7 điểm đặc biệt lý thuyết

Nếu hệ có nghiệm thì nghiệm đó là điểm cố định của C m..  Bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên  Cho đường cong C có phương trình yf x hàm phân thức.. Hãy tìm những điểm có tọa độ ngu

CHỦ ĐỀ 2 : GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ

LÍ THUYẾT

 Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong

 Xét họ đường cong (C m) có phương trình yf x m( , ), trong đó f là hàm đa thức theo biến x

với m là tham số sao cho bậc của m không quá 2 Tìm những điểm cố định thuộc họ đường cong khi m thay đổi?

 Phương pháp giải:

 Bước 1: Đưa phương trình yf x m( , ) về dạng phương trình theo ẩn m có dạng sau:

0

Am B  hoặc Am2Bm C 0

 Bước 2: Cho các hệ số bằng 0, ta thu được hệ phương trình và giải hệ phương trình:

0 0

A B











hoặc

0 0 0

A B C











 Bước 3: Kết luận:

Nếu hệ vô nghiệm thì họ đường cong (C m) không có điểm cố định

Nếu hệ có nghiệm thì nghiệm đó là điểm cố định của (C m).

 Bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên

 Cho đường cong ( )C có phương trình yf x( ) (hàm phân thức) Hãy tìm những điểm có tọa độ nguyên của đường cong?

 Những điểm có tọa độ nguyên là những điểm sao cho cả hoành độ và tung độ của điểm đó đều là

số nguyên

 Phương pháp giải:

 Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số.

 Bước 2: Lập luận để giải bài toán.

 Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng

 Bài toán 1: Cho đồ thị  C y Ax:  3Bx2Cx D

trên đồ thị  C

tìm những cặp điểm đối xứng nhau qua điểmI x y( , )I I .

 Phương pháp giải:

là hai điểm trên  C

đối xứng nhau qua điểm I .

2

 







I

I

 Giải hệ phương trình tìm được a b, từ đó tìm được toạ độ M, N

 Công thức giải nhanh cho các dạng toán về tính đối xứng qua giao điểm của 2 tiệm cận của đồ thị

ax b

Lời giải Chọn D

Ta có y 3x212mx;

0 ' 0

4

x y





Hàm số có hai cực trị khi m 0 Khi đó, gọi A0;32m3;B m4 ;0

là tọa độ 2 điểm cực trị của

đồ thị hàm số Hai điểm này đối xứng với nhau qua đường thẳng : y x khi và chỉ khi:

3

2 2

m

 

Vì m 0 nên ta chọn

1

2 2

m 

Cách 2.

Chú ý: Hai điểm A x y B x y ; ,  '; '

đối xứng nhau qua đường phân giác góc phần tư thứ nhất

khi và chỉ khi

' '









0;32 3; 4 ;0

đối xứng nhau qua đường phân giác góc phần tư thứ nhất khi và chỉ khi

3

32m 4m

1

m

VÍ DỤ MINH HỌA

VÍ DỤ 1: Gọi m là số thực âm để đồ thị hàm số y x 3 6mx232m3 có hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ Oxy Chọn khẳng định đúng

trong các khẳng định sau

A

3

; 1 2

m    

1 1;

2

m   

3 2;

2

m    

1

;0 2

m   

VÍ DỤ 2: Cho hàm số

2

x y x





có đồ thị  C

Hai điểm A , B trên  C

sao cho tam giác OAB nhận

điểm H8; 4  làm trực tâm Tính độ dài đoạn thẳng AB

Gọi

2

;1

A a

a



2

;1

B b

b



  ab0, a b  là hai điểm phân biệt thuộc  C

Khi đó,

2 8;5

a

uuur

,

2 8;5

b

uuur

,

2

;1

a

uur

,

2

;1

b

uuur

Điểm H là trực tâm của tam giác OAB khi và chỉ khi

 

 









uuur uuur uuur uur

Lấy  1

trừ  2

vế theo vế ta được 8a b 8a b 0 8a b ab  1 0a b ab 1

ab





Thayab  vào 1  1 ta có



Do đó, A1;3

và B   1; 1

hoặc A   1; 1

và B1;3

Vậy AB 2 5.

Lời giải Chọn A

Tập xác định: D \ 1

Dễ thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng d x  và tiệm cận ngang 1: 1 d y  2: 2

Do

0 0

; 1

x

x



Xét

x



Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

0 0

0 0

0 1

1

2 1

x x

x x





VÍ DỤ 3: Gọi  H

là đồ thị hàm số

1

x y x





 Điểm M x y 0; 0

thuộc  H

có tổng khoảng cách đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất, với x  khi đó 0 0 x0y0 bằng

Theo đề bài, ta có x  nên nhận 0 0 x 0 2  y0  Vậy 1 x0y0  1

Lời giải Chọn B

Gọi

 

2

2 2

1

B B

a









Mặt khác

 

B B B

B

Do đó,

 2  2

1

a

Lời giải Chọn C

Ta cần tìm các điểm x y;   C m,m

,

x m



2

VÍ DỤ 4: Cho hàm số

1

y x

 



 có đồ thị  C

Biết rằng trên  C

có hai điểm A B, đối xứng

nhau qua điểm

5 0;

2

I 

  Tính độ dài AB

VÍ DỤ 4: Cho hàm số

y

x m



 , có đồ thị C m Tập hợp các điểm trong mặt

phẳng tọa độ Oxy mà không có đường cong C mnào đi qua là miền giới hạn bởi hai đường thẳng song song Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng đó

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song này bằng

2

4 2

 



 