101 đề hsg toán 8 yên dũng 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN YÊN DŨNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA TOÁN 8 – NĂM HỌC 2022 2023 Bài 1 (5,0 điểm) 1) Cho biểu thức a) Rút gọn M b) Tìm giá trị nguyên của để M nhận giá trị nguyên[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN YÊN DŨNG

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA

TOÁN 8 – NĂM HỌC 2022-2023 Bài 1 (5,0 điểm)

1) Cho biểu thức

3

0

2

x

x





a) Rút gọn M

b) Tìm giá trị nguyên của xđể M nhận giá trị nguyên

2) Cho a3 3ab2 5và b3 3a b2 10.Tính S 2020a22020b2

Bài 2 (4,0 điểm)

1) Tìm số tự nhiên nđể giá trị của biểu thức n3 2n2 2n 4 là số nguyên tố

2) Chứng minh rằng n n3( 2 7) 36 nchia hết cho 5040với mọi số tự nhiên n

Bài 3 (4,0 điểm)

1) Tìm các số nguyên x y, thỏa mãn x33x x y 2 2y5

2) Tìm số dư trong phép chia x3 x5 x7 x92035cho x212x30

Bài 4 (6,0 điểm) Cho tam giác ABCvuông cân tại A, E là điểm thuộc cạnh AB E( khác A

và B) Ở phía ngoài tam giác ABCvẽ hình vuông AEDQ Đường thẳng QEcắt BC tại I 1) Chứng minh CEvuông góc với BQ

2) Gọi K là điểm đối xứng với D qua I Tính diện tích tứ giác ACKBbiết AB8cm 3) Gọi S là giao điểm của CEvới QB Chứng minh ba điểm D S I, , thẳng hàng

Bài 5 (1,0 điểm)

Cho hai số dương x y, thỏa mãn x y 1

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2

A

x y xy



ĐÁP ÁN Bài 1 (5,0 điểm)

3) Cho biểu thức

3

0

2

x

x





c) Rút gọn M

Điều kiện x0;x2

3

0

2

:

x

x





d) Tìm giá trị nguyên của xđể M nhận giá trị nguyên

Để M nhận giá trị nguyên thì    

3( ) 1

1( ) 2

x tm

x tm x





Vậy với x 1;3 thì M nhận giá trị nguyên

4) Cho a3 3ab2 5và b3 3a b2 10.Tính S2020a22020b2 Ta có :

2

2

3

2 2

2020 2020.5 10100

Bài 2 (4,0 điểm)

3) Tìm số tự nhiên nđể giá trị của biểu thức n3 2n22n 4 là số nguyên tố

Ta có n3 2n2 2n 4 n2 2 n 2

Với n là số tự nhiên ta có n  2 2 2

Để giá trị của biểu thức n3 2n2 2n 4là số nguyên tố thì n 2 1  n3

Thử lại n 3thỏa mãn bài toán

4) Chứng minh rằng n n3( 2 7) 36 nchia hết cho 5040với mọi số tự nhiên n

Lập luận để chỉ ra tích của 7 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 5040

Bài 3 (4,0 điểm)

3) Tìm các số nguyên x y, thỏa mãn x33x x y 2 2y5

Ta có :

3

5 2

x

x







Xét các trường hợp ta được các cặp số nguyên x y  ;    1;3 ; 5;5   

4) Tìm số dư trong phép chia x3 x5 x7 x92035cho x2 12x 30

Ta có :

12 27 12 35 2035

Đặt x2 12x30t x,  3 x5 x7 x92035

t 3 t 5 2035 t2 2 15 2035t t t 2 2020

Do đó x 3 x 5 x 7 x 9 2035 x2  12x 30 x2  12x 32 2020

Vậy số dư trong phép chia x3 x5 x7 x92035cho x212x30là 2020

Bài 4 (6,0 điểm) Cho tam giác ABCvuông cân tại A, E là điểm thuộc cạnh AB E( khác A và B) Ở phía ngoài tam giác ABCvẽ hình vuông AEDQ Đường thẳng QE cắt BC tại I

K

S

I

Q

D

C

B

A

E

4) Chứng minh CEvuông góc với BQ

Xét tam giác QICcó CQ45  QICvuông tại I

Chứng minh được E là trực tâm của tam giác QBC

Suy ra CEBQ

5) Gọi K là điểm đối xứng với D qua I Tính diện tích tứ giác ACKBbiết

8

AB cm

Gọi O là giao điểm của QEvới AD P, là giao điểm của AKvới BC

Lập luận được IO AK/ / mà QEDA AK DA

Vì DAE45  PAB45

Suy ra AP là đường phân giác của tam giác cân ABC

Suy ra Plà trung điểm của đoạn thẳng BC

Xét tam giác AKDcó I là trung điểm của đoạn thẳng DK

Lập luận được IP AD/ / (vì cùng vuông góc với AK)

Suy ra P là trung điểm của đoạn thẳng AK

Lập luận được ACKBlà hình vuông Suy ra diện tích của ACKBbằng 64cm2

6) Gọi S là giao điểm của CEvới QB Chứng minh ba điểm D S I, , thẳng hàng

O

P

K I

S

C Q

D

B

A

E

Lập luận được SOlà trung tuyến của tam giác vuông ESQ

Do đó tam giác ASDvuông tại S Suy ra DSA90 Chứng minh tương tự KSA90

90 90 180

DSA KSA

         

Suy ra ba điểm D S I, , thẳng hàng

Bài 5 (1,0 điểm)

Cho hai số dương x y, thỏa mãn x y 1

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2

A

x y xy



Vì a b , 0ta chứng minh được

1 1 4

a b a b

2 2

A

 2 

1

x y  xy x y  xy  x y

Mà

2

4

x y xy

Từ (1) và (2) suy ra      

2

A

Vậy Min A10 x y 0,5