Mà HK là đường trung bình của tam giác ICE nên HK // CE.. Suy ra CE SAD tại E.. Suy ra SEC vuông tại E và SE là hình chiếu của SC trên SAD... Kẻ đường thẳng qua K song song với BC cắt
Trang 1SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 11 CẤP THPT
NĂM HỌC 2015 – 2016 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Môn: TOÁN – BẢNG A
(Hướng dẫn chấm này gồm 03 trang)
1
(6,0đ) a) (3,0 điểm) Giải phương trình (cos 1)(2cos 1) 2
1 sin 2 2cos sin
x
Điều kiện: sinx 0 x m m Z ( ).Phương trình đã cho tương đương với
2cos x 3 osc x 1 sinx 2sin cos x x2sinx.cos x 0,5
c 2x 3cos x 2 sin x cos x(1 c 2x) sin x(1 c 2x)os os os
cos2x 2(sinx cos x 1) cos2x(sinx cos x) 0
cos2x 2 sinx+cos x 1 0
sinx+cos x 1 0
cos 2x 2 x k2
(k Z).
2
x k2 sin x
2
4 2
0,5
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là 2
2
x k ( k ). 0,5 b) (3,0 điểm) Giải phương trình
2
3 2
6
x
Điều kiện xác định: 5x Đặt 2 2 0
2
( 0)
6
x
t t
Ta có 5x2 6t2 2 0,5
Phương trình đã cho trở thành 3 x36t2 2 1 t x36t2 2 (t 1)3 0,5
2
2
2 2
1
1
6
x
x x
x
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm là x 6 28 0,5 2
(5,0đ)
a) (3,0 điểm)
Số cách chọn ba số đôi một khác nhau từ tập A là 3
20
C 1140 cách 0,5
Số cách chọn ba số liên tiếp là 18 cách 0,5
Số cách chọn ba số trong đó có đúng hai số liên tiếp là 17*2+17*16=306 1,0 Vậy xác suất cần tìm là 1140 18 306 816 68
1140 1140 95
n
Tìm công thức un theo n.
Trang 2Với mọi n *, ta có
n
0,5
dãy số ( ), 3
1
n n n
n
là cấp số nhân có công bội q 3
2
và v1 1
2
n
3
(5,0đ)
a) (3,0 điểm) Chứng minh đường thẳng SM vuông góc với mặt phẳng (SAD).
a
MB BC HB HBM HAD
HBM
vuông tại M
3 sin 60
2
o a
HM HB
1,0
Gọi N là giao của HM và AD
Ta có: HN = HM = SH = 3
2
( / / )
SH AD SH ABCD
MN DA AD BC
b) (2,0 điểm) Tính SH để góc giữa SC và (SAD) có số đo lớn nhất
Gọilà góc giữa SC và (SAD); K là hình chiếu vuông góc của H lên SN; I là
giao của HC với AD Lấy E đối xứng với I qua K
Mà HK là đường trung bình của tam giác ICE nên HK // CE
Suy ra CE (SAD) tại E Suy ra SEC vuông tại E và SE là hình chiếu của
SC trên (SAD) Ta có CSE
0,5
7
CH CM MC a
Tam giác SHC vuông tại H nên SC SH2 CH2 x2 7a2
0,5
sin
(4 3 )( 7 ) (4 21 ) 31
2 2 2 2
4 21 31
4 21 31
ax
Dấu đẳng thức xảy ra khi 4 21
4
1,0
A
S
D H
M K
Trang 3Vậy lớn nhất khi và chỉ khi sin lớn nhất khi và chỉ khi 4 21
4
4
(2,0đ) Kéo dài IM cắt NP tại K Kẻ đường thẳng qua K song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại E, F
Ta có: các tứ giác KEPI và KNFI nội tiếp nên
KEI KPI KNI ; KFI
Mà KPI KNI suy ra KEI KFI
Do đó, K là trung điểm EF
Suy ra A, K, D thẳng hàng
hay K là giao điểm của NP và AD
Tọa độ K là nghiệm của hệ
5
( ; )
3
x
x y
K
y
0,5
Phương trình IM đi qua M và K là x 2y 3 0.
I(2a 3;a) IA : x y a 3 0 A(32 13a;35 14a) 0,5
3a 7
IA 35 15a 2;d(I, NP) ;IM 5 a 1
2
d(I, NP).IA IP IM
a 3 I(3;3).
Vì I và M cùng phía với NP nên ta có I(1;2) Khi đó A(6;7)
0,5
5
(2,0đ) Từ giả thiết, ta có:
2 (a b c) (a b c) ab bc ca 2(ab bc ca) (a b c ab bc ca )(a b c 2 ab bc ca ) 0
a b c 2 ab bc ca a b c 2(ab bc ca)
0,5
2 (b c a) 4bc (1)
Vì vai trò a, b, c như nhau nên giả sử
a min a,b,c Từ (1) ta có b c a 2 bc. 0,5
abc
2(a b c) 2(b c a) 4a
4
2 bc 2 bc 4a 4 2 bc.2 bc.4a 8.
0,5
Dấu bằng xảy ra chẳng hạn khi 1, 2
2
a b c Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 8
0,5 Hết
-Ghi chú : Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa
A
I N
M
K
D