001 02 04 gt12 cii mu logarit bai 1,2,3,4 bai tap trac nghiem theo dạng hdg p2 muc 9 10

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức logb aloga clogc b bằng 17 Lời giải Chọn A Đặt logc a x ,logc b y... M m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của Ploga b logb c... Giá trị

LUỸ THỪA – HÀM SỐ LUỸ THỪA – LOGARIT – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT

MỨC ĐỘ VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO

Câu 1: Cho các số thực a , b thỏa mãn a b  và 1

2020logb aloga b Giá trị của biểu thức

Do a b  nên log1 a b  , log0 b a  và log0 b aloga b

Ta có:

2020logb aloga b

Khi đó, Plogb ab loga ablogb alogb b loga a loga blogb a loga b

Suy ra: P2 logb a loga b2 logb2alog2a b 2 2018 2 2016    P 2016

Câu 2: Tìm số nguyên dương n sao cho

n n

Chọn A

log 2.log 3.log 4 log 1

log 2.log 3.log 4 log

logx w 24 logw x241

logy w 40 logw y401

.Lại do

logxyz w 12  

1

12log

w xyz

12log log log

Có f( )1 =1

, f m n( + =) f m( )+f n( )+mn

Đặt alog ;2x blog2 y c; log2z.

Câu 8: Cho ba số thực dương , , x y z theo thứ tự lập thành một cấp số nhân, đồng thời với mỗi số thực

dương a a ( ¹ 1) thì log , loga x a y, log3a z

theo thứ tự lập thành một cấp số cộng Tính giá

trị của biểu thức

1959x 2019y 60z P

Ta có: , , x y z là ba số thực dường, theo thứ tự lập thành một cấp số nhân thì y2=x z (1).

Với mỗi số thực a a ( ¹ 1),log , loga x a y, log3a z

theo thứ tự lập thành một cấp số cộng thì3

2log a y=loga x+log a zÛ 4loga y=loga x+3log (2)a z

.Thay (1) vào (2) ta được 2log a x z=loga x+3loga zÛ loga x=loga zÛ x= z

Lời giải Chọn D

log 3 2log 3 3log 3 log 3 190log 3log 3 1 2 3 190log 3

1 2 3 190

11902

n n







 (do n nguyên dương)  P2n 3 41

Câu 11: Cho x , y , z là ba số thực dương lập thành cấp số nhân; loga x , log a y

, log3a z

lập thành cấp

số cộng, với a là số thực dương khác 1 Giá trị của

9x y 3z p

x , y , z là ba số thực dương lập thành cấp số nhân nên ta có xz y 2 (1)

loga x , log a y

, log3a z

lập thành cấp số cộng nên:

3loga xlog a z2log a y  loga x3loga z4loga y  xz3 y4 (2)

Lời giải Chọn C

2

8log 256 8.log 2

A 

12018

Câu 15: Tìm bộ ba số nguyên dương ( ; ; )a b c thỏa mãn

log1 log(1 3) log(1 3 5) log(1 3 5          19) 2log 5040   a blog 2clog 3

6+3(3 +3 ) a

=2-3 -3 b với

a

b là phân số tối giản Tính P=a b

A P=10. B P=- 45 C P=- 10 D P=45

Lời giải Chọn B

Câu 19: Cho hai số thực dương ,a b thỏa log4alog6blog9a b  Tính

Đặt tlog4alog6blog9a b 

Lờigiải Chọn B

Giả sử log6 xlog9 ylog 24 x2y Ta có: t

t t t

x y

t

x y

 

   

  Lấy (1), (2) thay vào (3) ta có

Câu 21: Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn log25 2 log15 log9 4

A a b 14 B a b  3 C a b 21 D a b 34

Lờigiải Chọn D

Ta có

25 25

log 2 log

5 3

1 33log

t

x y

 Bất đẳng thức Cauchy (AM – GM)

 a b,  thì 0, a b 2 ab. Dấu " " xảy ra khi: a b .

 a b c, ,  thì 0, a b c  3.3 abc. Dấu " " xảy ra khi a b c  .

Nhiều trường hợp đánh giá dạng:

Nhiều trường hợp đánh giá dạng: a x b y.  .  (a2b2)(x2y2).

Hệ quả Nếu , ,a b c là các số thực và , , x y z là các số dương thì:

    

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

2

12

t

b a t

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 2ybằng

32

2 thuộc nửa khoảng

5

;32

t t

x

y y

x

y y

t y

y y

Để tồn tại y tức tồn tại M nên d C, 

có điểm chung, suy ra d O d ,  trong đóR

3 2

log 2 log 2

Minh họa quỹ tích điểm M như hình vẽ sau

Ta thấy có 3 giá trị x   có thể thỏa mãn là x1;x0;x 1

t t

x

y y

x

y y

t y

y y

Từ giả thiết suy ra  2 2 

Nếu

302

3

0 2

3 4 1 0 4 1 02

42

      , suy ra giá trị nhỏ nhất của P gần nhất với 3.

Câu 27: Cho các số thực ,x y thỏa mãn bất đẳng thức log4x2 9y22x 3y 1



5 104



3 104



Từ  1 và  2 suy ra giá trị lớn nhất của P là 3410 .

Câu 28: (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Cho các số thực ,a b thay đổi, thỏa mãn

1, 1.3

log a 2log 3b 9

a a

Vậy, khi P đạt giá trị nhỏ nhất thì a b  3 9 2

Câu 29: Xét các số thực dương a b c, , lớn hơn 1 ( với a b ) thỏa mãn 4 log a clogb c 25logab c

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức logb aloga clogc b bằng

17

Lời giải Chọn A

Đặt logc a x ,logc b y

Vì a b c , , 1 và a b nên suy ra logc alogc b hay xy0.

Từ giả thiết suy ra:







174

yx  

414

x y x y

y 

và x  , tức là 2 a c c b 2;  2Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho bằng 5

Cách khác

Từ giả thiết suy ra: 4 log log a b b clogb c 25.logab b.logb c

log4log log 1 25

4

a b 

.Khi đó: logb aloga clogc b 4 2 log loga c c b 4 2 loga b 5

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 5 đạt được khi và chỉ khi a b a c c b 4,  2,  2

Câu 30: Xét các số thực dương a, b , x ,y thỏa mãn a 1 , b 1 và a2x b3y a b6 6 Biết giá trị nhỏ

nhất của biểu thức P4xy2x y có dạng m n 165(với ,m n là các số tự nhiên), tính

 

S m n

Lời giải Chọn C

6 6 b

2x log a b3y log a b

2x 6 6log b3y 6 6log a

 

a b

1130log 22log log

m

m n n

T 

53

T 

Lời giải Chọn C

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: min

M m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của Ploga b logb c Giá trị của biểu thức3

S  m M bằng

Lời giải Chọn C

Biến đổi đẳng thức đề bài ta được

log log log log log 2log 1

22

x y

22

x y

Câu 36: Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn abc  Biết giá trị lớn nhất của biểu thức10

5log log 2 log log log log

Đặt

10log

x y z

Vậy

5max

2

F 

khi và chỉ khi

31

Đặt xlog ;a b ylog , ;b c x y 0 loga c xy  Ploga ab logb bc x y   x P y 

4 4

Theo bất đẳng thức Côsi với a>0,b> ta có:0

Suy ra log4a+ +5 1b (16a2+ + +b2 1) log8ab+1(4a+5b+ ³1) 2.

Đẳng thức xảy ra khi

Từ giả thiết ta có:

1

1 loglog

Câu 40: Cho dãy số  u n

có số hạng đầu u11 thỏa mãn log 522 u1log 722 u1 log 5 log 722  22

n nên giá trị nhỏ nhất của n bằng 10

Câu 41: Xét các số thực ,x y thỏa mãn log2x1log2y1 1 Khi biểu thức P2x3y đạt giá

trị nhỏ nhất thì 3x 2y a b  3 với ,a b   Tính T ab

73

T 

53

T 

Lời giải Chọn C

11

nên

53

Lời giải Chọn B

Đặt

3 5 15

2 1 log 3 log 35 15

2 2

1 log 3 log 35 1515

Câu 43: Xét các số thực dương a, b, c, x , y , z thỏa mãn a 1, b 1, c 1 và a x b y c z  abc

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

12

2P 4 loga blogb aloga clogc alogb clogc b

Vì a 1, b 1, c  nên log1 a b 0, logb c 0, logc a 0, logb a 0, logc b 0, loga c 0

Áp dụng bất đẳng thức Cô Si ta được

loga blogb a2 log loga b b a

hay loga blogb a 2Tương tự loga clogc a và log2 b clogc b 2

Do đó 2P  hay 10 P  Dấu 5 " " xảy ra khi và chỉ khi a b c 

Vậy giá trị nhỏ nhất P min 5.

Câu 44: Xét các số thực dương , , ,a b x y thỏa mãn 1, 1 a b và a x2 b y2  a b. Giá trị nhỏ nhất của

biểu thức P x y . là

A

94

P 

62

P 

32

P 

49

P 

Lời giải Chọn B

2 2

2 2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b

Câu 45: Xét các số thực dương a b x y, , , thỏa mãn a1,b1 và

2 2

a b ab Giá trị nhỏ nhất củabiểu thức Px y. là

Lời giải Chọn B

2 2

2 2

y

a x

Câu 46: Xét các số thực dương a b c x y z, , , , , thỏa mãn a1,b1,c1,y2 và a x1b y2 c z1abc

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x y z   là

Lời giải Chọn C

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ (HÀM ĐẶC TRƯNG) GIẢI CÁC BÀI TOÁN LOGARIT

1 Định lý: Nếu hàm số yf x  đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên a b; 

3 Tính chất của logarit:

1.1 So sánh hai logarit cũng cơ số:

Cho số dương a 1 và các số dương ,b c

 Khi a 1 thì loga bloga c b c

 Khi 0a1 thì loga bloga c b c

2 Logarit của một tích:

Cho 3 số dương a b b, ,1 2 với a 1, ta có

log ( ) loga b b  a b loga b

3 Logarit của một thương:

Cho 3 số dương a b b, ,1 2 với a 1, ta có

4 Logarit của lũy thừa:

Cho ,a b0, a , với mọi 1 , ta có

n



(n nguyên dương)

5 Công thức đổi cơ số:

Cho 3 số dương , ,a b c với a1,c , ta có1

loglog

log

c a

c

b b





với0

Câu 48: (Mã 101 - 2020 Lần 1) Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 728

Với mọi x   ta có x2  x

Vậy có 58 ( 57) 1 116    số nguyên x thỏa.

Câu 49: (Mã 103 - 2020 Lần 1) Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 127

số nguyên y thỏa mãn log3x2ylog2x y 

?

Lời giải Chọn D

Ta có  2     

log x y log x y 1Đặt t   x y * (do x y, ,x y 0)

Câu 50: (Mã 102 - 2020 Lần 1) Xét các số thực không âm x và y thỏa mãn 2x y.4x y 1 3

  Giá trịnhỏ nhất của biểu thức P x 2y26x4y bằng

Trường hợp 1: Nếu P 13 thì x3; y2 không thỏa  1

Do đó, trường hợp này khôngthể xảy ra

Trường hợp 2: Với P  13, ta thấy  2

là đường tròn  C

có tâm I   3; 2

và bán kính13

+) y= Þ3 log3(x+ + + =1) x 1 735Û log3(x+ + =1) x 734Û x=729

Vậy có 4 cặp số nguyên (x y; ).

Câu 52: (Mã 103 - 2020 Lần 1) Xét các số thực không âm x và y thỏa mãn 2x y.4x y 1 3

  Giá trịnhỏ nhất của biểu thức P x 2y22x4y bằng

40

Ta có: log3x2y log2x y  x2 y 3log 2 x y 

     1Đk: x y  ( do ,1 x y  , x y  )0

Đặt t x y   , nên từ 1  1  x2 x t log 3 2  t  2

Để  1 không có quá 255 nghiệm nguyên y khi và chỉ khi bất phương trình  2 có không quá

255 nghiệm nguyên dương t

Đặt M f 255 với f t tlog 3 2  t.

Vì f là hàm đồng biến trên 1, nên  2  1 t f 1x2 x

khi x2 x 0Vậy  2

có không quá 255 nghiệm nguyên f 1x2 x 255

    x2 x255

78 x 79

Vậy có 158 số nguyên x thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 54: (Mã 104 - 2020 Lần 1) Xét các số thực không âm x và y thỏa mãn 2x y .4x y 13 Giá trị

40

m a

 phải có một nghiệm a  0 1Suy ra 2 2 4



.Suy ra n 1;2

suy ra m 3;5; ;15  Suy ra có 13 cặp m n, 

Câu 57: (Mã 103 - 2020 Lần 2) Có bao nhiêu cặp số nguyên dương m n;  sao cho m n 10 và ứng

với mỗi cặp m n;  tồn tại đúng 3 số thực a   1;1 thỏa mãn 2a m nlna a21

?

Lời giải Chọn D

Suy ra phương trình có nhiều nhất 2 nghiệm, do đó m lẻ.

+ Nếu m lẻ thì hàm số g x  là hàm số lẻ và luôn đồng biến.

Ta thấy phương trình luôn có nghiệm x 0 Dựa vào tính chất đối xứng của đồ thị hàm số lẻ,suy ra phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm trên 1;1 khi có 1 nghiệm trên 0;1, hay

Quan sats BBT ta thấy f t   0 0 t 1

15

x y x y

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 5 5 2,76 gần giá trị 3 nhất

Câu 59: Có bao nhiêu cắp số nguyên dương m n,  sao cho m n 14 và ứng với mỗi cặp m n,  tồn

tại đúng ba số thực a   1;1 thỏa mãn 2a m nlna a21

?

Lời giải Chọn C

m

m x

00

x x

Câu 60: (Mã 104 - 2020 Lần 2) Có bao nhiêu cặp số nguyên dương ( , )m n sao cho m n 12và ứng

với mỗi cặp ( , )m n tồn tại đúng 3 số thực a  ( 1,1) thỏa mãn 2a m nln(a a21)?

Lời giải Chọn D

Xét hàm

2( ) m

n



trên ( 1,1)

Với m chẵn, g a( ) là hàm chẵn và g a( ) 0,  a R, do đó (*) không thể có 3 nghiệm.

Với m lẻ, g a( ) là hàm lẻ, đồng biến trên R và tiếp tuyến của đồ thị tại điểm a 0 là đường thẳng y 0

Dễ thấy (*) có nghiệm a   0 ( 1;1) Để (*) có đúng 3 nghiệm tức là còn có 2 nghiệm nữa là

Ta có: 2x2 y2  1 x2 y2 2x 2 4 x 2x2  2x  1 y2 x2 2x 1 y2 1

.Đặt tx2 2x 1 y2  t Khi đó ta có 20 t   , t 1  t 0

Khi đó tập hợp các điểm M x y ;  là một hình tròn  S tâm I1;0, bán kính R  1

x y

P

Lời giải Chọn A

Với x y, dương và kết hợp với điều kiện của biểu thức

y ta được  

30

B min

2 10 12

C min

2 10 32

D min

2 10 52

Lời giải Chọn C

x 

Lập bảng biến thiên ta được max f x  f  1 0

Câu 65: Cho các số thực ,x y thỏa mãn 0 ,x y và 1 log31  1  1 2 0

đạt giá trịlớn nhất khi b a k. Khẳng định nào sau đây là sai

A k 2;3 . B k 0;1. C k 0;1. D

30;

2



P 9

2

Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại

1.2

t 

Với

3 4



C

134



D

1744

Lời giải Chọn B

6 54

6 54(58 6 ) 100.(1 ) 0 64 896 3264 0

25

Suy ra

132



a b

Câu 68: Cho a,b là các số dương thỏa mãn b 1 và a b a  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3

14

+

- 0

32

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng 5

Câu 69: Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn 5

B min

4 3 43

C min

4 3 49

D min

4 3 49

P 

D min

172

1

y x

12

Câu 72: Cho ,x y là các số thực dương thỏa mãn 2019 201 2  

2

log xlog ylog x y

Gọi T là giámin

trị nhỏ nhất của biểu thức T 2x y Mệnh đề nào dưới đây đúng?

x y x x

Do đó: Tmin  4 2 3

Câu 73: (Mã 105 2017) Xét hàm số  

 2

99

t t

Lời giải Chọn D

, khi đó t 1; 

1

t P t





 với t 1; , ta có   

2 2

1

2 3

; 0

31

t

t t

Suy ra, giá trị nhỏ nhất của P bằng 6 khi t 3 hay x3y

Câu 75: Xét các số thực dương ,x y thỏa mãn    

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 1.

Câu 78: Cho ,x y là các số thực dương thỏa mãn 3

4log x y 2x y 1

A

1

1

3

Lời giải Chọn D

4log x y 2x y 1 log (x 4 ) (x 4 y) log 3(y x y) 3(x y)

Dấu " " xảy ra  x1.Vậy P Min 2.

Câu 79: Xét các số thực dương a b x y, , , thỏa mãn a1,b1 và a x2 b y2 ab2 Giá trị nhỏ nhất của

biểu thức P2 2x y thuộc tập hợp nào dưới đây?

Ta có: x2  2 2 log  2 2 1 log  2 2log

Bảng biến thiên của hàm số f t 

A Pmin 16. B min

332

P 

C P min 11 2. D min

312

P 

Lời giải Chọn A

Từ đề bàixy x y  2

2 2

1

y x

23

3

f  

 

Vậy P min 16 khi x 163 .

Câu 81: Cho hai số thực dương ,x y thỏa mãn log2x x x y    log 62  y6x Giá trị nhỏ nhất của

biểu thức T x33y là

Lời giải Chọn A

Từ bảng biến thiên suy ra T g x g 1 16

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Điều kiện 1 ab0 ab 1

A 2 2 3 B 2 3 2 C 3 3 D 9

Lời giải Chọn A

Với x0;y0. Ta có:

log log 1 log 2 1

2 2 2

21

x x

y x

.1

m x

x y

2

20212020



Lời giải Chọn D

Ta có

2 1

2

20212020

12 60 27 0

9(loai)2



m

.Vậy nên M m. 3

Câu 86: Xét các số thực dương x y thỏa mãn  

P 

25 24

P 

Lời giải Chọn C

231

231;

2

y y

Từ bảng biến thiên suy ra   3 9

9

1 2

y y x y

Lời giải Chọn C

3

Do đó 3x2y3

Câu 88: Cho ,x y là các số dương thỏa mãn logx2y log x log y

Khi đó, giá trị nhỏ nhất của

Ta có: logx2y log x log y  logx2y log xy  x2yxy

Mặt khác: xy x 2y2 2xy  xy2  8xy  0 xy8

Áp dụng bất đẳng thức cauchy- Swat ta có:

4

0, 82

min(x y ) min u4

420

x y xy

14

116

18

2

116

S 

12

2

a b c

a b c

4 9

log 23

0

3

t t

t y

x

y y

Vậy có một cặp nguyên dương thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 93: Có bao nhiêu số nguyên sao cho tồn tại số nguyên thỏa mãn

Do nguyên nên ta có và nên

Câu 94: Có bao nhiêu cặp số nguyên dương thoả mãn và

Lời giải Chọn D

Theo đề bài,

Do nên , với mỗi giá trị cho ta 1 giá trị thoả đề

Vậy có cặp số nguyên thoả mãn đề bài

Câu 95: Có bao nhiêu số nguyên sao cho tồn tại số thực thỏa mãn

Lời giải Chọn C

t t

nên phương trình có nghiệm

Do đó với thì tồn tại số thực thỏa mãn

t

t

t t

t t

Ta có: nên phương trình vô nghiệm.

Do đó với thì không tồn tại số thực thỏa mãn

t t

t t

Vậy giá trị nhỏ nhất của bằng



