Toan 9 phu ninh (22 23)

Kẻ các tiếp tuyến MC, MD với đường tròn O C, D là các tiếp điểm.. Qua O kẻ đường thẳng song song với CD cắt MC, MD lần lượt tại E và F.. b Chứng minh CD luôn đi qua một điểm cố định

UBND HUYỆN PHÙ NINH

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS CẤP HUYỆN

NĂM HỌC: 2022 – 2023 Môn:Toán

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

(Đề thi có 03 trang)

I PHẦN TRẮC NGHIỆM (8,0 điểm)

Hãy chọn phương án trả lời đúng rồi ghi vào tờ giấy thi.

Câu 1: Đường thẳng

x y

1

2 5  cắt trục hoành tại A, cắt trục tung tại B Diện tích tam giác OAB bằng

A 5 B 10 C -10 D -5.

Câu 2: Cho tam giác ABC, MN // BC (với M nằm giữa A, B và N nằm giữa A, C) Biết AM = 3cm; AN = 2cm; AB = 3AN Độ dài cạnh AC bằng

A 4 cm B 5 cm C 6 cm D 7 cm

Câu 3: Giá trị x thỏa mãn 38x  8 3 27x 27 1 là

A x 0. B x 1. C x 2. D x 2.

Câu 4: Điều kiện của x để biểu thức

1

3

x

 có nghĩa là

A x  B 2. x  C.3 x  D 3 x  3

Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tại A Có AH là đường cao HBC Kẻ HE HF, lần lượt vuông góc AB AC E AB F AC,   ;   Các hệ thức nào sau đây là đúng?

A EF 2 =AB AC B AB2 AH EF. .

C HF2 AE AB. . D.AB AE AC AF.  . 2.EF2.

Câu 6: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A2;3 , B4; 4 , ( ;3 )  C x x Giá trị

của x để ba điểm A B C, , thẳng hàng là

A -20 B 20 C.

20

13 D

20 13



Câu 7: Giá trị của p để phương trình

2

3

p x



có một nghiệm bằng một nửa nghiệm của phương trình x x  212x1 x2 là

A

19 16



B

19

16 C

1

1 8



Câu 8: Tập hợp các giá trị của tham số m để phương trình

2 2

x m x

  (ẩn x) vô

nghiệm là

ĐỀ CHÍNH THỨC

A  2 

B 1  C 2;1  D  1;2 

Câu 9: Cho

M a  a  a  vàN a 420a3102a2 40a200

Để M N 0 thì số các giá trị của a thỏa mãn là

A 0. B 1. C 2. D 3.

Câu 10: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường phân giác AD

(H,D BC) Biết AB = 42cm, AC = 56cm Độ dài đoạn DH bằng

A 4,8 cm B 6cm. C 7,2cm. D 8,4 cm Câu 11: Cho đường thẳng  d :y2m1x 2 với mlà tham số và

1 2

m 

Tổng các giá trị của m để khoảng cách từ A  2;1 đến đường thẳng d bằng

1

2 là

A

19

7



B

5 7



C

5

7 D

19 7

Câu 12: Cho tam giác ABC vuông tại A biết BC a 226,AC6a3, (a0) Số các giá trị của a để B  300là

A 0 B 1 C 2 D 3.

Câu 13: Một đội bác sỹ gồm 31 người được cử tham gia chống dịch trong đợt dịch

Covid-19 ( kinh phí chuyến đi được cấp đều cho mỗi người) Tuy vậy đến lúc đi có 3 người không tham gia được nên mỗi người còn lại được cấp thêm 18000 đồng so với dự

kiến ban đầu Tổng chi phí cấp cho chuyến đi là

A 5 028 000 (đồng) B 5 208 000 (đồng)

C 5 280 000 (đồng) D 5 054 000 (đồng).

Câu 14 Cho đường tròn O R , một dây cung có độ dài bằng bán kính thì khoảng cách;  từ tâm O đến dây cung đó bằng

A.

3 4

R

B R 3. C

2 3

R

D.

3 2

R

Câu 15: Cho đường tròn O R , đường kính AB Đường thẳng d tiếp xúc với đường;  tròn tại A và M là một điểm tùy ý trên d M A Đường thẳng qua O vuông góc với

BM cắt đường thẳng d tại N Giá trị nhỏ nhất của MN khi M di chuyển trên d là

A 2 R B 2 2R C 2.R D 2 3 R

Câu 16: Cho tam giác ABCcân tạiA, BAC  450 và AB =a (a 0) Khi đó độ dài cạnh BC bằng

A a 2. B 2a C a 2 2. D a2 2 

II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)

Câu 1: (3,0 điểm)

a) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x2 + y2 – 2(x – y ) = 7

b) Cho số nguyên dương n thỏa mãn n và 10 là hai số nguyên tố cùng nhau

Chứng minh rằng: (n  4 1) 40.

Câu 2: (3,5 điểm)

a) Giải phương trình: x 1 2 x 3 2     x24x 3.

b) Cho hai số thực ,a b sao cho a b và a b  0thỏa mãn:

3

Chứng minh biểu thức

2

P

a ab b



  có giá trị là một số tự nhiên

Câu 3: ( 4,0 điểm)

Cho đường tròn ( O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn Qua điểm A kẻ

đường thẳng dOA, lấy một điểm M tùy ý trên d (M A) Kẻ các tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (O) ( C, D là các tiếp điểm) Qua O kẻ đường thẳng song song với CD cắt MC, MD lần lượt tại E và F CD cắt OM tại H, cắt OA tại B

a) Chứng minh OA.OB = OH OM Từ đó suy ra OA.OB không đổi

b) Chứng minh CD luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di chuyển trên đường thẳng d

c) Tìm vị trí của điểm M trên đường thẳng d để diện tích tam giác HBO đạt giá trị lớn nhất

Câu 4: (1,5 điểm)

Số thực a thay đổi và thỏa mãn điều kiện a2 (a 3)2 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P a 4 (a 3)4 6 (a a2  3) 2

-Hết -Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh SBD

UBND HUYỆN PHÙ NINH

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS CẤP HUYỆN

NĂM HỌC: 2022 – 2023

Môn:Toán

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

Hướng dẫn chấm có 05 trang

I Một số chú ý khi chấm bài

- Đáp án chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách Khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm

- Thí sinh làm bài theo cách khác với đáp mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của đáp án

- Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số

II Đáp án – thang điểm

1 Phần trắc nghiệm khách quan (8,0 điểm)

II Phần tự luận (12,0 điểm)

Câu 1 (3,5 điểm)

a.Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x2 + y2 – 2(x - y ) = 7

b Cho số nguyên dương n thỏa mãn n và 10 là hai số nguyên tố cùng nhau Chứng minh

4

(n  1) 40

a) x2 + y2 – 2(x – y ) = 7  (x-1)2 + ( y+1)2 = 9 0,25

ĐỀ CHÍNH THỨC

2 đ

Vì x,y Z và 9 = 02 + 32 nên

2

1 0

1 3

x y

  





2

1 3

1 0

x y







TH1

 

 

2

1

1

1 3

4

x

x y

y

 













 



 



TH2

 

 

2

4

2

1 0

1

x

x y

y

 













 



 

 Vậy cặp số nguyên (x;y) cần tìm là (1;2), ( 1;-4), (4;-1), (-2; -1)

0,5

0,5

0,5 0,25

b)

1,5

điểm

Vì n và 10 nguyên tố cùng nhau nên n không chia hết cho 2 và 5

⇒ n chỉ có thể có dạng 10k ± 1 và 10k ± 3 với k ∈ ℕ

Ta có: n4  1 (n21)(n21) ( n1)(n1)(n21)

Do n lẻ nên n – 1 ⋮ 2; n + 1 ⋮ 2 và n2 + 1 ⋮ 2 ⇒n4 – 1 ⋮ 8 (1)

 Nếu n = 10k ± 1 ⇒ n2 ≡ (±1)2 ≡ 1 (mod 10) ⇒ n2 – 1 ⋮ 10 ⇒ n4 – 1 ⋮ 5

(2)

Từ (1) và (2), kết hợp với (5;8) = 1 suy ra n4 – 1 ⋮ 40

 Nếu n = 10k ± 3 ⇒ n2 ≡ (±3)2 = 9 (mod 10) ⇒ n2 + 1 ⋮ 10 ⇒ n4 – 1 ⋮ 5

(3)

Từ (1) và (3) kết hợp với (5, 8) = 1 suy ra n4 – 1⋮ 40

Vậy trong mọi trường hợp ta có n4 – 1 ⋮ 40

0,5

0,25

0,25

0,25 0,25

Câu 2: (3,5đ) a) Giải phương trình:

2

x 1 2 x 3 2     x 4x 3

b)Cho hai số thực ,a b sao cho a  b

và a b  0thỏa mãn: 2 2 2 2

3

Chứng minh biểu thức

2

P

a ab b



  có giá trị là một số tự nhiên

(2.0 đ)

2

x 1 2 x 3 2     x 4x 3

 2 x 3 2   x 1  (x 1)(x 3) 0  

 2 x 3 1   x 1  x 3 1   0

  x 3 1    x 1 2   0



x 3 1 0

x 1 2 0





(1) x=-2 ( loại)

(2)   x 3 ( TM)

Vậy PT đã cho có nghiệm duy nhất x=3

0,25

0,25 0,25 0,25

0,25 0,25 0,25

1.5 đ

Với a  b

và a b  0 ta có : 2 2 2 2

3



a a b a b a a b a b a a b a b

 (a b )2 (a b )2 a a b(3  )

 a2  2ab b 2a22ab b 2 3a2 ab

 a2  ab 2b2 0

 a2  b2  ab b 2 0

 (a b a )(  2 ) 0b 

Do a  b

nên a b 0, do đó từ đẳng thức trên ta được

a b   a  b

Suy ra

1

P

0,5

0,5 0,5

Câu 3 (4.0 điểm) Cho đường tròn ( O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn Qua A kẻ đường

thẳng dOA, lấy Md (M A) Kẻ các tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (O) ( C, D là các tiếp điểm) Qua O kẻ đường thẳng song song với CD cắt MC, MD lần lượt tại E và F CD

cắt OM tại H, cắt OA tại B

a)Chứng minh OA.OB = OH OM Từ đó suy ra OA.OB không đổi

b) Chứng minh CD luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trên đường thẳng d c) Tìm vị trí của điểm M trên đường thẳng d để diện tích tam giác HBO đạt giá trị lớn nhất

B H

F

O A

M

C

D

E

N K

a)

2 điểm

Có OC = OD = R và MC = MD ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau)

 OM là trung trực của CD => OM  CD 0,5

COM

 vuông ở C, đường cao CH nên OC2 = OH.OM (2) 0,5 Từ (1) và (2) suy ra: OA.OB = OC2 = R2 ( không đổi) 0,5

b)

1 điểm

OA.OB = R2 =>

2

R OB OA



mà R không đổi, OA không đổi, do đó

OB không đổi Mà O cố định nên B cố định

0,5 Vậy khi điểm M di chuyển trên d thì CD luôn đi qua điểm cố định B 0,5

c)

1 điểm

Gọi K là trung điểm của OB, mà BHO vuông tại H nên ta có

2

BO

HK 

Do OB không đổi nên HK không đổi

0,25

Kẻ HN  BO, ta có

2

BHO

HN BO

Vì BO không đổi nên SBHO lớn nhất  HN lớn nhất

Mà HN HK, dấu ”=” xảy ra  N K

0,25

Vậy SBHOlớn nhất  BHO vuông cân tại H  MO tạo với OA một

Câu 4: (1.5 đ) Số thực a thay đổi và thỏa mãn điều kiện a2 (a 3)2 5

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P a 4(a 3)4 6 (a a2  3)2

Đặt y = a-3 bài toán đã cho trở thành tìm GTNN của biểu thức:

P a y  a y trong đó a, y là các số thực thay đổi thỏa mãn:

3

5

a y

a y







Từ các hệ thức trên ta có:

5

a y





 5(a2 y2) 4(2 ) 41 ay 

Mặt khác :

16(a  y ) 25(2 )ay 40(a  y )2ay(áp dụng A2 + B2  2AB) (1)

Dấu đẳng thức xảy ra 4(a2 y2) 5(2 ) ay

Cộng hai vế của (1) với 25(a2 y2 2) 16(2 )ay 2 ta được:

2

41 ( a y ) (2 )ay  5(a y ) 4(2 ) ay  41

hay

(a y ) (2 )ay 41 a y 6a y 41

Đẳng thức xảy ra

3

( ; ) (1;2) 5

( ; ) (2;1)

a y

a y

a y

a y















Do đó giá trị nhỏ nhất của P bằng 41 đạt được  a=1 hoặc a=2

0,25

0,25 0,25 0,25

0,25

0,25