Chuyên đề 9 phân thức đại số tính chất phân thức đại số

TÍNH CHẤT PHÂN THỨC ĐẠI SỐ A.. Phân thức đại số  Một phân thức đại số hay nói gọn là phân thức là biểu thức có dạng A B , trong đó ,A B là những đa thức vàB khác đa thức 0..  Mỗi đa

Chương II

PHÂN THỨC ĐẠI SỐ Chuyên đề 9 PHÂN THỨC ĐẠI SỐ TÍNH CHẤT PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

A Kiến thức cần nhớ

1 Phân thức đại số

 Một phân thức đại số ( hay nói gọn là phân thức ) là biểu thức có dạng A

B , trong đó ,A B là những đa

thức vàB khác đa thức 0 Ađược gọi là tử thức ( hay tử), Bđược gọi là mẫu thức ( hay mẫu)

 Mỗi đa thức cũng được gọi là một phân thức có mẫu thức bằng 1

 Mỗi số thực a bất kỳ cũng là một phân thức

 Hai phân thứcA

B và

C

D gọi là bằng nhau nếuA D B C.  .



A C

B D nếu A D B C.  .

2 Tính chát cơ bản của phân thức

 Tính chất cơ bản.

- Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác 0 thì được một phân thức mới bằng phân thức đã cho:

.M



A A M

B B ( M là đa thức khác đa thức 0).

- Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức mới bằng phân thức đã cho:

:

:



A A N

B B N ( N là nhân tử chung 0).

 Quy tắc đổi dấu.

Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì được một phân thức bằng phân thức đã cho: 



B Một số ví dụ

Ví dụ 1: Tìm đa thức A, biết rằng:

2 2

2







Giải

Tìm cách giải.

Để tìm đa thức A, chúng ta dùngAC

B D khi và chỉ khi:A D B C.  .

Trình bày lời giải

Từ

2

2

2







x x x suy ra

       

2

x x

A

Ví dụ 2: Cho 0  x y và2x22y2 5 xy Tính giá trị của 2016 2017







P

x y

Giải

Tìm cách giải Quan sát, chúng ta nhận thấy giả thiết chứa đa thức bậc hai đối với biến x, y, còn kết luận là

phân thức mà tử và mẫu là đa thức bậc nhất đối với biến x, y Do vậy chúng ta tìm mối quan hệ giữa x và y

từ giả thiết để biểu diễn x theo y hoặc ngược lại Với suy nghĩ ấy, chúng ta phân tích đa thức thành nhân tử

từ điều kiện thứ hai

Trình bày cách giải

Từ 2x22y2 5xy 2x2  5xy2y2 0

2x  4xy xy 2y  0 2x y x  2y 0

Ta cóy x  0 2y x  x 2y 0 2x y  0 y2x

Từ đó ta có: 2016 2017.2 6050

3 2.2





P

Ví dụ 3: Cho x, y thỏa mãnx22y22xy 6x 2y13 0.

Tính giá trị của biểu thức





x xy H

x y

Giải

Từ giả thiết suy rax22xy y 2y2 6x 2y13 0.



Từ đó ta có 25 7.5 2  52

21

5 2



H

Ví dụ 4: Cho biểu thức 2

1 0

  

x x Tính giá trị



Q

Giải

Tìm cách giải Ta không thể tìm x để rồi thay vào biểu thức được, bởi kết quả x không phải số tự nhiên,

thay vào Q tính rất phức tạp Do vậy ta có hai định hướng:

 Hướng suy nghĩ thứ nhất, viết tử thức và mẫu thức dưới dạng 2 

1 q(x) r(x)

đa thức, từ đó ta tìm được Q.

 Hướng suy nghĩ thứ hai, chúng ta quan sát thấy có dạng hằng đẳng thức, biến đổi giả thiết khéo léo để xuất hiện thành tử thức và mẫu thức

Trình bày lời giải

Cách 1.

 Ta có:

 Ta có:

Với x2 x1 0 thì tử số là 2011; mẫu số là 2021

Vậy 2021 1

2021

Q

Cách 2.

 Ta có:x2 x1 0  x2   x 1 x6 x13

 x x  x  x  x  x  x  x

Suy ra mẫu số bằng:1 2020 2021. 

 Ta có:x2 x1 0  x2 x 1 x2 x3 1

 x  x  x  x 

Suy ra tử số bằng:1 2020 2021. 

Vậy 2021 1

2021

Q

Ví dụ 5: Cho

5







n P

n với n là số tự nhiên Hãy tìm tất cả các số tự nhiên n trong khoảng từ 1 đến 2020

sao cho giá trị của P chưa tối giản

Giải

Ta có:

5



n

n n vớin N .

Để phân số P chưa tối giản thì ƯCLN29;n5 d d( 1)

Khi đón 5 d và29d  d 29 n5 29

Hayn 5 29k k N  n 29k 5

Mà 1n2020 1 29 k 5 2020  29k2025





69 1, 2,3 ,69

Vậy các số tự nhiên n cần tìm có dạng n29k 5với k1, 2,3 , 69

Ví dụ 6 Với giá trị nào của x thì:

a) Giá trị của phân thức 10

9





A

x dương;

b) Giá trị của phân thức 10

21







B

x âm;

c) Giá trị của phân thức 21

10







x C

x dương.

Giải Tìm cách giải Khi giải những dạng toán này chứng ta cần sử dụng kiến thức sau:

 Phân thức A

B có giá trị dương khi và chỉ khi A và B cùng dấu.

 Phân thức A

B có giá trị âm khi và chỉ khi A và B trái dấu.

Trình bày lời giải

x

21



x

10





x

x

x và x10 cùng dấu; màx10 x 21nênx 21 0 hoặcx10 0  x21 hoặc

10



x

C Bài tập vận dụng

9.1.

a) Tìm đa thức A, cho biết

2 2



b) Tìm đa thức M, cho biết



Hướng dẫn giải – đáp số

Dùng định nghĩa, ta có:

2

M x  x

Nhận xét Bạn có thể dùng tính chất cơ bản của phân thức để giải bài này.

9.2 Cho a và b là các số thỏa mãna b 0 vàa3 a b ab2  2 6b3 0 Tính giá trị của biểu thức

4

4







B

Hướng dẫn giải – đáp số

Từ a3 a b ab2  2 6b3 0

a a b a b ab ab b

a b a ab b

Vìa b  0 a2ab3b2  do đó0 a 2b 0 a2b

Vậy

B

9.3 Cho a, b thỏa mãn10a2 3b25ab0 và9a2 b2

Tính giá trị của biểu thức 2 5

a b b a P

a b a b

Hướng dẫn giải – đáp số

P

a b a b



P

Từ giả thiết 10a2 3b25ab 0 5ab3b210 a2

Từ đó suy ra

3

P

9.4 Số nào lớn hơn: 2020 2015

2020 2015







2020 2015

2020 2015







B

Hướng dẫn giải – đáp số

2020 2015 2020 2015 2020 2015

2020 2015 2020 2015 2020 2015

A B

 

9.5 Với giá trị nào của x thì:

a ) Giá trị của phân thức 3

2





A

x dương;

b) Giá trị của phân thức 3

3







B

x âm;

c) Giá trị của phân thức 1

5







x C

x dương.

Hướng dẫn giải – đáp số

2

x



3

x





c)C 1 0 1

5

x

x x



 vàx  5 cùng dấu; màx1 x 5 nênx  5 0 hoặcx1 0  x5 hoặcx 1

9.6 Chứng minh với mọi số nguyên dương n thì:

a)

3

5

1

1



 

n

n n là phân số không tối giản.

b)6 1





n

n là phân số tối giản.

Hướng dẫn giải – đáp số



2

    vì với số nguyên dương n thìn2   nênn 1 1

3 5

1 1

n

n n



  là phân số không tối giản

b) Đặt ƯCLN6n1;8n1 d vớid N *

 ƯCLN6n1;8n1  1 Phân số tối giản

9.7 Tìm giá trị lớn nhất của phân thức sau:

2

3

;

A



5



B

Hướng dẫn giải – đáp số

a) Ta có

 2

1 3

A

x

 Giá trị lớn nhất của A là 1 khi x 1

b) Ta có

 2

2

B

x

Giá trị lớn nhất của B là5

2 khi

1 2

x 

9.8 Cho 2x y 11 ;3z x y 4 z Tính giá trị

2

3







x xy Q

Hướng dẫn giải – đáp số

Từ 2x y 11z và 3x y 4z suy ra5x15z x3z

Từ 2x y 11z vàx3z suy ray5 z

Thay vào biểu thức:

Q

9.9 Cho a, b thỏa mãn5a22b2 11ab và a2b0

Tính giá trị của biểu thức

2

2







A

a ab

Hướng dẫn giải – đáp số

2

thỏa mãn (loại)

a b



 Thay5a b vào A ta được:

11

10

A





9.10 Cho4a2b2 5ab và2a b 0 Tính giá trị P 2 2

4





ab

a b

Hướng dẫn giải – đáp số

Từ giả thiết: 2 2

4a b 5ab

(

loại) thỏa mãn)

a b

a b a b

a b





 Suy raa b Thay vào P ta được:

2 2

1

a P a

9.11 Cho x thỏa mãn 2 1

1 2

 

x

x x Tính giá trị biểu thức



P

Hướng dẫn giải – đáp số

Từ giả thiết: 2 1

1 2

x

x  x  suy rax2 x 1 2x x2 3x 1 0

x  x  x  x  x x   x

x  x  x  x  x x  x

Vớix2 3x  ta cĩ1 0    

2

P

x

9.12 Cho x,y thỏa mãnx2 2xy2y2 2x6y 5 0 Tính giá trị của biểu thức

2

4



 x y N

xy

Hướng dẫn giải – đáp số

Ta cĩ:

x  xy y  x y   x  xy y y  x y y 

x y 12 y 22 0

Dấu bằng xảy ra khix y 1 0 vày   hay2 0 y2;x1

Từ đó suy ra    

   

2

N     

9.13 Cho a, b là hai số nguyên dương khác nhau, thỏa mãn2a2 a 3b2b

Chứng minh rằng



a b

a b là phân số tối giản.

( Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Quảng Ngãi, năm học 2013-2014)

Hướng dẫn giải – đáp số

Từ 2a2 a 3b2 b 2a2 2b2 a b b 2  a b  2a2b1 b2(1)

Đặt ƯCLN (a b a ; 2 2b1) d a b d a  ; 2 2b1dvàb d

2a 2b 1 2 a b d 4b 1 d

           màb d hayd 1

a b

  và 2a2b1 nguyên tố cùng nhau suy ra



a b

a b là phân số tối giản.