hai vế được :
z(x – z) + z(y – z) + 2 z(x z).z(y z)− − ≤ xy
⇔ 2z (x z)(y z)− − ≤ 2z2 + xy – yz – zx
⇔ 2z (x z)(y z)− − ≤ z2 + (x – z)(y – z)
Đây là bất đẳng thức đúng theo bất đẳng thức Cauchy với hai số dương z2
và (x – z)(y – z)
2.7
Gọi a, b, c là ba cạnh một tam giác và p là nửa chu vi p a b c
2
+ +
Chứng minh bất đẳng thức :
(p – a)(p – b)(p – c) ≤ 1 abc
8
2.8
Gọi R, r và S lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, bán kính đường tròn nội tiếp và diện tích một tam giác vuông Chứng minh rằng :
R + r ≥ 2S
Hướng dẫn :
Gọi a là độ dài canh huyền, b và c là độ dài hai cạnh góc vuông
R = a
2 + + và S = 12bc
r = bc
a b c+ + Nên :
R + r = a bc a(a b c) 2bc a2 ab ca 2bc
Mà theo định lí Pitago thì : a2 = b2 + c2 nên
R + r = b2 c2 ab ac 2bc (b c)2 a(b c)
= + +
Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương b, c: