098 đề hsg toán 8 yên định 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN ĐỊNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 2022 2023 Bài 1 (4,0 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức b) Tìm để P có giá trị nguyên c) Tìm để Bài 2 (4,0 điểm) a)[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN ĐỊNH

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8 _ NĂM HỌC 2022-2023

Bài 1.(4,0 điểm) Cho biểu thức 2 2

1 :

P

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm x Z để P có giá trị nguyên

c) Tìm xđể P 1

Bài 2 (4,0 điểm)

b) Cho a b c  2019và

2019

M

Bài 3 (4,0 điểm)

a) Tìm số tự nhiên nđể n 2 8236

là số nguyên tố b) Tìm các số nguyên x y, thỏa mãn y22xy 3x 2 0

Bài 4 (6,0 điểm) Cho O là trung điểm đoạn thẳng AB.Trên cùng một nửa mặt phẳng có

bờ là cạnh ABvẽ tia Ax By, vuông góc với AB.Trên tia Axlấy điểm C (khác A), kẻ đường trung tuyến BDvà đường cao AM của ABC.Đường thẳng DM cắt Bytại E

a) Chứng minh MC MB MA  2và DOEvuông

b) Kẻ MHvuông góc với ABtại H Gọi Ilà giao điểm của MHvới BD.Chứng minh

, ,

c) Gọi P Q, lần lượt là điểm đối xứng của Hqua AM và BM Tìm vị trí điểm Cđể diện tích APEBlớn nhất

Bài 5 (2,0 điểm) Cho ba số thực dương a b c, , thỏa mãn  

2

a b c  a b c  

Chứng minh rằng      

3

ĐÁP ÁN

Bài 1.(4,0 điểm) Cho biểu thức 2 2

1 :

P

d) Rút gọn biểu thức P

1 0;

a P



e) Tìm x Z để P có giá trị nguyên

Ta có :

2

x P

Pnguyên  x1U  2    1; 2 x2;0;3; 1 

Kết hợp với ĐKXĐ ta có x 2;3

Vậy với x 2;3 thì P nguyên

f) Tìm xđể P 1

P

x

    

    

Kết hợp với điều kiện ta có :

1 0;

2

x

x x

  









Vậy với

1 0;

2

x

  









thì P 1

Bài 2 (4,0 điểm)

           

2

4; 5

)

6; 7

9 20 11 30 13 42 18

4 7 18

13

2

a

x

x

 

 





 Vậy phương trình có tập nghiệm S   13; 2

b) Cho a b c  2019và

2019

M

Ta có a b c  2019và

2019

1 1 1

bc ca ab

a b c bc ca ab abc abc a c a b b c abc ab bc ac abc

a b c bc b c ab b c ac b c b c a bc ab ac

b c

a c

 







              



 



2019 2019

2019 2019

2019 2019

2019 2019

2019 2019

2019 2019

1 2019

M 

Bài 3 (4,0 điểm)

a) Tìm số tự nhiên nđể n 2 8236

là số nguyên tố

Đặt An2 8236n416n2100

n4 20n2 100 36n2 n2 102 6n2 n2 6n 10 n2 6n 10

Vì n   n2 6n 10 n2 6n 10

2 2

Với n 3ta có A 37là số nguyên tố

Vậy n 3thì n 2 8236

là số nguyên tố

b) Tìm các số nguyên x y, thỏa mãn y22xy 3x 2 0

Vì x1;x2là hai số nguyên liên tiếp  

2 2

1

x

    





   

Vậy các cặp x y; thỏa mãn là 1;1 , 2;2  

Bài 4 (6,0 điểm) Cho O là trung điểm đoạn thẳng AB.Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là cạnh ABvẽ tia Ax By, vuông góc với AB.Trên tia Axlấy điểm C (khác A), kẻ đường trung tuyến BDvà đường cao AM của ABC.Đường thẳng DM cắt By tại E

1 2

H

E M

D

O

C

d) Chứng minh MC MB MA.  2và DOEvuông

Xét MCAvà MABcó : CMAAMB90 , C1 A1(cùng phụ với A2)

2

Xét MCAvuông tại Acó MDlà trung tuyến nên MD DA

Chứng minh tương tự ta có MO OA

Suy ra tứ giác ADMOnội tiếp nên MDOMAO

Tương tự ta có MEOMBA

90

DOE

  vuông tại O

e) Kẻ MHvuông góc với ABtại H Gọi Ilà giao điểm của MHvới BD.Chứng minh A I E, , thẳng hàng

Ta có MH / /AC(cùng AB)

Suy ra

DABD(Theo Talet)

MI IH

mà CD AD  MI IH  Ilà trung điểm của MH 1 Gọi giao điểm của AEvà MHlà I1

1

và 1

ME HB IB

DE AB BD

  

là trung điểm của MH 2

Từ (1) và (2) Itrùng I1hay A I E, , thẳng hàng

f) Gọi P Q, lần lượt là điểm đối xứng của Hqua AM và BM Tìm vị trí điểm C

để diện tích APEBlớn nhất

Bài 5 (2,0 điểm) Cho ba số thực dương a b c, , thỏa mãn  

2

Chứng minh rằng      

3

Ta có :

2

2 2 2

2

2 2 2

2

( )

a b c ab bc ca

a b b c c a b c c a

ab a b c ab bc ca

      

Chứng minh tương tự :  

1 a b a c 2 ; 1 a b b c 3

Từ (1), (2), (3)

( )

a b a c a b b c b c a c