Dang bai tap diem dac biet cua do thi ham so fhiiu

ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I Phương pháp giải Điểm đặc biệt của họ đồ thị     m C y f x m , 1) Điểm      ; , A A m A A A x y C y f x m   Nếu ta coi  , 0 A A f x m y  là phương t[.]

ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

I Phương pháp giải

Điểm đặc biệt của họ đồ thị:  C m : y f x m  ,

1) Điểm A x y A; A   C m y A  f x m A, .

Nếu ta coi f x m A, y A  0 là phương trình theo ẩn m thì số giá trị tham số m là số đồ thị

đi qua điểm A

2) Điểm cố định của họ là điểm mà mọi đồ thị đều đi qua:

M x y  C  m y  f x m m

3) Điểm mà họ không đi qua là điểm mà không có đồ thị nào của họ đi qua với mọi tham số:

M x y  C  m y  f x m m

Nhóm theo tham số và áp dụng các mệnh đề sau:

2

2

hoặc A   0, B2 4AC 0

II Ví dụ minh họa

Bài toán 1 Tìm điểm cố định của các đồ thị y x 3mx2 x m.

Giải Gọi M x y 0 ; 0 là toạ độ điểm mà đồ thị đi qua m.

0

2

0

3

0

1, 0 1,

1

0

x x

y x

Vậy đồ thị có hai điểm cố định M 1;0 và M' 1;0  

Bài toán 2 Tìm điểm cố định của các đồ thị 2 2 2 6 5

2

y

x



Giải Gọi M x y 0 ; 0 là toạ độ điểm mà đồ thị đi qua m.

Ta có 2  

0

0

, 2

m

y

x



0

0

, 2

y



0 2

0 0

0

3

2

x

y

x

 





Vậy M 3;2 là điểm cố định của các đồ thị

Bài toán 3 Tìm điểm cố định của các đường thẳng qua CĐ, CT của đồ thị:

y mx  mx  m x m

Giải

2

y  y   x  nên đường thẳng qua CĐ, CT là

Từ đó suy ra đường thẳng đi qua CĐ, CT qua điểm cố định 1 ;3

2

A 

 

Bài toán 4 Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y mx  2m 4 luôn đi qua một điểm cố định của đường cong  C : y x 3  3x2  x 2.

Giải

Ta có y mx  2m  4 m x   2 4.

Với mọi giá trị của m, đường thẳng đã cho luôn đi qua điểm cố định A2; 4  

Vì toạ độ của điểm A thoả mãn phương trình

y x  x  x nên A thuộc  C : đpcm

Bài toán 5 Chứng minh các đồ thị y 1 m x 3  3 1 m x 2  4mx m luôn đi qua 3 điểm cố định thẳng hàng

Giải Gọi M x y 0 ; 0 là điểm cố định của các đồ thị:

   

 

 

0

0

y





 





Ta chứng minh (1) có 3 nghiệm phân biệt

Xét hàm số f x x3  3x2  4x 1 thì f liên tục trên , ta có

 6 85 0,  1 5 0, 0  1 0, 2  11 0

3 khoảng   6; 1 , 1;0 , 0;2     

Từ (1) x03 3x02  4x0 1 nên (2) y0  4x0 1.

Vậy 3 điểm cố định thẳng hàng trên đường thẳng y 4x 1.

Bài toán 6 Chứng minh các đồ thị hàm số  1

, 0

x m

 luôn tiếp xúc với 1

đường cố định tại một điểm cố định

Giải

Gọi M x y 0 ; 0 là điểm cố định:   0

0

0

1

 

0

0, ' 0 1.

Ta có

2 2

x m



Vậy các đồ thị luôn luôn tiếp xúc nhau tại điểm cố định M0; 1 ,   có tiếp tuyến chung

1.

y  x

Bài toán 7 Tìm những điểm mà mọi đồ thị 9

9

mx y x





 không đi qua

Giải Gọi M x y 0 ; 0là các điểm mà mọi đồ thị không đi qua:

0

0

9

,

mx



Vậy tập hợp các điểm cần tìm là 2 đường thẳng: x 9 và x 0, bỏ điểm A0; 1  

Bài toán 8 Tìm các điểm trên đường thẳng d x:  1 mà các đồ thị

 

y x  mx  m  x m  m không đi qua

Giải Gọi M 1;y d là điểm cần tìm:

2

13

3

Vây các điểm cần tìm là M 1;y với 13

3

y 

Bài toán 9 Cho hàm số 1 3 2 2 7 16 

6

y x  x  x Tìm trên đồ thị hàm số các điểm có toạ

độ đều là số nguyên

Giải Chuyển hệ trục đến gốc I 1;2 với I là điểm uốn

Hàm số 1 3 2 2 7 16

6

y x  x  x thành:   1 2 5

6

Y f X  X X Điều kiện X Y Z,  thì phải có: X X2  5 chia hết cho 6 vì X X2  5 chia hết cho 2, nên chỉ cần xét X X2  5chia cho 3

Với X 3K hoặc X  3K 1 K Z  thì X X2  5 chia hết cho 3

Với X  3K 2 K Z  thì X X2  5 không chia hết cho 3

Vậy có vô số điểm trên đồ thị có toạ độ nguyên là các điểm có hoành độ thoả:

3 1, 3 2

x k x k với k