Toan 8 yen lap (21 22)

Giá trị của a bằng:5... Hãy xác định vị trí của M, N trên d để tứ giác CDEF có diện tích nhỏ nhất và tính diện tích nhỏ nhất đó theo a.. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm./... Hãy

PHÒNG GD&ĐT YÊN LÂP

(Đề có 03 trang)

ĐỀ THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 8

Năm học: 2021 - 2022 Môn: Toán

Thời gian 120 phút không kể thời gian giao đề

I TRẮC NGHIỆM ( 8điểm) Em hãy chọn đáp án đúng rồi ghi vào bài làm ( Mỗi câu chỉ có một đáp án đúng)

Câu 1: Giá trị của biểu thức x7  26x6 27x5  47x4  77x350x2  x 24 tại x = 25 là:

24

Câu 2:Thu gọn biểu thức (2x3)2 (5 2 ) x 2 (4x6)(5 2 ) x ta được kết quả

2

.(4 8)

Câu 3: Cho f x( ) 10 x2  7x a chia hết 2x  Giá trị của a bằng:5

45

Câu 4: Các số a, b thỏa mãn: 2

a b 32x 19

x 1 x 2 x x 2



    (x1;x  ) khi đó 2a b2  bằng 13

Câu 5: Cho b a  thỏa mãn 0 3a2 3b2 10ab giá tri của biểu thức

a b P

a b





 là:

1

2

4

2

4

D 

Câu 6: Nghiệm của phương trình x2x3x 100 x 12 22 32  100 2là : 63

Câu 7 : Cho x  Giá trị nhỏ nhất 3

16 3

P x

x

 

 bằng : 8

Câu 8 : Số nghiệm của phương trình : x 5  x3 3 x 1là :

A Vô nghiêm B Có 1 nghiệm C Có 2 nghiệm D Vô số nghiệm

Câu 9 : Tam giác ABC vuông cân tại A Cạnh AB = a, gọi G là trọng tâm Tam giác

ABC, độ dài AG ( Tính theo a) bằng :

2

3

a

3

a D

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 10: Tam giác ABC vuông tại A, AB5,BC 13.Phân giác góc B cắt AC tại D,

khi đó độ dài DC DA là

13

3

3

3

3

D

Câu 11: Hình thang ABCD (AB CD Gọi O là giao điểm hai đường chéo Biết/ / )

S  cm S  cm Diện tích ABCD bằng:

2

.360

Câu 12: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết rằng đường cao AH chia tam giác đó

thành hai tam giác AHB và AHC có chu vi theo thứ tự bằng 18cm và 24cm Độ dài AH bằng:

.4,8

Câu 13: Tứ giác ABCD có ADC80 ;0 BCD 500.Gọi M, P, N,lần lượt là trung điểm của AB, AC, CD Số đo MPN bằng:

0

.80

Câu 14:Tam giác ABC, điểm D, E thuộc cạnh BC, AC thỏa mãn :

2BD DC CE EA ;3  , AD cắt BE tại H, CH cắt AB tại F ta có

FB

FA bằng:

1

5

6

3

8

D

Câu 15: Người ta đổ 100 l nước vào bình hình lăng trụ đứng tam giác đều cạnh 0.5m,

Chiều cao của mực nước dâng lên gần bằng ( làm tròn đến hàng đơn vị):

.46

Câu 16: Cách đây 4 năm tuổi mẹ gấp 5 lần tuổi con Sau đây 2 năm tuổi mẹ gấp 3 lần

tuổi con Tổng số tuổi hiện tại của 2 mẹ con là:

.40

II TỰ LUẬN (12điểm)

Câu 1(3điểm):

a) Cho a, b, c là các số nguyên thỏa mãn: a b c  0

CMR: a5 b5 c530

b) Cho ,x y là số hữu tỉ khác 1 thỏa mãn

1 2 1 2

1

Chứng minh M x2 y2  xylà bình phương của một số hữu tỷ

Câu 2(3,5điểm)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P a 3 b3c3 3abc

Áp dụng: biết

1 1 1

0(xyz 0)

x  y  z   Tính: 2 2 2

yz xz xy Q

b) Giải phương trình:(x2 x)2 2(x2 x) 10 0 

Câu 3:(4,5điểm) Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằnga Một đường thẳng d vuông góc

AB tại B Hai điểm M, N di chuyển trên đường thẳng d sao cho MAN  900 Kẻ

;

BC AM BDAN ( C thuộc AM, D thuộc AN) Chứng minh rằng

a) AMN ADC

b) Chứng minh 2 2 2

AM  AN AB c) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BN; BM Hãy xác định vị trí của M, N trên d

để tứ giác CDEF có diện tích nhỏ nhất và tính diện tích nhỏ nhất đó theo a

Câu 4:(1điểm) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x y z   3

Chứng minh rằng: x3  y3z3 x2 y2 z2

………HẾT………

 Lưu ý: Học sinh được sử dụng máy tính cầm tay

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm./

PHÒNG GD&ĐT YÊN LÂP HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN

Năm học: 2021 - 2022

A.TRẮC NGHIÊM (8điểm) ( mỗi câu đúng được 0,5đ)

B.TỰ LUẬN (12điểm)

Câu 1(3điểm):

a) Cho a, b, c là các số nguyên thỏa mãn: a b c  0

CMR: a5 b5 c530

b) Cho ,x y là số hữu tỉ khác 1 thỏa mãn

1 2 1 2

1

Chứng minh M x2  y2  xylà bình phương của một số hữu tỷ

1a Ta có:

a b c a b c  a b c  a  a  b  b  c  c

Mà: a5  a a a (  1)(a1)(a2 1)a a(  1)(a1) ( a2  4) 5 

a a(  1)a1 a 1 ( a2) 5 ( a a 1)a1

Do: tích 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6

tích 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 30

5 30

Tương tự: b5  b 30; c5  c 30

        a5 b5 c5 (đpcm)30

0,25đ

0,5đ

0,5đ

0,25đ

1b

Do:

1 2 1 2

          x2  y2  xy(x y  1)2

( đpcm)

0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ

Câu 2(3,5điểm)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P a 3b3 c3  3abc

Áp dụng: biết

1 1 1

0(xyz 0)

x  y  z   Tính: 2 2 2

yz xz xy Q

b) Giải phương trình:(x2x)2 2(x2 x) 10 0 

2a P a 3b3c3 3abc a 3 b33a b2 3ab2 c3  (3abc3a b2 3ab2)

2 2 2

a b c a b c ab bc ca

Ấp dụng:

Nhận xét : a b c   thì 0 a3 b3 c3 3abc

0

x  y  z   x  y  z xyz

Do đó:

yz xz xy xyz xyz xyz Q

3 3 3

0,25đ 0,25đ 0,25đ

0,25đ

0,25đ 0,25đ

0,5đ

2b

Đặt

4

x  x t t

Ta được: t2 2t 10 0

(t 2)(t 5) 0 t 3

      (do

1 4

t

) Với t  2 x2 x 2 0  x hoặc 1 x 2

Vậy : x1;x2

0,25đ

0,25đ 0,5đ

Câu 3:(4,5điểm) Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằnga Một đường thẳng d vuông góc

AB tại B Hai điểm M, N di chuyển trên đường thẳng d sao cho MAN  900 Kẻ

;

BC AM BDAN ( C thuộc AM, D thuộc AN) Chứng minh rằng

a) AMN ADC

b) Chứng minh 2 2 2

AM  AN AB

c) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BN; BM Hãy xác định vị trí của M, N trên

d để tứ giác CDEF có diện tích nhỏ nhất và tính diện tích nhỏ nhất đó theo a

3a Xét tứ giác ACBD có:A C D   900  ACBD là hình chữ nhật

Gọi O là tâm hình chữ nhật ACBD ta có:OC OA  C1 A1(*)

Mà:

 

 

 

0

1 2

1 0

2

90 90





Từ: (*) và (**) C1 N  ACDANM g g(  )( đpcm)

0,5đ 0,5đ

0,5đ

3b

Ta có:



Mà:

2 2

Mặt khác: MN AB AM AN.  . ( 2 S AMN)

2

0,5đ 0,5đ 0,5đ

3c

Do: ODE OBE c c c(   ) ODE OBE  900 DEDC

Tương tự:CF CD

/ /

DE CF  CDEF là hình thang vuông

1

2

CDEF

mà CD AB a DE CF  ;  EF( t/c trung tuyến)

1 2

CDEF

Mà: EF CD AB a   ( đường xiên – hình chiếu)

2

1

CDEF

a

Vậy Min

2

2

CDEF

a

khi

1 EF=

2

AB CD  MN  AMN

vuông cân

tại A hay M, N cách B khoảng 2

a

0,5đ

0,5đ

0,5đ

4 Câu 4:(1điểm) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x y z   3

CMR:

x  y z x  y z

Ta có:

1

2

3 3 3 3 (*)

Áp dụng BDT(*) ta được: x3 x3 13 3x2 2x3  1 3x2

Tương tự: 2y3  1 3y2;2z3  1 3z2

Cộng vế:

3 3 3 3 2( 2 2 2)(*)

x y z   x  y z

do x y z  x y z    x  y z 

Kết hợp (*)

Dấu = khi x = y = z = 1

0,5đ

0,5đ

Lưu ý: Nếu học sinh làm cách khác, tổ chấm thống nhất cho điểm Học sinh không vẽ

hình hoặc vẽ sai không tính điểm