Có bao nhiêu đường thẳng cắt C tại hai điểm phân biệt đều có tọa độ nguyên.. Xét các điểm A B, phân biệt thuộc C sao cho cáctiếp tuyến của C tại A và B song song với nhau.. Gọi
Trang 1DẠNG 1: ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Câu 1: Cho hàm số
1
x y x
có đồ thị C Có bao nhiêu đường thẳng cắt C tại hai điểm phân biệt đều có tọa độ nguyên?
Câu 2: Cho hàm số yx4 3x22 có đồ thị C Ba điểm phân biệt M, N, P cùng thuộc C có hoành
độ lần lượt là
11 0; 2 cos
5
và p 0 Biết rằng ba điểm M, N, P thẳng hàng Gía trị của p bằng:
A 2 sin30
31
3
2 sin 5
Câu 3: Cho hàm số
2 3 1
x y x
có đồ thị C Có bao nhiêu đường thẳng cắt C tại hai điểm phân biệt đều có tọa độ nguyên
Câu 4: Gọi C là đồ thị hàm số
7 1
x y x
, A; B là các điểm thuộc C có hoành độ lần lượt là 0 và
3, M là điểm thay đổi trên C sao cho 0x M 3 Giá trị lớn nhất của diện tích tam giác
ABM là
Câu 5: Cho hàm số yx4 24x212 có đồ thị C Có bao nhiêu điểm M có tọa độ nguyên thuộc
C mà tiếp tuyến tại M cắt C tại hai điểm phân biệt N P, N M P, M
Câu 6: Cho hàm số yx4 25x212 có đồ thị C Bốn điểm phân biệt M N P Q, , , cùng thuôc C
và có hoành độ lần lượt là 0 , , , n p q Biết rằng bốn điểm M N P Q, , , thẳng hàng Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số n?
Câu 7: Cho hàm số yx33x2 9x 1 có đồ thị C Ba điểm M N P, , cùng thuộc C
và có hoành
độ lần lượt là 0; ;n p Biết ba điểm M N P, ,
thẳng hàng Có bao nhiêu giá trị nguyên của
10;10
Câu 8: Gọi C là đồ thị của hàm số
7 1
x y x
Các điểm M N P, ,
thuộc C có hoành độ 0; ; 3n với
0n3 Tam giác MNP
có diện tích lớn nhất bằng?
Trang 2A 3 5 B 6 C 5 D 3.
Câu 9: Cho hàm số
có đồ thị là C Có bao nhiêu điểm A thuộc C sao cho tiếp tuyến của C tại A cắt C tại hai điểm phân biệt M x y 1; 1,N x y 2; 2 M N, A thỏa mãn
Câu 10: Cho hàm số yx4 2x2 có đồ thị là C Có bao nhiêu đường thẳng d có đúng ba điểm chung
với đồ thị C và các điểm chung có hoành độ x x x1, 2, 3 thỏa mãn x13x23x33 1?
Câu 11: Có bao nhiêu đường thẳng cắt đồ thị hàm số
1
x y x
tại hai điểm phân biệt có hoành độ và tung độ đều là các số nguyên?
Câu 12: Cho hàm số
2 khi 0 8
khi 0
x x
f x
x x
có đồ thị T Xét điểm A di động trên đường thẳng
: y x
Hai đường thẳng d và d' qua A tương ứng song song Ox Oy, và cắt T lần lượt tại ,
B C Tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất bằng
Câu 13: Cho đường cong C :yx3 Hai điểm phân biệt A B, thuộc C sao cho tiếp tuyến của C tại
,
A B cắt trục tung lần lượt tại M và N và tứ giác AMBN là một hình chữ nhật Diện tích hình chữ nhật đó bằng
A
3
4
2
3
2
Trang 3Câu 14: Cho hàm số yx3 3x1 có đồ thị C Xét các điểm A B, phân biệt thuộc C sao cho các
tiếp tuyến của C tại A và B song song với nhau Gọi E F, lần lượt là giao điểm của các tiếp tuyến tại A và B với trục tung Có bao nhiêu điểm A có hoành độ là số nguyên dương sao cho 2020
Câu 15: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm
có hệ số góc bằng
2 3
Câu 16: Cho hàm số
2 2 2
y x
Điểm trên đồ thị mà khoảng cách từ giao điểm của hai tiệm cận đến tiếp tuyến tại đó lớn nhất có hoành độ bằng
A 246 B 24 8 C 348 D 14 8
Câu 17: Cho họ đồ thị 4 2
m
C yx mx m Tọa độ các điểm mà mọi đồ thị của họ C m luôn đi qua với mọi giá tri thực của m là
A 2;1 , 0;1 B 1; 0 , 0;1 C 2;1 , 2; 3 D 1; 0 , 1; 0
Câu 18: Biết đồ thị (C m) của hàm số y x 4 mx2m2018 luôn luôn đi qua hai điểm M và N cố
định khi m thay đổi Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng MN là
A I0;2018
B I0;2019
C I 1;2018
D I0;1
Câu 19: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx3 3x2m có hai điểm phân
biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ
A m 1 B m 0 C m 0 D 0m1
Câu 20: Có bao nhiêu đường thẳng cắt đồ thị ( )C của hàm số
1
x y x
tại hai điểm phân biệt mà hai giao điểm đó có hoành độ và tung độ là các số nguyên?
Câu 21: Có bao nhiêu số thực m để đường thẳng yx m cắt đồ thị hàm số
1
3
tại ba điểm phân biệt A0;m,B C, sao cho đường thẳng
OA là phân giác của góc BOC.
Câu 22: Cho hàm số yx3 3x24 có đồ thị C , đường thẳng d y: m x 1 với m là tham số,
đường thẳng :y2x5 Tìm tổng tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt đồ thị C tại ba điểm phân biệt A1; 0 , , B C sao cho d B ; d C ; 6
Trang 4A 16 B 8 5 C 5 D 11.
Câu 23: Các điểm A 1; 3, B 2; 8,C 3;15 đều thuộc đồ thị C của hàm số
yax bx cx d a và các đường thẳng AB, BC, CA lần lượt cắt C tại điểm thứ hai , ,
M N P có tổng hoành độ bằng 27 Tìm tọa độ giao điểm Q của C và trục tung
A
6 0;
7
Q
6 0;
11
Q
Câu 24: Cho hàm số
1 1
x y x
có đồ thị C Giả sử A B, là hai điểm thuộc C và đối xứng với nhau qua giao điểm của hai đường tiệm cận Dựng hình vuông AEBF Diện tích nhỏ nhất của hình vuông AEBF là:
F E
B
I
x
y
A
Trang 5BẢNG ĐÁP ÁN
11.A 12.B 13.B 14.D 15.C 16.B 17D 18 B 19.B 20.A 21.C 22.B 23.D 24.C
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Chọn C
Tìm số điểm có tọa độ nguyên thuộc C :
Ta có:
3
x x
y
Do x y , nên x 1 phải là ước của 4 do đó x 1 1; 2; 4 có tất cả 6 điểm có tọa độ nguyên thuộc C Mà đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 trong 6 điểm đó, vậy có tất
cả C 26 15 đường thẳng thỏa mãn
Câu 2: Chọn C
Để đơn giản ta đặt
11
2 cos 5
ta có 4 2
do đó đường thẳng quua hai điểm M, N là
3
0
MN
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng MN và C là
2
0
3 4 2
x
x
Do đó với p 0 thì
Trang 6 2 11 211 11 211
p
Câu 3: Chọn D
Trước tiên ta tìm các điểm có tọa độ nguyên thuôc C , đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua hai trong só các điểm có tọa độ nguyên đó
2
1
x x
Do x y ; nên x 1 phải là ước của 4 Do đó x 1 1; 2 ; 4
Suy ra có tất cả 6 điểm có tọa độ nguyên thuộc C và không có 3 điểm nào thẳng hàng
Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua hai trong 6 điểm đã cho
Vậy có tất cả có: C 62 15 đường thẳng
Câu 4: Chọn A
Ta có A0 ; 7 , B 3; 1
Vì điểm M C
nên
7
; 1
m
M m
m
với 0m3
Ta có AB 3; 6
;
8
; 1
m
m
Đường thẳng AB có phương trình 2x y 70 và AB 3 5
Khoảng cách từ M đến đường thẳng AB là:
2
7
1
,
m
m
d M AB
=
2
m
Do đó 1 , 1.3 5.2 5 3
ABC
1 4
1
3 1
m m
m
Vậy diện tích tam giác ABM lớn nhất bằng 3
Câu 5: Chọn A
Trang 7 4 2
Theo đề m Phương trình tiếp tuyến của đồ thị C tại M là 3 4 2
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị C và tiếp tuyến
0
x m
Yêu cầu bài toán tương đương với 1 có hai nghiệm phân biệt khác m
2
2 3; 2 3 \ 2 4
m m
Do vậy m 3; 1; 0 ;1; 3 Có tất cả 5 điểm thỏa mãn
Câu 6: Chọn B
Phương trình đường thẳng qua hai điểm M N; có hệ số góc là
3
25 0
Phương trình đường thẳng MN đi qua điểm M0 ;12 và có hệ góc kn3 25n là
3
y n n x
Phương trình hoành độ giao điểm
25 0 *
0
25 0
x
Yêu cầu bài toán tương đương với * có bốn nghiệm phân biệt
2
2
0
25 0
4, ,4 \ 0
0
3
n
n n
n
n
n n
n
Có tất cả 8 giá trị nguyên của n
Câu 7: Chọn B
Trang 8Ta có: 3 2
Suy ra phương trình đường thẳng
Phương trình hoành độ giao điểm:
0 3
x
Để 3 điểm phân biệt thì 3 0 0; 3; 3 9; 9 \ 3,0
2
Có 17 số nguyên thỏa mãn
Câu 8: Chọn D
Ta có:
0; 7 ; ; 7 ; 3; 1
1
n
n
Ta có:
3; 6 ; ; 7 7
1
n
n
Suy ra
2 2
0;3
3 3
MNP
n n
Câu 9: Chọn D
Ta có
Xét điểm 1 4 7 2
;
A a a a C
Khi đó phương trình tiếp tuyến của C tại điểm A là:
:
A
t y a a x a a a
Phương trình hoành độ giao điểm của C và t A là:
Tiếp tuyến của C tại A cắt C tại hai điểm phân biệt M x y 1; 1,N x y 2; 2 M N, A khi
và chỉ khi phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 khác a
2
7 * 3
a
Trang 9Ta có
3
1 2
1 2
MN
Vậy có hai điểm A
Câu 10: Chọn B
Giả sử đường thẳng cần tìm có dạng ykx m
Phương trình hoành độ giao điểm của d và C là:
x x kx m x x kx m
Theo giả thiết thì d và C có đúng ba điểm chung có hoành độ x x x1, 2, 3 nên phương trình trên phải có một nghiệm kép, giả sử nghiệm kép đó là x1 Khi đó ta có:
2
x x kx m x x x x x x
Do đó d phải là tiếp tuyến của C tại điểm có hoành độ x1
Phương trình hoành độ giao điểm lúc này là:
1
Yêu cầu bài toán tương đương với 1 có 2 nghiệm phân biệt x x2, 3 x1 và x13x23x33 1
1
3 3
22 2
x
Vậy có duy nhất một đường thẳng d
Câu 11: Chọn A
Ta có
3
x y
Vì x y, x 1 1; 5 x 6 ; 2; 0; 4
Như vậy có tất cả bốn điểm thuộc đồ thị hàm số
1
x y x
có tọa độ nguyên Do đó đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua hai trong bốn điểm trên Vậy số đường thẳng cần tìm là 2
4 6
C đường thẳng
Câu 12: Chọn B
Gọi điểm A a a ; :yx với a 0
Trang 10Ta có:
2
;
B b b
b 0 là giao điểm của đường thẳng d và đồ thị T ;
8
;
C c c
c 0 là giao điểm của đường thẳng d' và đồ thị T
Dựa vào hình vẽ ta có:
2
a b
Suy ra A a a ; ,
2 ,
a
và
8
;
C a
a
Ta có:
2
; 0
a
và
8 0;
a
Diện tích tam giác ABC là:
ABC
Vì
2
0 0
8
0
a a a
a a
Do đó
2
2
ABC
a
Suy ra S ABC 9 Vậy tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất bằng 9
Câu 13: Chọn B
Gọi 3
;
A a a
, 3
;
B b b
với ab Do AMBN là một hình chữ nhật nên AM BN//
k k y a y b a b ab
Khi đó 3
;
;
B a a
và tiếp tuyến tại A B, lần lượt là 2 3
a
t y a x a a ,
b
t y a x a a và suy ra 3
0; 2
và 3
0; 2
Vì AMBN là một hình chữ nhật nên AM BM 3 3
3
a
Trang 11
Vì vậy
3
AMBN
Câu 14: Chọn D
A a a a
B b b b
với ab
Ta có các tiếp tuyến tại A B, song song với nhau khi 2 2
y a y b a b
2 2
ab Khi đó A B ba0
Khi đó
A
b
Gọi điểm 3
0;1 2
là giao điểm của t A và Oy; 3
0;1 2
là giao điểm của t B và Oy
Ta có
Theo bài ra ta có a là
số nguyên dương nên a 1,2, ,7
Vậy có 7 điểm A thỏa mãn yêu cầu
Câu 15: Chọn C
Điều kiện để hàm số có cực trị là
Khi đó hệ số góc của đường
thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là
2
b
a
Theo giả thiết
2
3
m
Câu 16: Chọn B
2
3
Hàm số có hai đường tiệm cận đứng và xiên lần lượt có phương trình là
2
x và y x 3 Tọa độ giao điểm của hai tiệm cân la điểmI2; 5
Gọi
2 2
; 2
M a
a
là tiếp điểm của đồ thị hàm số và tiếp tuyến d Tiếp tuyến d tại:
2 2 2
a
2 2 2
2 2 4 2 4
;
d A
Đặt a 2t
Trang 122
4
;
2
d A
tt tt
Để d A ; max thì 4 22 ax
t
tt
5
0
0
8
t tt
f t
t tt
CĐ
Bảng biến thiên
Suy ra f t max tại t 48 a 248 a 2 4 8
Câu 17: Chọn D
yx mx m x m x
Điểm mà mọi đồ thị của họ C m đi qua là điểm có tọa độ không phụ thuộc và tham số m nên
có hoành độ thỏa mãn:
1 0
1
x x
x
Vậy có hai điểm thỏa mãn bài toán là:
1; 0 ; 1; 0
Câu 18: Chọn B
Giả sử M x y 0; 0
là điểm cố định của họ C m
Khi đó
2 0 4
0 0
1 0
2018 0
x
0 0 4
1 1
2018 0
x x
0 0 0 0
1 2019 1 2019
x y x y
1; 2019 1; 2019
M N
Suy ra tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng MN có tọa độ là I0;2019
Câu 19: Chọn B
Tập xác định:D R
Gọi tọa độ hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ lần lượt làA x y B ; , x y;
Vì hai điểm cùng thuộc đồ thị nên ta có:
Trang 133 2
2
3
3 3
Vớim 0 thì 1 vô nghiệm, không thỏa mãn
Vớim 0 thì 1 có nghiệm duy nhất0; 0, không thỏa mãn
Vớim 0 thì 1 có nghiệm là
;
m m m
;
Câu 20: Chọn A
Ta có
1
x y x
5 3 1
y
x
Suy ra các điểm có hoành độ và tung độ là các số nguyên thuộc đồ thị hàm số là (0; 2) ; ( 2; 8) ; (4; 2); ( 6; 4)
Ta nhận thấy các điểm trên không có ba điểm nào thẳng hàng
Vây số đường thẳng cắt đồ thị ( )C của hàm số
1
x y x
tại hai điểm phân biệt mà hai giao điểm đó có hoành độ và tung độ là các số nguyên là C 24 6
Câu 21: Chọn C
Phương trình hoành độ giao điểm
2
0 1
3
x
Để đường thẳng cắt đồ thị tại ba giao điểm thì phải có ba nghiệm phân biệt khác 0
Hay:
(1) 3
4
3
Gọi tọa độ hai giao điểm còn lại là: B x 1; x1m C x , 2; x2m
Theo vi-et ta có
Lại có OAOy có VTCP j0;1
Vậy để đường thẳng OA là phân giác của góc BOC thì:
2 0
0
m m
Đối chiếu điều kiện và AO ta nhận m 7 33
Trang 14Câu 22: Chọn B
Phương trình hoành độ giao điểm là
1
x
Để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt thì phương trình 1 có 2 nghiệm phân
biệt x x1, 2 khác 1
0
m
m m
Khi đó 1 x 22 m
1
2
2 2
Giả sử A1; 0 , B x mx1; 1m C x mx , 2; 2m
Theo giả thiết d B ; d C ; 6 m m 3m 2 m9 m m3m 2 m 9 6 5
5
m m
Câu 23: Chọn D
Gọi P yax2bx c đi qua 3 điểm A1; 3 , B 2; 8 , C 3;15
Có hệ
2
2
2
Nên P yx2 2x đi qua 3 điểm A B C, ,
Khi đó đồ thị hàm số C y: a x. 1 x2 x3x2 2x
Xét phương trình hoành độ giao điểm của C và các đường thẳng AB BC CA, ,
Viet ta có
a
a a
a a
a
Cộng từng vế ta được
2 x A x B x C x M x N x p 3 a
a
11
a
a a
Trang 15
C giao với Oy ta có x 0 nên
6
Vậy tọa độ giao điểm
6 0;
11
Q
Câu 24: Chọn C
Cách 1:
Dễ thấy tâm đối xứng là I1;1
Do A C nên tọa độ của A có dạng:
1
1
a
a
Do I là trung điểm của AB nên tọa độ của B có dạng
3
1
a
a
Khi đó
2
2 2
2
2
4
1
a
a
2
2
4
1
a
a
Do AEBF là hình vuông nên
2
1
8 2
ABEF
Cách 2:
Ngoài cách làm phía trên, ta có thể giải như sau:
Hoành độ của các điểm A B, là nghiệm của phương trình f x 2 1 4
4 1 1
x
x 12 2
x x
Vậy A1 2 ;1 2
, B1 2 ;1 2
4
AB
nên
2
1
8 2
ABEF
