(Phần Bonus) 37 Câu Câu Nguyên Hàm Tích Phân.docx

Câu 1 (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018) Cho hàm số  y f x liên tục trên đoạn  a;b Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số  y f x , trục hoành và hai đường thẳng  x a, x b a b[.]

Câu 1 (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018) Cho hàm số y f x  

liên tục trên đoạn a; b

Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y f x  

, trục hoành và hai đường thẳng x a, x b a b    

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức

A

 

b

2

a

Vf x dx

B

 

b 2

a

V 2 f x dx

C

 

b

a

V f x dx

D

 

b 2

a

V f x dx

Đáp án A

Câu 2 (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018)Họ nguyên hàm của hàm số

f x 3x  là1

A x3C B

3

x C

3  C 6x C D x3 x C

Đáp án D

Ta có f x dx   3x21 dx x  3 x C

Câu 3: (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018)Tích phân

2

0

dx

x 3

 bằng

A

16

5 log

5 ln

2 15

Đáp án C

Ta có

2 0

d x 3

ln x 3 ln 5 ln 3 ln



Câu 4: (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018) Biết

2

1

dx

x 1 x x x 1    



với a, b, c là các số nguyên dương Tính P a b c.  

A P 24 B P 12 C P 18 D P 46

Đáp án D

2

1

dx I

x x 1 x 1 x





Lại có:

x x 1



1

2 x 2 x 1 4 2 2 3 2 32 12 2 a 32; b 12;c 2

Vậy a b c 46.  

Câu 5 (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018)Cho (H) là

hình phẳng giới hạn bởi parabol y 3x ,2 cung tròn có phương trình

2

y 4 x (với 0 x 2  ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ)

Diện tích của (H) bằng

A

12

 

B

12

 

C

4 2 3 3

6

  

D

5 3 2 3

 

Đáp án B

Phương trinh hoành độ giao điểm là:

0 x 2

3x 4 x

 



 



Dựa vào hình vẽ ta có:

Với

2

2 1

1

I  4 x dx,

sử dụng CASIO hoặc đặt x 2sin t  dx 2 cos tdt

Đổi cận

2 2

1

x 2 t

I 4 4sin t.2cos tdt 2 1 cos2t dt 2t sin 2t





  



 

1

1

6

Do đó

6

 



Câu 6 (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018) : Cho hàm số f x 

xác định

trên

1

\

2

 

 

 



thỏa mãn f ' x  2 ,f 0  1

2x 1

 và f 1   Giá trị của biểu thức2

   

f 1 f 3

bằng:

A 4 ln15 B 2 ln15 C 3 ln15 D ln15

Đáp án C

Ta có f ' x dx ln 2x 1 C    

Hàm số gián đoạn tại điểm

1 x 2



Nếu x 1 f x  ln 2x 1  C

2

mà f 1   2 C 2

Vậy f x  ln 2x 1  2 khi x 1

2

Tương tự f x  ln 1 2x  1 khi x 1

2

Do đó f1f 3  ln 3 1 ln 5 2 ln15 3.    

Câu 7: (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018) Cho hàm số f x 

có đạo

hàm liên tục trên đoạn 0;1

thỏa mãn

1

2

0

f 1 0,f ' x  dx 7

và

 

1 2

0

1

x f x dx

3





Tích

phân

 

1

0

f x dx



bằng

A

7

5 B 1 C

7

4 D 4 Đáp án A

Đặt

u f x du f ' x dx

,

dv 3x dx v x



0

3x f x dx x f x  x f ' x dx

Suy ra

1 f 1  x f ' x dx x f ' x  1 14x f ' x dx7

2 2

49x dx 7 suy ra f ' x  dx 7x f ' x dx 49x dx 0  f ' x 7x  dx 0.

4

mà

1 4

0

Câu 8 (ĐỀ THI THỬ 2018)Giới hạn x 3

x 1 5x 1 lim

x 4x 3



  bằng

a

b (phân số tối giản) Giá trị của a b là:

1

9

8

Đáp án A

Ta có

   

     

8

Suy ra a 9; b 8   a b 1 

Câu 9: (ĐỀ THI THỬ 2018) Tìm nguyên hàm của hàm số y f x  cos x3

A  

4

cos x

x

 B f x dx  1 sin 3x4 3 3sin xC



C f x dx  1 sin 3x 3sin x C

4

cos x.sin x

4



Đáp án B

f x dx cos xdx cos3x 3cos x dx 3sin x C

Câu 10 (ĐỀ THI THỬ 2018)Biết

4

0

a

I x ln 2x 1 dx ln 3 c

b

, trong đó a, b, c là các số

nguyên dương và

a

b là phân số tối giản Tính S a b c  

Đáp án B

Đặt

4

2

2

x

2















4

a 63 63

I ln 3 3 b 4 S a b c 70

4

c 3







 

 Cách : PP hằng số

Đặt

4

2

2

2x 1

x

4 v















 2  4

0

a 63

x 4

c 3





 



Câu 11 (ĐỀ THI THỬ 2018)Parabol

2

x y 2

 chia hình tròn có tâm là gốc tọa độ, bán kính

bằng 2 2 thành hai phần có diện tích S và 1 S , trong đó 2 S1S2 Tìm tỉ số

1

2

S

S

A

3 2

21 2

 

3 2

9 2

 

3 2 12

 

9 2

3 2

 

 

Đáp án B

Ta có

2

y

2















Ta có parabol và đường tròn như hình vẽ bên

Khi đó

2 1

2



       



(bấm máy tính)

Suy ra 2 1

4

3

     

Suy ra

1

2

4 2

4

3

 

 

 

 

Câu 12 (ĐỀ THI THỬ 2018) : Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng được giới hạn bởi các

đường y x 2 và x y 2 quay quanh trục Ox bằng bao nhiêu?

A

3

10



10 3



D 3

Đáp án A

Phương trình hoành độ giao điểm của C , C1  2

LÀ

2

2

x 1; y 1

x y







 Trong đoạn x0;1

suy ra y x ; y 2  x

Thể tích khối tròn xoay cần tính là

4 Ox

0 0



Câu 13 (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018)Cho hai hàm số F x  x2 ax b e  x

và

f x x 3x 6 e

   

Tìm a và b để F x 

là một nguyên hàm của hàm số f x 

A a 1, b  7 B a1, b7 C a1, b 7 D a 1, b 7  Đáp án B

Ta có F' x   x2 2 a x a b e   x f x 

nên 2 a 3  và a b 6 

Vậy a và b1 7

Câu 14 (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018) : Cho hàm số f x 

liên tục trên  và có

f x dx 2; f x dx 6 

1

1

I f 2x 1 dx



A

2

I

3



3 I 2



D i 6

Đáp án B

Có

1

1

2

I f 2x 1 dx f 1 2x dx f 2x 1 dx

       

1

1 2

1

2

f 1 2x d 1 2x f 2x 1 d 2x 1

f t dt f t dt f x dx f x dx 6 2 4

Câu 15 (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018) : Tính diện tích S của hình phẳng (H) giới

hạn bởi đường cong yx312x và yx2

A

343

S

12



B

793 S 4



C

397 S 4



D

937 S 12



Đáp án D

Hoành độ giao điểm của hai đường cong là nghiệm của phương trình;

x 4

x 0









 



Ta có



99 160 937

x 12x x dx x 12x x dx



Câu 16 (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018) : Tìm tất cả các giá trị thực của tham số k để

có  

k

x 0 1

x 1 1 2x 1 dx 4lim

x



 



A

k 1

k 2





 

k 1





 





 

k 2





 



Đáp án D

Ta có

1

2x 1 dx 2x 1 d 2x 1

Mà

   

 

x 1 1 x 1 1

 

 

 

Khi đó      

2 k

2

x 0 1

k 2 2k 1 1

x 1 1





 





Câu 17 (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018)Cho f x 

là hàm liên tục trên đoạn 0;a

thỏa mãn

   

f x f a x 1

f x 0, x 0;a





  

a

0

1 f x  c



, trong đó b, c là hai số nguyên dương và

b

c là phân số tối giản Khi đó b c có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây?

A 11;22

B 0;9

C 7;21

D 2017; 2020

Đáp án B

Đặt t a x   dtdx

Đổi cận x 0  t a; x a   t 0

Lúc đó

 

 

 

f x dx

I

1

f x





 

 

f x dx dx

1 f x 1 f x

Do đó

1

I a b 1; c 2 b c 3

2

Cách 2: Chọn f x   là một hàm thỏa các giả thiết Dễ dàng tính được1

1

I a b 1; c 2 b c 3

2

Câu 18 (Toán Học Tuổi Trẻ) : Tìm nguyên hàm của hàm số: f x   xlnx

3 2

1 3ln 2 9

3 2

2 3ln 2 3



3 2

2 3ln 1 9

3 2

2 3ln 2 9



Đáp án D.

2 2 1

x

Câu 19: (Toán Học Tuổi Trẻ) Tìm công thức tính thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol  P y x:  2 và đường thẳng d y: 2x

quay xung quanh trục Ox

2

2 2

0

2

 

B

4x dx x dx

 

C

4x dx x dx

 

D 2 2

0

2x x dx

 

Đáp án D.

Thể tích của khối tròn xoay là:

4

V  x dx x dx

Câu 20: (Toán Học Tuổi Trẻ) Cho hàm số f x  liên tục trên  thỏa mãn

tan  cos ,4

f x  x x   Tính  

1

0

I f x dx

A

2

8





B 1 C

2 4





D 4



Đáp án A.

2 4

2

1

tan 1

x



 

1

2 2

0

8 1

x





Câu 21: (Toán Học Tuổi Trẻ) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong

1,

x

 cắt trục tọa độ và phần đường thẳng y 2 x với x 1. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành

A

2

2

3 2

e V

e



 

B

 2 

2

6

e V

e



C

2

e V



 

D

2 2

2 2

e V

e



 

Đáp án B.

Ta có e x1 2 x x1 (do hàm số f x  e x1 x 2 đồng biến trên  và

 1 0)

 2 

2

2 2

2

2

6

e



Câu 22: (Toán Học Tuổi Trẻ) Xét hàm số yf x  liên tục trên miền

 ; 

D a b có đồ thị là một đường cong C Gọi S là phần giới hạn bởi C và các đường thẳng x a x b ,  . Người ta chứng minh được rằng độ dài đường cong S

bằng 1    2

b

a





Theo kết quả trên, độ dài đường cong S là phần đồ thị của hàm số f x lnx và bị giới hạn bởi các đường thẳng x1,x 3 là

1

n



với m n  , thì giá trị của m2 mn n 2 là bao nhiêu?

A 6 B 7 C 3 D 1

Đáp án B.

3

2

1

1

x

 

Đặt u 1x2 ta có:

2

2



Do đó m2,n3  m2 mn n 2 7

Câu 23: (Toán Học Tuổi Trẻ) Nguyên hàm của hàm số f x( )x e. 2x là

A

2

( )

x

F x  e x C

( ) 2

2

x

F x  e x C

C F x( ) 2 e2xx 2C D  

2

1

2

x

Đáp án A

2x

I xe dx

Đặt

2 2

2

x x

du dx

u x

e











2

x

Câu 24: (Toán Học Tuổi Trẻ) Cho hàm số f x( ) liên tục trên  và thỏa mãn

4

1

(tan ) 4







và

1 2 2 0

( )

2 1

x f x

dx



Tính tích phân

1

0

( )

I f x dx

Đáp án A

Ta có

4

1

0

(tan ) 4



Đặt tan cos2

dx

x

2 2

2

1 2

0

2

1

0

(1 tan ) (1 )

1

4

( )

1

( )

1 ( ) 6













dt

t

x f x

x

f x

x

f x dx

Câu 25 (Toán Học Tuổi Trẻ) Biết

2

1

ln

ln 2



(với a là số thực, b, c

là các số nguyên dương và

b

c là phân số tối giản) Tính giá trị của 2a3b c

Đáp án A

Có

2

2

0

ln x

x



Đặt

2

ln

1

1

dx

x

v









1

2

1

ln 2 1 1 1

ln 2

1

2

x

x

 

       

 

Câu 26: (Toán Học Tuổi Trẻ) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

1 ( ) :

1

x

x





 và các trục tọa độ Khi đó giá trị của S bằng

A S ln 2 1 (đvtt) B S 2ln 2 1 (đvtt) C.

2ln 2 1

S   (đvtt) D S ln 2 1 (đvtt)

Đáp án B

Đồ thị hàm số cắt Ox tại (1;0) Oy tại (0; 1)

1 0

1

2ln ( 1) 2ln 2 1

x

     

Câu 27 (Toán Học Tuổi Trẻ) : Với mỗi số nguyên dương n ta kí hiệu

1

0

n

Tính

1

lim n x

n

I I

+

®+¥

Đáp án A

Với mỗi số nguyên dương n ta kí hiệu 1 2( 2)

0

n

Khi đó

1

1

.

Với tích phân 1 3 ( 2)

0

ta đặt:

3

2 1

3 1

n

+

ïïî

3

n

n

+

lim n 1

x

n

I

I

+

Câu 28: (Toán Học Tuổi Trẻ) Cho tích phân

0

3

cos 2 cos 4x xdx a b 3

p

-= + ò

, trong

đó a,b là các hằng số hữu tỷ Tính e a+log2 b

1

Đáp án A

Đặt t=sin 2x, tính ra

1 0,

8

nên e a+log2 b =- 2

Câu 29 (Toán Học Tuổi Trẻ) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( )P y: =x2- 4x+5 và các tiếp tuyến với ( )P tại (A 1; 2 ,) (B 4;5)

A

9

4

9

5 2

Đáp án A

Tiếp tuyến với ( )C tại A,B là 1 2 1 2

5

2

çè ø

Diện tích cần tính là

5

4 2

5 1

2

9

4

S= éx - x+ - - x+ ùdx+ éx - x+ - - x- ùdx=

(đvdt)

Câu 30 (Toán Học Tuổi Trẻ) Tìm giá trị dương của k để

 

2

x

f x

 





với f x  lnx25

Đáp án C

   

 

2

, 2

x

x





Do đó

 

2

9

x

x

 



.

0

x





Tìm các

giá trị k để

 2 

8

1 2017 lim

2018 x

ab

x

d

x

 







Đáp án B

2

x

Suy ra: ab 8k2 1 3.3 8 k2 1 k0.

Câu 32 (Toán Học Tuổi Trẻ) Giả sử a b c, , là các số nguyên thỏa mãn

2

2 1



, trong đó u  2x1 Tính giá trị S  a b c

Đáp án D

Đặt

2 1

2

, 2 4 1

2

.

2

2 1



, với a1,b2,c 1 a b c  2.

Câu 33 (Toán Học Tuổi Trẻ) : Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong

lnx

y

x



, trục hoành và đường thẳng x e Khối tròn xoay tạo thành khi quay

(H) quanh trục hoành có thể tích bằng bao nhiêu?

A V 2













D V .

Đáp án B

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số

lnx

y x



và trục hoành là: số

0 ln

ln 0

x

x

x

x x









 

2

2

ln

3

x



Câu 34 (Toán Học Tuổi Trẻ) Cho hàm số f x  xác định trên \ 1  thỏa mãn

  1 ,  0 2017,

1

x

 f  2 2018 Tính S f  3  f 1

A S 1 B S ln 2 C S ln 4035 D S 4.

Đáp án A

 ;1

x    thì f x f x d  xln 1  xC1.

1; 

x   thì f x f x d  xln 1  xC2.

 

1

2

2018

2 2018

C f









Câu 35 (Toán Học Tuổi Trẻ) Biết luôn có hai số a, b để

4

ax b

x



 là nguyên hàm của hàm số f x  và thỏa mãn

       

2

2f x  F x 1 f x Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất?

A a1,b4. B a1,b1. C a1,b \ 4  D a,b.

Đáp án C

   

2 2

4

4

x









3

3

2 4

4

a

x





Ta có 2f2 x F x 1 f x 

2

2 4

a b

4a b a 1 x b 4

      (*) (do x4, 4a b0) Biểu thức (*) đúng với mọi x 4 nên có a1,b .

Do 4a b 0 nên a1,b\ 4 