Dap an chinh thuc toan hsg 2010

Hướng dẫn chung 1 Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định.. 2 Việc chi tiết hóa nếu có thang điểm trong hướng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỒNG THÁP

-KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2010 - 2011

-HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN TOÁN

(Hướng dẫn chấm và biểu điểm gồm có 05 trang)

I Hướng dẫn chung

1) Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định

2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải bảo đảm không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong tổ chấm

II Đáp án và thang điểm

Câu 1 Giải phương trình: x4 x2 4 x4 20x2 4 7x











 Điều kiện: x 0

 Dễ thấy x 0 không là nghiệm của phương trình (1)

 Với x 0 , chia cả hai vế của phương trình (1) cho x, ta được phương trình

1 4 2 20 42 7

2

2      

x

x x

Đặt 2 42

x x

t  , điều kiện t  4, phương trình (2) trở thành

t 1   t 20  7

 t2  19t 20  15  t

t 15

2 2

 



 



 t 5

 Với t 5 ta được: 2 42 5





x







     xx 12

 



 Do điều kiện x 0 nên phương trình (1) chỉ nhận các nghiệm là x 1;x 2 

 Vậy phương trình (1) có hai nghiệm x 1 ; x 2 

0.5 0.5

0.5

0.5 0.5

0.5

Câu 2 Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn Gọi AE, BF, CK là ba chiều cao và H là trực tâm

của tam giác ABC Biết AE = 3, CK = 2 2 và BH = 5HF Chứng minh ABC 45 0

3đ

3

b

c

a

H

K

E

A

B

2 2

 Gọi độ dài ba cạnh của tam giác ABC lần lượt là a, b, c

Ta có AE.BC = CK.AB  3 a 2 2 c

 Theo định lý sin ta có

C

c A

a

sin

C

A sin

3 sin

2 2

 (1)

Mặt khác AF = BF.cotA

0.25 0.25

AF = HF.cot EAC = HF.cot 











 C

2



= HF.tanC  6.cotA = tanC  6cotA.cotC = 1 (2)

A

8 sin

9

  91  cot 2C 81  cot 2 A (3)







Vì cotA > 0 nên

2

1 cotA và

3

1 cotC 

cot cot

cot cot 1 ) cot(













C A

C A C

A B

 Vậy ABC 45 0 (đpcm)

0.5 0.5 0.25 0.5 0.5

0.25

Câu 3 Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình

2x23y2  5xy 3x 2y 3 0    (1)

3đ

 Xem phương trình (1) là phương trình bậc hai đối với x:

(1)  2x2  3 5y x 3y    2  2y 3 0  

 Để có x nguyên thì điều kiện cần là

 3 5y 2 4.2 3y 2  2y 3  y 14y 33 k2    2

là số chính phương (k nguyên, không âm)

 Lại xem y 14y 33 k2   2  là phương trình bậc hai đối với y Để có y nguyên 0

thì điều kiện cần là:

 ' 49 33 k   216 k 2 m2

là một số chính phương (m nguyên dương)

Do m2  k2 16 m k m k     16 và 16 8.2 4.4 16.1  

nên ta suy ra được

m k 2   k 3 Suy ra phương trình (1) có nghiệm x;y 15;12 , 1;2  

m k 4   k 0 Suy ra phương trình (1) có nghiệm  x;y    13;11 , 3;3   

2







 



(loại)

 Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm là x;y 15;12 , 1;2 , 13;11 , 3;3      

0.5 0.5

0.5 0.25 0.5

0.5

0.25

Câu 4

Cho dãy số (un) xác định bởi

1

1 1

1

n 2 3

















n n n

u u u u

Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số (un)

3đ

Sử dụng các dãy phụ để chuyển dãy đã cho về dãy xác định một cấp số nhân, khi đó

áp dụng công thức

 n 1  n 1

 Suy ra: n 1



 Ta lại đặt n

n

1 y x

 Tiếp tục đặt: vn yn 1

3

3

 và vn 5vn 1

 Suy ra dãy  v là một CSN có công bội n q 5

2

 Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát của một CSN ta được

n 1

n 1

2 5

3 2



,  n 2

Từ đó ta sẽ được



 Vậy công thức số hạng tổng quát của dãy số (un) là

n 1 n 1

u





0.5 0.5 0.5 0.5

0.5

0.5

Câu 5

n

m x x n

m

) 1 (

2 2





























 

với m,nN* và 2 m n  Chứng minh rằng trong khai triển hệ số của x m bằng m 2

n

C

2đ

n n

n n

n C C x C x C x

1

n

m x x n

m

) 1 (

2 2





























 

là

m n

m n

n

m C

C n

m









 

k

k

k n

.















 

m

m n n

m C

C n

m A













 

n

m C

n m

1

1 ) 1 ( 1























 

m

m n n

m C

n

m

Cm 2n

0.5

0.5 0.25

0.25 0.25

0.25

Câu 6 Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện x y 4 

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

3đ

 Theo bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương, ta có:

0.5 0.5

 

 Cộng từng vế của (1), (2), ta có





Theo giả thiết a b 4  nên

2 3

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

1 7

1 x

x 2

1 y

y 2

x y

x y 4















 



4

0.5

0.5 0.5

0.5

Câu 7

16 25

2 2



 y x

có hai tiêu điểm F1 và

2

F M là một điểm di động trên elip (E) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

2

1F

3đ

K H I M

x y

a

F 2

F 1

O

 Theo giả thiết ta có a  5 , b 4  c 3

Gọi M(x0;y0) là điểm di động trên elip

I(x;y) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MF1F2

Gọi p là nửa chu vi tam giác MF1F2 , ta có

2

1 2

1

2 1 2

p

Mà HF1 x H  x F1 xc (2)

 Từ (1) và (2)

3

5

0 0

x c

ax x x a

c c c

x     



0.25

0.5 0.5

 Ta có

3

8 2

.

0 0 2

y c

c a y c a

cy y p

MK F F p

S IH













1 16 3 8 25 3

5 1 16 25

2 2

2 0

2

































y

x y

x

9

4 9

2 2



 y

x

0.5 0.5 0.25