Toan 9 viet tri (22 23)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆT TRÌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9CẤP THÀNH PHỐ, NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Không kể thời gian giao đề Đề thi có: 03 trang

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆT TRÌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

CẤP THÀNH PHỐ, NĂM HỌC 2022 - 2023

Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

(Đề thi có: 03 trang)

Thí sinh làm bài (cả phần trắc nghiệm khách quan và phần tự luận) trên tờ giấy thi.

I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)

Câu 1 Giá trị tham số m để phương trình m2 2m x m   2 0 vô nghiệm là

0 26 15 3 26 15 3

x     là nghiệm của phương trình

A x   2 4 0 B x2 4x0 C x2 6x 9 0 D x24x0

Câu 3 Giá trị tham số m để I3; 24  thuộc đường thẳng y2x m  25 bằng

Câu 4 Phương trình đường thẳng đi qua A2; 8  và cắt trục tung tại điểm có tung độ 16 là

A y4x16 B y2x16 C y4x16 D y x 16

Câu 5 Cho ABCnhọn, các đường cao AM BN CP trực tâm , , ; H Giá trị biểu thức

AM  BN CP bằng

A 1

3

2 3

Câu 6 Cho ABC nhọn, các đường cao AM BN CP Tỉ số , , . .

AM BN CP

AB BC CA là

Câu 7 Cho , ,a b c là các số thực thỏa mãn a2 b2 c2 2023

a b b c c a      Giá trị biểu thức

a b b c c a     bằng

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 8 Cho điểm O nằm trong hình bình hành ABCD Tỉ số AOB COD

ABCD

S



bằng

A 2

1

1 3

Câu 9 Cho ,a b là các số thực thỏa mãn a2b24a 2b  Giá trị 5 0 P5ab a b  bằng

Câu 10 Phân tích đa thức 2

3 18

x  x thành nhân tử, ta được

A x 3 x6  B x3 x 6  C x 3 x 6  D x3 x6 

Câu 11 Cho ABCvuông tại A, đường cao AH Biết ;

 tỉ số BH

CH bằng

A 3

16

9

4 3

Câu 12 Xét M là điểm di động trên nửa đường tròn tâm ,O đường kính AB2R Tiếp tuyến tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B lần lượt tại P và Q Giá trị nhỏ nhất OP OQ bằng

A R 2 B 2

2

Câu 13 Cho đa thức f x =ax2bx c Biết f  0 2020; f  1 2021;f 1 2022; khi đó

 2

f  bằng

Câu 14 Nếu , ,a b c là các số thực thỏa mãn a b c  11 6 a 2 4 b1 2 c thì a b c 

bằng

Câu 15 Số nghiệm của phương trình  

x

   bằng

Câu 16 Một cây tre cao 8m bị gió bão làm gãy ngang thân, ngọn

cây chạm đất cách gốc 4m Điểm gãy cách gốc bằng

4m

Gốc Ngọn Điểm gãy

Trang 2

II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)

Câu 1 (3,5 điểm)

1) Bạn An viết lên bảng 10 số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 10 Bạn Bình muốn xóa đi một

số số trên bảng, sao cho các số còn lại không có 2 số nào chia hết cho nhau Hỏi bạn Bình phải xóa đi ít nhất bao nhiêu số?

2) Cho x y, là 2 số nguyên dương có tổng bằng 2022 Chứng minh rằng xy không chia hết cho 2022

Câu 2 (3,5 điểm) Giải các phương trình sau:

1) x1 x 2 x 3 2

2) 6x24x 8 5x1 2x23

Câu 3 (3,5 điểm) Cho đường tròn  O đường kính , AB cố định Điểm C thay đổi thuộc  O (C không trùng với A và B) Gọi d d lần lượt là 2 đường thẳng đi qua ,1, 2 A B và song song với

OC Gọi , ,D E F lần lượt là hình chiếu của C trên AB d d, , 1 2

1) Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến của  O

2) Chứng minh rằng EDF  90

3) Tìm vị trí điểm C sao cho diện tích tam giác DEF đạt giá trị lớn nhất.

Câu 4 (1,5 điểm) Xét 1  x 2, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 3 2 2

P x  x 

…………HẾT……….

Họ và tên thí sinh:………Số báo danh:………

Cán bộ coi thi không giải thích gì them

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆT TRÌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

CẤP THÀNH PHỐ, NĂM HỌC 2022 - 2023 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN

(HDC gồm 04 trang) PHẦN I ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)

PHẦN II ĐÁP ÁN TỰ LUẬN (12,0 điểm)

Câu 1 (3,5 điểm)

1) Bạn An viết lên bảng 10 số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 10 Bạn Bình muốn xóa đi một

số số trên bảng, sao cho các số còn lại không có 2 số nào chia hết cho nhau Hỏi bạn Bình phải

xóa đi ít nhất bao nhiêu số?

2) Cho x y, là 2 số nguyên dương có tổng bằng 2022 Chứng minh rằng xy không chia

hết cho 2022

3,5

1) Bạn An viết lên bảng 10 số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 10 Bạn Bình muốn xóa đi một số số trên

bảng, sao cho các số còn lại không có 2 số nào chia hết cho nhau Hỏi bạn Bình phải xóa đi ít nhất

bao nhiêu số?

1,5

Ta sẽ chứng minh bạn Bình cần xóa đi ít nhất 5 số Thật vậy 0,5

Ta chia 10 số trên bảng thành 5 cặp là 1,7 ; 2,6 ; 3,9 ; 4,8 ; 5,10 5 cặp này là các cặp số         

chia hết cho nhau, do đó, để thỏa mãn yêu cầu đề bài, bạn Bình cần xóa ít nhất 1 số trong mỗi

cặp, hay Bình cần xóa đi tối thiểu là 5 số

0,5

Tiếp theo, ta chỉ ra một phương án xóa 5 số của bạn Bình Bình có thể xóa 5 số nhỏ nhất là 1, 2,

3, 4, 5 Các số còn lại là 6, 7, 8, 9, 10 thỏa mãn yêu cầu bài toán 0,5

2) Cho x y, là 2 số nguyên dương có tổng bằng 2022 Chứng minh rằng xy không chia hết cho

Ta sẽ chứng minh bài toán bằng phản chứng Giả sử tồn tại 2 số nguyên dương x y, thỏa mãn

2022

Do xy nên 2 x2 hoặc y Mặt khác do 2 x y 2022 2 nên cả 2 số x và y đều chia hết cho

Lập luận tương tự, ta cũng thu được x và y đều đồng thời chia hết cho 3 và 337 0,5

Do đó x2022 và y2022 Kết hợp với giả thiết x y, là các số nguyên dương, suy ra ,x y 2022

Điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu x y 2022 Do đó, điều giả sử phản chứng là sai, hay 0,5

Trang 4

ta có điều phải chứng minh.

Câu 2 (3,5 điểm)

1) Giải phương trình x 1 x 2  x 3 2

2) Giải phương trình: 6x24x 8 5x1 2 x23 3,5

1) Giải phương trình x 1 x 2  x 3 2

1,5

x  x  x   x 1 x 2  3 x 2 0,25 Vì:









Dấu '=' xảy ra khi:

x









0,25

0,25

Vậy phương trình có tập nghiệm là: S  2

0,25

2) Giải phương trình: 6x24x 8 5x1 2 x2 3 2,0

PT:2x122 2 x23 5x1 2 x23 Đặt:

2

1

a x

 







ta được: 0,25

2a 2b 5ab 2a  5ab2b 0  2a2 4ab ab 2b2 0

0,25

2

a b





Trường hợp 1:

2

1 0

x

 





0,25

 

2

1 1

x x



PT (1) vô nghiệm vì

2

x  x  x     x

Trường hợp 2:  

2

 





0,25

1

2

x

x







 

 





Vậy nghiệm của phương trình là 4 14

2

x

0,25

Câu 3 (3,5 điểm) Cho đường tròn  O đường kính AB cố định Điểm C thay đổi thuộc  O (C

không trùng với A và B) Gọi d d lần lượt là 2 đường thẳng đi qua ,1, 2 A B và song song với OC

Gọi , ,D E F lần lượt là hình chiếu của C trên AB d d, , 1 2

1) Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến của  O

2) Chứng minh rằng EDF  90

3) Tìm vị trí điểm C sao cho diện tích tam giác DEF đạt giá trị lớn nhất.

3,5

d1

d2

A

D

C H F E

Ta có: AECE BF, CF AE BF OC, / / / / (Vì ,E F là hình chiếu của Ctrênd d ) 1; 2  E C F, ,

OC FE FE

Vì AE OC/ /  EAC OCA  (hai góc so le trong) Vì OA OC   R AOC cân tại O

      Tương tự

2

FE

Trang 6

3) Tìm vị trí điểm C sao cho diện tích tam giác DEF đạt giá trị lớn nhất. 1,0

Ta có: 1 1 .2

DFE

Theo quan hệ đường xiên hình chiếu

Dấu đẳng thức xảy ra khi C là giao điểm của trung trực của đoạn thẳng AB với  O 0,25

Câu 4 (1,5 điểm) Xét 1  x 2, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 3 2 2

Ta có P x x 2 3 22 Dấu bằng xảy ra khi x 0

Ta có P x 33x2 20 18 x 2 x25x1018x 2   x1 x4618 18. 0,75 Đẳng thức xảy ra khi x 2

Lưu ý:

- Chỉ cho điểm tối đa với những bài làm chính xác, bố cục hợp lý, trình bày rõ ràng, đủ nội dụng;

- Điểm toàn bài là điểm trắc nghiệm và tự luận, không làm tròn (điểm lẻ tự luận

0,25;điểm trắc nghiệm theo cấu trúc).

- Khuyến khích những bài làm sáng tạo, thể hiện quan điểm của học sinh (mở), cách

diễn đạt khác mà vẫn đảm bảo nội dung theo yêu cầu./.

Trang 10