Ôn tập cuối năm 2

Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với AM cắt AB tại E và cắt AC tại F... Chứng minh rằng A là trung điểm của BD b.. Chứng minh rằng EKBE DK và chu vi tam giác EKC không đổi Lời giải a...

Dạng 4: Hình học

Bài 1:

Cho tam giác ABC vuông tại A ABAC ,

đường trung tuyến AM Qua M kẻ đường

thẳng vuông góc với AM cắt AB tại E và

cắt AC tại F Kẻ AH BC H BC(  ), AH

cắt EF tại I Chứng minh rằng:

a BAM  ABM

b ACB AEF từ đó suy ra MBE# MFC

c AB AE AC AF.

d

2

ABC

AFE

 

Lời giải

a) Ta có ABM cân tại M  ABM BAM

b) Có ACB ABC  900 AEF BAM ; BAM ABC ACBAEF

d) AEI cân tại I (AEI EAI ACB) EI IA AIF cân tại I

1

2 2

Ta lại có: BC 2AM

E

F

I

H

B

A

Bài 2:

Cho hình chữ nhật ABCD có AD 6cm,

8

AB cm Hai đường chéo AC và BD cắt nhau

tại O Qua D kẻ đường thẳng d vuông góc với

BD, d cắt BC tại E

a Chứng minh rằng BDE DCE” 

b Kẻ CH vuông góc với DE tại H Chứng

minh rằng: DC2 CH DB.

c Gọi K là giao điểm của OE và HC Chứng

minh K là trung điểm của HC Tính tỉ số giữa

diện tích tam giác EHC và diện tích tam giác

BED

d Chứng minh ba đường thẳng OE CD BH, ,

đồng quy

Lời giải

a) Ta có BDE DCE gg( )

b) Vì

c) Ta có / / ( )

(định lý TaLet )

- Tính được BD10cm CD, 8cm

Từ câu b), ta có: CH CD BD2: 64 :10 6, 4( cm)

Lại có:

6, 4 256 ( )

10 625

ECH EBD

ECH EBD gg

”

d Gọi I là giao điểm của BH và CD, O' là giao điểm của EI và BD, K' là giao điểm của

EI và CH Ta sẽ chứng minh O' là trung điểm của BD

Vì:

hay O' là trung điểm của BD

8

6

E

K I O

D

C B

A

Bài 3:

Cho tam giác ABC vuông tại A, có BC  5cm

, AC 3cm Trên tia đối của tia CB lấy điểm

D sao cho CD 6cm Qua D kẻ đường vuông

góc với BD cắt AC tại E

a Chứng minh rằng ABC DEC

b Kẻ AH BC H BC DK(  ); CE K CE(  ).

Chứng minh rằng: CH CD CK CA 

c Tính độ dài CE và KD

d Vẽ đường phân giác BM của ABC M( BC)

Chứng minh rằng

Lời giải

a ABC DEC gg”  ( )

CH CD CK CA

c

ABC DEC

Vì tam giác DCE vuông tại D, áp dụng pitago  DE8(cm)

DKE CDE

d Áp dụng tính chất đường phân giác ta có: (1)

(2) MA EK

ABC KED

E

K

D

M A

Bài 4:

Cho ABC có A 900, các đường cao

AM, BP, CN cắt nhau tại H Chứng minh

rằng:

a BM BC BP BH BPM BHC.  . ; ” 

b PAB NAC PAN BAC”  ; ” 

c NA là tia phân giác của PNM  900

d Gọi S là diện tích của tam giác BHC,

tính Q BC AH AB CH AC BH .  .  . theo S

Lời giải

BMH BPC gg

( )

PAB NAC gg





”

( )

PAN BAC cgc N C

c Ta đi chứng minh

   ”      ” 

d

HBC

S

BC AH BC HM  AM BC HM BC AM  S S  Q S S S S  S

       

1

2

1

N H

Bài 5:

Cho hình thang vuông ABCD,

A D  BCAB CD M là trung điểm

của AD, I thuộc cạnh BC sao cho BI BA

a Chứng minh AID vuông

b AMB CMD” 

c AD2  4AB CD.

d AI cắt BM tại H, DI cắt CM tại K

Chứng minh rằng MI HK

Lời giải

a

AID  I I      

b AMB CMD”   C1 N hoac B1 :1 M 2

Gọi N là trung điểm của BC

1 2

2 :

2

AB CD MN

AB CD

ma BC



Vậy:

 

 

 

0

0

90





c)

AD AD

AD  AB CD AB CD AM AD AB CD  AMB MCD cau b” 

d) MI HK  MHIK hinh chu nhat:  MKI  900  MC là trung trực của DI

Có:

1

2

IC ID ICD









1 1

2 1 1

2 1

K

H

I

B A

Bài 6:

Cho ABC cân tại A (A 900) Kẻ Cx vuông

góc với BC tại C, Cx cắt tia BA tại D

a Chứng minh rằng A là trung điểm của BD

b KẻBH AC H Cy BH Cy BA K , / / ,  

Chứng minh rằng: AB2 AH AK.

c Kẻ BE là phân giác của góc ABC, Ct BE/ / ,

Ct giao với tia BA tại I Chứng minh rằng:

Lời giải

a)

 

 

 

 

0

90

b)AB2 AH AK.  AB AB AH AK.  .  AB AC AH AK.  .  ABH# ACK do BE CK/ /

       

giải:

Ta có:



 

 

1

1

1

/ /

( )









cân tại B +) Có BE là phân giác của góc B

2

1 1

I K

D

E H

C B

A

( : )

Bài 7:

Cho tam giác ABC vuông tại A, AB =

6cm, AC = 8cm, đường cao AH, đường

phân giác AD

a Tính AD, CD

b Gọi I là giao điểm của AH và BD

Chứng minh rằng: AB BI BD BH.

c Chứng minh: AID cân

Lời giải

a

3

10;

5

AD

BC

CD







c

 

 

 

:



 

#

cân tại A

Bài 3:

1 2

1

8 6

D

H

C A

B

Cho tam giác ABC vuông cân tại A Trên

cạnh AB lấy điểm M, kẻ BD CM , BD

cắt CA ở E Chứng minh rằng:

a EB ED EA EC 

b BD BE CA CE BC   2

c ADE 450

Lời giải

a ABE DCE gg”  ( ) EB ED AE CE.  .

b Ta có: M là trực tâm của tam giác BEC

+) EBH CBD gg”  ( ) BE BD BH BC.  .

+) EHC BAC gg”  ( ) CE CA HC BC.  .  BE BD CE CA BC BH HC   (  ) BC2

c Ta đi chứng minh: EDA ECB  EAD ECB gg”  ( )

Ta có:

( )

( )









”

E chung







”

EDA ECB

Bài 3:

M

C

H

A E

D

B

Cho hình vuông ABCD Gọi E là 1 điểm

trên cạnh BC Qua A kẻ tia Ax vuông góc

với AE, Ax cắt CD tại F Trung tuyến AI

của tam giác AEF cắt CD ở K Đường

thẳng kẻ qua E song song với AB cắt AI

ở G CMR:

a AE EF và tứ giác EGKF là hình thoi

b AKF CAF AF”  ; 2 KF FC.

c Khi E thay đổi trên BC Chứng minh

rằng EKBE DK và chu vi tam giác

EKC không đổi

Lời giải

a ABEADF gcg( ) EA FA

+) FEA vuông cân tại A  AI FE

+) IEGIFK gcg( ) IG IK vuông cân tại A  AI FE

Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình thoi

b Có:



2 0

:

45





”

c Ta có tứ giác EGFK là hình thoi  KE KF KD DF KD BE

Chu vi EKC KC CE EK   KC CE KD BE    2BC ( không đổi )

I

G

F

K E

C B

Bài 3:

Cho tam giác ABC có trực tâm H Gọi M,

N là trung điểm của BC, AC Gọi O là

giao điểm của các đường trung trực của

tam giác Chứng minh rằng:

a OMN HAB”  và tìm tỉ số đồng dạng

b So sánh AH và OM

c Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

Chứng minh: HAG OMG” 

d H, G, O thẳng hàng và GH  2GO

Lời giải

a Ta có: MN/ /AB OM; / /AD

Tỉ số đồng dạng là:

1 2

MN

c)

HAG OMG slt

tinh chat duong trung tuyen







  HAG OMG cgc”  ( )

d HAG OMG”   AGH OGM  MGO MGH   1800  H G O, , thẳng hàng

1 1

E

1 D

G O H

N

B A

Bài 3:

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là

điểm tùy ý trên AC, kẻ Cx vuông góc với

BM tại H Cx cắt tia BA tại E, gọi F là

trung điểm của BC Chứng minh:

a AFH cân

b EA EB EH FC 

c Khi M di chuyển trên AC, chứng minh

số đo góc AHE không đổi

d Biết AB =5cm Tính

Lời giải

a

1 2

EAH ECB

EAC EHB gg



   



”

”

c 

:

E chung









d CM CA BM BH CI CB BI BC.  .  .  .

giải:

Xét BEC,có M là trực tâm của tam giác BEC  EM BC I

+) BMI BHC gg”  ( ) BI BC BH BM.  .

+) Tương tự: CM CA CI CB.  .  T BC2

F I

M A

E

H

C B

Cho hình chữ nhật MNPQ

MN NP MH; QN H

a Chứng minh: MNH# NQP

b Chứng minh: MN2 QN NH.

c Lấy E F, lần lượt là trung điểm của

,

d MH cắt PQ tại I Tính diện tích tam

giác MNI, biết

1 2

và diện tích

2

3

Lời giải

c) MNE#QMF cgc 

d) QHI# NHM g g(  ) HN 3QH MH; 3HI MI 4HI

2

Bài 3: Thanh Oai, năm học 2017 - 2018

Cho tam giác ABC có AB AC , D nằm

giữa A và C sao cho ABDACB

a Chứng minh ADB# ABC từ đó suy

ra AB2 AC AD.

b Biết S ABC 16cm AB2, 6cm AC, 8cm.

Tính S ABD?

c Phân giác của góc A cắt BC tại E, cắt

BD tại F Chứng minh rằng

E

I H F

N M

F D

A

AE cắt BC tại M Chứng minh rằng

Lời giải

a) Ta có: ADB# ABC gg( ) AB2 AC AD.

b) Ta có:

2

2

9

8 16

ABD

ABD ABC

S

S

 

 

c) Chứng minh được ;

d) Có AM AE AM là phân giác ngoài của

ABC

MB EC MC EB

Bài 3: Lê Quý Đôn, năm học 2017 - 2018

Cho hình vuông ABCD Trên cạnh AB lấy

điểm E sao cho

1 3

Đường thẳng DE cắt CB kéo dài tại K

a Chứng minh ADE# BKE

b Gọi H là hình chiếu của C trên DE Chứng

minh: AD HD HC AE 

c Tính diện tích tam giác CDK khi AB6cm

d Chứng minh: CH KD CD  2CB KB.

Lời giải

a) Xét ADE BKE, có:

90

ADE BKE

ADE BKE gg DAE EBK





”

K E

H

B A

c) Xét CDK và AED, có:

( )

( ) 90

AED EDC slt

DAE DCK





#

CDK

CDK AED AED

2

d) Xét KCH và KDC, có:



0

90

:

CKD chung







#

2

Bài 3: Nam Từ Liêm, năm học 2017 - 2018

Cho ABC có A90 (0 ABAC). Kẻ AH BC

(H BC ) Kẻ HD sao cho AHD45 (0 D AC )

a Chứng minh AHB# CAB

b Chứng minh: AC2 CH BC.

c Chứng minh:

DC BC

d Biết chu vi AHB 15cm, chu vi AHC  20 cm

Tính chu vi ABC

Lời giải

a) AHB# CAB gg( )

b AHC# BAC gg( ) AC2 CH BC.

c Chứng minh:

Vì AHD 450  HD là phân giác

AHC

d Biết chu vi AHB 15cm, chu vi AHC 20 cm Tính chu vi ABC

Ta có

3

15 3

4

AHB CHA









Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông ABC, tính được BC 5x

- Chu vi ABC 12x

- Lại có:

2

5

x

x

C

B

A

H

D

Bài 3: Lương Thế Vinh, năm học 2017 - 2018

Cho ABC có A ˆ 90 ,0 đường cao AH

a Chứng minh: ABC HBA

b Cho BH 4cm BC, 13 cm Tính AH BH,

c Gọi E là một điểm tỳ ý trên AB, đường thẳng

qua H và vuông góc với HE cắt cạnh AC tại F

Chứng minh rằng: AE CH AH FC.

d Xác định vị trí của E trên AB để đoạn thẳng

EF có độ dài ngắn nhất

Lời giải

a ABC# HBA gg( )

b

13 ( )

4

4.13 52 2 13( )

Dùng pytago  AH 6(cm)

c ABC# HBA HAB ACB

- AHC900 AHF FHC 900 EHA FHC phu AHF  ( . )

- Xét AHE CHF, có:

( )

( )











#

d Xét

0

90







#

AEH CFH c

Xét









#

F E

B

A

Mà AB HB, không đổi nên để đoạn EF ngắn nhất thì đoạn HE ngắn nhất HE ngắn nhất

Bài 3:

Cho ABC nhọn (AB AC ), các

đường cao BD và CE cắt nhau ở H

a Chứng minh: AE AB AD AC 

b Chứng minh: ADE# ABC

c Giả sử A 45 ;0 So sánh diện tích

tam giác ADE và diện tích tứ giác

d Gọi M N, lần lượt là giao điểm của

DE với AH và BC Chứng minh rằng:

Lời giải

a AEC# ADB gg( ) AE AB AD AC.  .

b ADE# ABC cgc( )

c A 450  ADB vuông cân ở D Áp dụng pytago

2

2

2

AD

AB

Mà

2

ADE

ADE ABC ABC

#

Lại có:

1 2

ADE BEDC ABC ADE BEDC ABC ADE BDEC

d Gọi giao điểm của AH và BC là F  AF là đường cao của ABC

H M

N

D

F

E

C B

A

là đường phân giác trong của FED, mà FM FN  FN là đường phân giác ngoài của FED

- Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác FED có phân giác trong FM và phân

giác ngoài FN nên ta có: . .

MD NE ME ND

FE ME NE    đpcm

Bài 3:

Cho ABC nhọn , AD là trung tuyến, M là trung

điểm của AD Tia BM cắt cạnh AC tại P, đường

thẳng song song với AC kẻ từ D cắt BP tại I

a Chứng minh PA DI , tính tỉ số

AP

PC

b Tia CM cắt AB tại Q Chứng minh PQ // BC

c Từ D kẻ đưởng thẳng song sog với AB cắt

CM tại N Chứng minh PQ MB BC MP.  .

d Tính tỉ số diện tích hai tam giác AQP và

ABC

Lời giải

a APM DMI gcg( ) PA DI

+) Xét , / /

( HQTL)

Mà

(*)

Mà

1

2 2

AP

CP

3

AP

AC

b Tia CM cắt AB tại Q Chứng minh PQ // BC

Ta có AQM DNM gcg( ) QA DN

+) Xét , / / ( / )

(HQTL)

Mà

D

M

C B

A

Mà

Ta lại có

1

/ / 3

PQ BC

AC   AB AC  (Ta Lét đảo)

Vì

1

3

PQ BC

, lại có

1

2

BI

1

3

PQ MB BC MP

d Tính tỉ số diện tích hai tam giác AQP và ABC

Ta có

( / / )

APQ ACB PQ BC

   

   

”

Bài 3:

Cho hình chữ nhật ABCD có AB > BC Gọi H là

chân đường vuông góc kẻ từ B xuống AC, gọi M

là giao điểm của BH và CD

a Chứng minh AHB# CAD

b Chứng minh BC DA CM CD  Tính diện tích

tam giác BMC biết BC = 6cm, AB = 8

c Kẻ MKAB K( AB). MK cắt AC tại I Chứng

minh MI BM KB IC.

d Chứng minh BIM AMC

Lời giải

a) Chứng minh được: AHB CAD gg( )

2

1

1 2

1

1 K

H

M

I

C

B

D A

c) Tứ giác MKBC là hình chữ nhật vì có ba góc vuông  KB MC (2)

Lại có

 

d) Ta có:

 

0

0

90

(3) 90





Trong ADC có MI/ /AD nên theo định lý TaLet, ta có:

IC BC MI AC

Từ (4)(5) ta được: . . (6)

MI AC MB MC

Từ (3)(6) ta được: MAC# IBM cgc( ) MBI AMC