Toan 9 thanh thuy (22 23)

Để ba đường thẳng đã cho đồng quy thì giá trị của m là Câu 4.. Trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất thì giá trị của m để tích xy nhỏ nhất là: 3 m .. C là điểm trên nửa đường tròn, kh

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH THUỶ

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

NĂM HỌC: 2022-2023 MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Đề thi có: 03 trang

Lưu ý:

- Thí sinh lựa chọn đáp án phần trắc nghiệm khách quan chỉ có một lựa chọn đúng.

- Thí sinh làm bài thi (cả phần trắc nghiệm khách quan và phần tự luận) trên tờ giấy

thi; không làm bài trên đề thi.

A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)

Câu 1 Cho biểu thức 16 2 8 1

12 3

x x A

x

 



 với 1.

4

x  Khẳng định nào dưới đây đúng?

A A =1

3 B A = 1

3

 C A = 3 . D A = 3.

Câu 2 Điều kiện xác định của biểu thức

32 5 1 3

x B

x

 



 là

A x 3 B x 3

2

x  D.x  3.

Câu 3 Cho ba đường thẳng (d1): y = 2x + 1; (d2): y = 4x – 1; (d3): y = 2m2 x – 15 Để ba đường thẳng đã cho đồng quy thì giá trị của m là

Câu 4 Cho đường thẳng  d :y 2m1 x 2 với mlà tham số và 1

2

m  Tổng các giá trị của m để khoảng cách từ A  2;1 đến đường thẳng d bằng 1

2 là

A 19

7



B 5

7



C 5

7

Câu 5 Hàm số f được định nghĩa như sau: ( ) ( ), ,

(0) 2

f x y x f y x y R f







Câu 6 Cho hệ phương trình:



















1 3

1

m y mx

m my x

Trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất thì giá trị của m để tích xy nhỏ nhất là:

3

m  D m 1.

Câu 7 Cho các hệ pt 











1 3

8 3

2

y x

y x

và 













3 2 3

y x

y ax

Giá trị của a để chúng tương đương là

Câu 8 Trong tam giác ABC, đường trung tuyến AM, K là một điểm nằm trên AM sao cho

1

2

AK

KM  , BK cắt AC tại N Biết AC =12 cm, khi đó độ dài AN là

Đề chính thức

Câu 9 Cho ABC gọi O là trung điểm của BC và I là trung điểm của AO Gọi M là

điểm trên cạnh AB sao cho 5AM 2AB Đường thẳng MI cắt cạnh ACtại N Khi đó tỉ số :

AN AC bằng

5 D 53

Câu 10 Tam giác ABC có AB = 16cm, AC = 14cm và  0

60

B  Tính độ dài BC

Câu 11 Ở độ cao 920m, từ một máy bay trực thăng người ta nhìn hai điểm A, B của hai đầu

một chiếc cầu những góc so với phương nằm ngang lần lượt là 370 và 310 Độ dài AB của chiếc cầu khoảng

Câu 12 Một hình hộp chữ nhật có diện tích xung quanh là 224cm2, chiều cao 7cm Thể tích của hình hộp chữ nhật lớn nhất bằng bao nhiêu?

A 448cm3 B 1568cm3 C 64cm3 D 128cm3

Câu 13 Cho tứ giác ABCD có AB = BD = BC,

 760

DBC  Tính số đo của DAC?

76°

B

A

D

C

Câu 14 Cho đường tròn (O) với BA = 6cm là đường

tiếp tuyến Một cát tuyến qua B cắt (O) tại C và D như

hình vẽ bên Biết CD = 9cm

Tính độ dài đoạn thẳng BC

6cm

9cm

C D

A

Câu 15 Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R C là điểm trên nửa đường tròn, khoảng

cách từ C đến AB là h Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác ABC theo R và h

A r R R h(  )R B r R R h(  ) R C r  R R h(  ) R D r R R h(  )R

Câu 16 Lương của chị Hải bằng 5

8lương của anh Tuấn Mỗi tháng chị Hải tiết kiệm được 40% lương của mình và số tiền chi tiêu của chị Hải chỉ bằng một nửa số tiền chi tiêu của anh Tuấn Hỏi mỗi tháng anh Tuấn tiết kiệm được bao nhiêu phần trăm lương của mình?

B PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)

Câu 1(3,0 điểm)

a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x3 7 8 y215y

b) Cho các số nguyên a và b thỏa mãn S a 2 b2ab3a b 2023 chia hết

Câu 2(3,5 điểm)

x  x y  y và

b) Giải phương trình: x3 7x211x 4 2 x 13 0

Câu 3 (4,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Gọi C là một điểm nằm trên

nửa đường tròn (O) (C khác A, C khác B) Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB, D

là điểm đối xứng với A qua C, M là trung điểm của CH, N là trung điểm của DH.

a) Chứng minh DCNH # DHMB.

b) Gọi E là giao điểm của HD và BM Chứng minh HE.HD = HC 2

c) Xác định vị trí của điểm C trên nửa đường tròn (O) để AH + CH đạt giá trị lớn nhất.

Câu 4 (1,5 điểm) Cho ba số dương , ,x y z thỏa mãn điều kiện 1 1 1 2

1x1y1z 

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A xyz

Hết

Họ và tên thí sinh: SBD:

Cán bộ coi thi không cần giải thích gì thêm./.

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH THỦY

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

NĂM HỌC 2022 - 2023 MÔN: TOÁN

Hướng dẫn chấm có: 06 trang

A Một số chú ý khi chấm bài

- Đáp án chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách Khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm

- Thí sinh làm bài theo cách khác với hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của hướng dẫn chấm

- Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số

B Đáp án – thang điểm

I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng cho 0,5 điểm

Đáp

án

II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)

Câu 1(3,0 điểm)

a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x3 7 8 y215y

b) Cho các số nguyên a và b thỏa mãn S a 2 b2ab3a b 2023 chia hết

a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x3 7 8 y215y(*) 1,5

Ta có x3 7 8 y215y x3 8y215y 7 x3 y1 8  y 7 0,25

Ta thấy 8y  7 0với y Z

Nếu y1 0  y1 thay vào (*) ta được x = 0 0,25

3 3

1

8 7

  



 

3 (2 )3 1 ( 2 )( 2 2 4 ) 12

Vì b22ab4a2 0 nên 2 2

b ab a

Vậy nghiệm của phương trình là x y ;  (0;1) 0,25 b) Cho các số nguyên a và b thỏa mãn S a 2b2ab3a b 2023 chia hết

cho 5 Tìm số dư khi chia a b cho 5

1,5

Ta có S a 2b2ab3a b 2023 chia hết cho 5 nên ta được

4a  4b  4ab 12 a b  12 5   2a b  3  3 b 1  5

Đặt x 2a b  3;y b  1 thì ta được 2 2

3 5

x  y 

Ta biết rằng một số chính phương khi chia cho 5 có các số dư là 0; 1; 4 Do đó ta

+ Nếu y2 chia hết cho 5, khi đó x2 cũng chia hết cho 5 Từ đó ta được

3 1 5

1 5

1 5

a b

b b

b















 Từ đó ta được 2a b 5 a b 5 (vì 2 và 5 nguyên tố cùng nhau)

Do đó dư trong phép chia a b cho 5 là 0

0,5

+ Nếu y2 chia cho 5 dư 1, khi đó x2 chia cho 5 dư 2

Trường hợp này loại

0,25

+ Nếu 2

y chia cho 5 dư 4, khi đó x2 chia cho 5 dư 3 Trường hợp này loại

Câu 2(3,5 điểm)

x  x y  y và

b) Giải phương trình: x3 7x211x 4 2 x 13 0

a) Cho các số thực , ,x y z đôi một khác nhau thỏa mãn 3 3

x  x y  y

và z33z 1. Chứng minh rằng 2 2 2

6

Ta có x3 3x 1(1), y3 3y 1 (2), z3 3z 1 (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra

3 (6)

3

z zx x





Từ (4) và (5) suy ra x2 z2xy yz  0 x y x y z       0 x y z  0

(vì x, y, z đôi một phân biệt).

0,5 Cộng (4), (5) và (6) theo vế với vế ta có

b) Giải phương trình: x3 7x211x 4 2 x 13 0

2,0

Điều kiện: x 1.

0,25

Ta có: x3 7x211x 4 2 x 13 0

2

0,5

3

3









0,25

3

x









2 3

x x

x











0,5

Với x13  1 2x 2 x13 2x (vô nghiệm với mọi 1 x 1)

Vậy phương trình có 2 nghiệm là 2, 5 5

2

x x 

0,5

Câu 3 (4,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Gọi C là một điểm nằm trên

nửa đường tròn (O) (C khác A, C khác B) Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB, D

là điểm đối xứng với A qua C, M là trung điểm của CH, N là trung điểm của DH.

a) Chứng minh DCNH # DHMB.

b) Gọi E là giao điểm của HD và BM Chứng minh HE.HD = HC 2

c) Xác định vị trí của điểm C trên nửa đường tròn (O) để AH + CH đạt giá trị lớn nhất.

E N

O A

D

B

C

H M

0,25

CN là đường trung bình của tam giác ADH suy ra CN // AH và CN = 1

Ta có

/ /

CH AB

CN CH

CN AB









0,25

2

HCA HBC g g

Xét DCNH và DHMB có

HC CN

HB HM (cmt)

HCN MHB

b) Gọi E là giao điểm của HD và BM Chứng minh HE.HD = HC 2 1,5

Vì CNH#HMB HMB HNC mà

0,5

HN  HD HM  HC Suy ra HE.HD = HC2

0,5

c) Đặt HB = x thì AH = 2r- x; gọi bán đường tròn (O) là r

2

1

2 1

1 1

2

2 1

3 2 2 ( 2 1)

( 2 1)

r





2

0,5

2

2

r

AH

 22,50

BAC  hay  0

45

BOC 

0,5

Cách 2

Tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại M cắt AB tại N Ta có M và N cố định

0,25

(không đổi)

0,25

+) Xét C khác M.

Tia NC nằm giữa hai tia NA và NM

45

ANC<ANM =

Mà HNC· <450 nên HCN· >450 Suy ra HNC· <·HCN  HC < HN

Do đó AH + CH < AH + HN = AN

45

Câu 4 (1,5 điểm) Cho ba số dương , ,x y z thỏa mãn điều kiện 1 1 1 2

1x1y1z 

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A xyz .

Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số dương, ta có:

1

Tương tự:

1

1

0,5

Do đó:

8

1

8

xyz

xyz





Dấu “=” xảy ra khi 1

2

x  y z

0,5