Phân thức đại số

PHÂN THỨC ĐẠI SỐ A.. Kiến thức cần nhớ 1.. Định nghĩa: Một phân thức đại số hay nói gọn là phân thức là một biểu thức đại số có dạng A B , trong đó A và B là các đa thức khác 0, A được g

PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

A Kiến thức cần nhớ

1 Định nghĩa: Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức đại số có

dạng

A

B , trong đó A và B là các đa thức khác 0, A được gọi là tử thức (hay tử), B được gọi

là mẫu thức (hay mẫu)

Chú ý: Mỗi đa thức được coi là một phân thức với mẫu thức bằng 1

2 Hai phân thức bằng nhau

Hia phân thức

A

C

D gọi là bằng nhau nếu A D B C.  .

3 Chú ý :

- Các tính chất về tỷ lệ thức và dãy tỷ số bằng nhau của phân số cũng đúng cho phân thức

- Các giá trị của chữ làm cho mẫu thức nhận giá trị bằng 0 gọi là giá trị làm phân thức vô nghĩa hay không xác định

B Bài tập vận dụng và các dạng toán

Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức

*) Chú ý : Các phân thức được xác định khi mẫu thức nhận các giá trị khác 0

Bài 1: Tìm điều kiện xác định của các phân thức sau

a 2

2

x



2018

x x x

c

2

2

4

x



x y



Lời giải

a) Điều kiện xác định

2

0

2

x

x











b) Điều kiện xác định x x 1 x 2  0 x0;1;2

c) Ta có x24x 5 x 22  1 1 0 với mọi x nên phân thức đã cho luôn có nghĩa

d) Điều kiện xác định x3;y2 không đông thời xảy ra

Bài 2:

Chứng minh rằng phân thức sau luôn có nghĩa 4 2 4

2



  

Lời giải

Ta có x4  2x2 y4   2 x2  12y2    1 1 0

Vậy với mọi x y, biểu thức luôn có nghĩa

Bài 3: Tìm điều kiện xác định của các phân thức sau

a

2

2

4

x

x



x



 

c

2

2

1

x

x



2 2

2

x



e    

2

x



g 2 2

8

2 2

2



i 2



4

x





l  2 2

1





Lời giải

a) Điều kiện xác định

2

4 3

4 3

x

x









 



b) Điều kiện xác định x2 4x  4 0 x 22  0 x2

c) Điều kiện xác định x2 1 0  x1 x1  0 x1

d) Điều kiện xác định 2x   0 x 0

e) Điều kiện xác định    

1

3

x

x









f) Điều kiện xác định    

3

x

x









g) Điều kiện xác định x và y không đồng thời bằng 0

h) Điều kiện xác định x2 2x  1 0 x12  0 x1

i) Ta có x26x10x32 1 0 với mọi x

Nên phân thức đã cho xác định với mọi giá trị của x

k) Điều kiện xác định x2 4 0  x 2 x2  0 x2 l) Điều kiện xác định x1; y0 không đồng thời xảy ra

2

3

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức Cách giải: Thực hiện theo 3 bước

- Bước 1: Lựa chọn 1 trong 3 cách biến đổi thường dùng sau

Cách 1: Biến đổi vế trái thành vế phải

Cách 2: Biến đổi vế phải thành vế trái

Cách 3: Biến đổi đồng thời 2 vế

- Bước 2: Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử

- Bước 3: Rút gọn bằng cách triệt tiêu nhân tử chung và sử dụng định nghĩa hai phân thức bằng nhau nếu cần, từ đó suy ra điều phải chứng minh

Bài 1: Chứng minh các đẳng thức sau

2;

x

2

3

a

2

Lời giải

a) Ta có 2

x



b) Ta có

c) Ta có  

d) ta có

2

;

Bài 2: Chứng minh các đẳng thức

a)

3 4 4

3

5

x y



b)

2 2



c)

2

2







Lời giải

a) Ta có:

3 4 4

3

5

x y

b) Ta có: x 2 x2 4 x 2 2 x 2

2 2



2 2

2



d) Ta có:        

Bài 3: Ba phân thức sau có bằng nhau không

Lời giải

Ta có 2x 3 15  x 20 5 2 x 3 x 4  15 2 x2 13x 24 A B  1

Lại có 2x 3 75  x 30  15 2 x 3 5  x 2  15 10 x2  11x 6 A C  2

Từ (1)(2)  A B C 

Dạng 3: Tìm đa thức thỏa mãn đẳng thức cho trước Cách giải: Thực hiện theo hai bước sau

Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử ở hai vế

Bước 2: Triệt tiêu các nhân tử chung và rút ra đa thức cầm tìm

Bài 1: Tìm đa thức A để các phân thức sau bằng nhau

a)

1

x

2 2





c)

4 3 3





4

A



Lời giải

a) Ta có





b) Ta có

3

c) Ta có

  3 

4 3

3

3



d) Ta có

4





Bài 2: Tìm đa thức A để các phân thức sau bằng nhau

a)

2 2

x

2

c)   2

y

1

2

a



Lời giải

a) Cách 1: Ta có

2 2

A x



Cách 2: Ta có

2

2

b) Ta có :

2

2 2

3



c) Ta có y2 4y 3 y1 y 3 B2y2 3y1

d) Ta có : a3  8 a 2 a2  2a 4 B a 2  3a 2

Bài 3:

Tìm cặp đa thức P và Q thỏa mãn đẳng thức

2

x

Lời giải

Ta có :

Chọn Qx1 x 2 Px1 x2

Bài 4:

2

2;1;3

x

Hãy tìm một cặp đa thức A và B thỏa mãn đẳng thức trên

Lời giải

2

x



Chọn Ax2 x 3  B x  1

Dạng 4: Chứng minh đẳng thức có điều kiện Cách giải: Thực hiện theo hai bước sau

Bước 1: Xuất phát từ điều phải chứng minh, áp dụng tính chất của ai phân thức bằng nhau Bước 2: Thu gọn biểu thức và dựa vào điều kiện đề bài cho để lập luận

Bài 1:

Cho hai phân thức

P

R

S thỏa mãn  

P Q

Q S  Chứng minh R S và

Lời giải

Bài 2:

Chứng minh đẳng thức



với hai phân thức

P

R

S thỏa mãn

Lời giải

dpcm

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1:

Chứng minh các đẳng thức sau

2

2

1

x

y y

Hướng dẫn

a) Gợi ý: x2 3x 2 x1 x 2 ; x21x1 x1 dpcm

b) Gợi ý: 4y3 yy2y1 2  y1

Bài 2:

Chứng minh các đẳng thức sau

2

3 2

27

3

v

v



 

Hướng dẫn

a) Gợi ý: u23u 22 u u  1 ; u2 4u 4 2 u2

b) Gợi ý : v3  27 v 3 v2  3v 9

Bài 3: Tìm đa thức M trong mỗi đẳng thức sau

a)

2

1;

2

2

x

Hướng dẫn

a) Đáp số: M x1 2  x 3

b) Đáp số: M 2x1 x 2

Bài 4: Tìm đa thức N trong mỗi đẳng thức sau

2

3

8



b)

3 2

Hướng dẫn

a) Đáp số: N x1 x2

b) Đáp số: N 2x3 x 3

Bài 5:

Cho hai phân thức

A

C

E

F thỏa mãn .

B D F Chứng minh



Hướng dẫn

Ta có:

CB EB DA FA

B D  B F    đpcm

Bài 6:

Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị nguyên

a)

3

5 1

7 1

Hướng dẫn

a) Vì x nguyên nên 2x 1 nguyên

do đó

3

2x 1 nguyên  2x 1 U  3    1; 3 x  1;0;1;2

b) Vì x nguyên nên x 2 1 nguyên

do đó 2

5

1

x  nguyên

0

2

2

x

x

x







c) Vì x nguyên nên x2 x 1 nguyên

do đó 2

7

1

2

2 2

1 1

1 7

x x

Bài 7:

a) Tính giá trị của biểu thức

A





 , biết 9x24y2 20xy và 2y3x0

b) Tính giá trị của biểu thức

x y B

x y





 , biết

2 2 10

3

xy





và 0 x y 

Hướng dẫn

a) Vì 2y3x0 nên 3x 2y0 và 3x2y0 suy ra A 0

Ta có

2

A

 1

2

(vì A 0)

b) Ta có 2 2 10  2 2

3

xy



2

B

x y



Vì 0 x y x y 0 và x y 0

Suy ra

1 0

2

x y

x y