Toan 8 yen lap (22 23)

Cho tam giác ABC có diện tích bằng 1đvdt.. Một đường thẳng qua C cắt cạnh AB, AD kéo dài tại E, F ta có hệ thức đúng là: A.. Cho tam giác ABC vuông tại A , biết đường cao AH chia tam gi

Môn: Toán Ngày thi: 25/4/2023

Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề

I PHẦN TRẮC NGHIỆM (8,0 điểm)

Hãy chọn các phương án trả lời đúng (chỉ có một phương án đúng) rồi ghi vào bài làm.

(2023)

P bằng:

Câu 2 Cho các số a, b thỏa mãn 0 a 2b và 3a2 12b2 20ab Giá trị biểu thức

2

2

a b

A

a b





 bằng:

A.

1

3



B.

1

1 2



D.

1 2

Câu 3 Kết quả phép tính: (502 482  4 2 2 ) (492  2 472  3 2 1 )2 bằng:

Câu 4 Biết 2

3

1 5

x

x x





  Giá trị của biểu thức

2

x

x x  bằng:

A.

9

9

9

3 11

Câu 5 Biết biểu thức M x2 5y2  4xy 10y2x2023 đạt giá trị nhỏ nhất tại

x x y y khi đó tích x y0 0 bằng:

Câu 6 Số nghiệm của phương trình: (x1)(x2)(x4)(x5) 40 là:

Câu 7 Biết phương trình 2x 5  2x2023 2028 có nghiệm nguyên lớn nhất, nhỏ nhất lần lượt là ,a b Giá trị biểu thức ab bằng:

Câu 8 Biết đa thức x4 ax3b chia hết cho đa thức x 2 1 Khi đó a b có giá trị là:

P(x)= x  2024x 2024x  2024 x2022

Câu 9 Tổng tất cả các số nguyên âm xthỏa mãn:

3

x x x

là:

Câu 10 Cho tam giác ABC biết A  , phân giác góc B, C cắt nhau tại I Khẳng định đúng là:

A.

 900

2

BIC   

B.

 900

2

BIC  

C.

 450

2

BIC   

D.

 450

2

BIC  

Câu 11 Cho tam giác ABC có diện tích bằng 1(đvdt) Các điểm D, E, F thuộc cạnh BC,

CA, AB sao cho

1 3

DB EC FA

DC EA FB  .Tam giác taọ bởi các đường thẳng AD, BE, CF

có diện tích là:

A.

1

1

1

1 8

Câu 12 Cho tam giác ABC cân tại A,BC a AC b ,  . Vẽ các đường phân giácBD CE, . Đáp án nào đúng?

A.

4( )

DE

a b





3 2(2 )

ab DE

a b



3 2( 2 )

ab DE

a b



ab DE

a b





Câu 13 Cho hình thoi ABCD Một đường thẳng qua C cắt cạnh AB, AD (kéo dài) tại

E, F ta có hệ thức đúng là:

A.

AE  AF BD

C.

AE  AF AB

Câu 14 Cho tam giác ABC vuông tại A , biết đường cao AH chia tam giác đó thành

hai tam giác AHB và AHC có chu vi theo thứ tự bằng 18 cm và 24 cm.Chu vi của tam giác ABC bằng:

Câu 15 Cho tam giác ABC , đường trung tuyến AD Lấy điểm O nằm giữa A và D Qua

O vẽ đường thẳng d cắt các tia AB AC, tạiE F, Biết BE CF 1

AE  AF  Khẳng định nào

đúng?

A.OA OD B.OA2OD

C.

3 2

OA OD

D.

5 2

OA OD

Câu 16 Một ô tô phải đi từ A đến B trong một thời gian dự định Sau khi đi được nửa

quãng đường thi ô tô tăng vận tốc thêm 20%, do đó đến B sớm hơn dự định 10 phút Thời gian ô tô đã đi từ A đến B theo dự định là:

A.60 phút B.90 phút C.100 phút D.120 phút

II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm).

Câu 1 (3,0 điểm)

a) Tìm các số ,x y N * thỏa mãn A x 4 4y4 là số nguyên tố

b) cho n là số nguyên dương thỏa mãn 2n  và 31 n  là các số chính phương Chứng1 minh rằng n chia hết cho 40

Câu 2 (3,5 điểm)

a) Giải phương trình: 4x2  4x 5 2x 1 5 0 

b) Cho các số a b c, , thỏa mãn ab bc ca   1

Chứng minh rằng : 2 2 2 0

a b b c c a

Câu 3 (4,5 điểm) Cho đoạn thẳng AB 2a cố định Trên đường thẳng d vuông góc với AB tại B, lấy điểm C, D bất kì sao cho CAD  900, Kẻ BE, BF lần lượt vuông góc

AC, AD tại E, F Chứng minh rằng:

a) EF AB và AE AC AF AD.  .

b) Gọi O, M lần lượt là trung điểm AB, CD Đường trung trực EF và CD cắt nhau

tại I Chứng minh MOBI là hình bình hành

c) Tìm vị trí của C trên d để diện tích tam giác ACD nhỏ nhất Tính diện tích nhỏ

nhất đó theo a

Câu 4 (1,0 điểm) Cho các số dương a b c, , thỏa mãn a2 b2 c2  1

Chứng minh rằng: 1

bc  ca ab 

-HẾT - Lưu ý: Học sinh được sử dụng máy tính cầm tay

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!

HƯỚNG DẪN CHẤM

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ LỚP 8

Năm học: 2022 – 2023 MÔN: TOÁN (Hướng dẫn chấm này có 04 trang)

A.Trắc nghiêm ( mỗi câu đúng 0.5 điểm)

B.Tự luận.

Câu 1 (3,0 điểm)

a) Tìm các số ,x y N * thỏa mãn A x 4 4y4 là số nguyên tố

b) cho n là số nguyên dương thỏa mãn 2n  và 31 n  là các số chính phương Chứng1 minh rằng n chia hết cho 40

Câ

u 1

a) Ta có:

2

(2 ) (2 )

    

Để A là số nguyên tố thì: x2 2y2  2xy 1

0

1 1( / )

x y

do x y N y

 







Vậy :x y 1

0.5đ

0.5đ

0.5đ

b) Đặt: 2n 1 p2,3n 1 q p q2( , 3)

+) 2n 1 p2 p là số lẻ

Do đó : 2np2 1 ( p 1)(p 1) 8 ( tích hai số chẵn liên tiếp)

n

 là số chẵn

Mà 3n 1 q2 q2là số lẻ  q là số lẻ

Ta có :n q 2  p2 (q2  1) ( p2  1)

(q 1)(q1) ( p 1)(p 1) 8

8 (1)

n

 

+) Mặt khác: p2 q2 5n2 chia 5 dư 2

0.5đ

0.5đ

2n 1 p , 3n 1 q

     chia 5 dư 1

2 5, 3 5n n n 5 (2)

Từ (1) và (2)  đpcm

0.5đ

Câu 2 (3,5 điểm)

a) Giải phương trình: 4x2  4x 5 2x 1 5 0 

b) Cho các số a b c, , thỏa mãn ab bc ca   1

Chứng minh rằng : 2 2 2 0

a b b c c a

Câ

u 2 +) Với 1

2

x 

Ta được: 4x2  4x 5(2x1) 5 0 

 4x2 14x 0 2 (x x 7) 0

0 ( ) 7 ( / ) 2









 



+) Với

1 2

x 

Ta được: 4x2  4x5(2x 1) 5 0 

 4x2 6x 10 0

( 1)(2 5) 0

1 ( ) 5 ( / ) 2









 

Vậy:

:

x x

0.25đ

0.5đ 0.25đ

0.5đ

Ta có: 1a2 ab bc ca a   2 (a b a c )(  ).

Tương tự:

b ab bc ca b b a b c

c ab bc ca c c a c b

2

c c a c b c a c b c b c a

Tương tự:

0.75đ

0.75đ

2

;

0

P

 đpcm

0.5đ

Câu 3: (4,5 điểm) Cho đoạn thẳng AB 2a cố định Trên đường thẳng d vuông góc với AB tại B, lấy điểm C, D bất kì sao cho CAD  900, Kẻ BE, BF lần lượt vuông góc

AC, AD tại E, F Chứng minh rằng:

d) EF AB và AE AC AF AD 

e) Gọi O, M lần lượt là trung điểm AB, CD Đường trung trực EF và CD cắt nhau

tại I Chứng minh MOBI là hình bình hành

f) Tìm vị trí của C trên d để diện tích tam giác ACD nhỏ nhất Tính diện tích nhỏ

nhất đó theo a

a) Xét tứ giác AEBF có:A E F  900(gt) 0.5đ

 là hình chữ nhật EF AB dpcm( )

Ta có:

2

ΔAEB ΔABC g g( ) AE AB AE AC AB

AB AC



Tương tự: AF AD AB  2

AE AC AF AD dpcm

0.5đ

0.5đ b) Ta có:AE AC AF AD 

 

Δ Δ ( )

AE AD

AEF ADC c g c E D

AF AC

Mặt khác:

 

1

2

MA MC  CD  AMC cân A C

AM EF

Vì O là trung điểm AB nên O là trung điểm EF OI EF

/ /

AM OI

/ /

MI CD

MI AB

AB CD

 





 

AOIM

 là hình bình hành OBIM là hình bình hành (đpcm)

0.5đ

0.5đ 0.5đ

c) Ta có

2

ΔABC ΔDBA g g( ) AB BD BC BD AB

BC AB



Mà: Δ

ACD

S  AB CD AB BD BC  AB BD BC

2

Vậy MinSΔACD 4a2 khi C cách B khoảng 2a

0.5đ

0.5đ 0.5đ

Câu 4 (1,0 điểm) Cho các số dương a b c, , thỏa mãn a2 b2 c2  1

Chứng minh rằng: 1

bc  ca ab 

Ta có:

2

1

Mà:

Vì: a3 3a 2 (a 1) (2 a2) 0  3a a 3 2

3

3

1 2

a a

2

a

bc a abc

Tương tự:

0.5đ

Cộng vế:

1

a b c

bc  ca  ab   

0.5đ

*) HS làm cách khác vẫn cho điểm tối đa