Đường phân giác trong AD, trung tuyến AM của tam giác ABC theo thứ tự cắt đường tròn tại các điểm thứ hai là P và Q.. Chứng minh rằng có một đường tròn không đi qua một điểm nào trong 20
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
YÊN BÁI
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
( Đề thi có 01 trang )
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 NĂM HỌC 2011 – 2012
MÔN: TOÁN
Thời gian: 180 phút ( không kể thời gian giao đề )
Ngày thi: 08/10/2011
Câu I (5,0 điểm) Cho hàm số : y x 3 3x1 có đồ thị (C)
1 Có bao nhiêu tiếp tuyến với (C) đi qua điểm A(3; 3) Vì sao?
2 Tìm trên (C) những điểm M sao cho qua M chỉ có một tiếp tuyến với (C)
Câu II (4,0 điểm) Giải hệ phương trình:
2 2 4 2
1
Câu III (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Đường phân giác trong AD, trung tuyến AM của tam giác ABC theo thứ tự cắt đường tròn tại các điểm thứ hai là P và Q Hãy chứng minh: DP ≥ MQ
Câu IV(4,0 điểm) Cho đa thức bậc ba :P x1( ) x3 3 x Ký hiệu:
P x n( )P P1( n1( )),x n 2 Hãy xác định số nghiệm của phương trình: P2011( ) x x Câu V (3,0 điểm ) Trên mặt phẳng cho 2011 điểm phân biệt Chứng minh rằng có một đường tròn không đi qua một điểm nào trong 2011 điểm đã cho và bên trong nó chứa đúng 2000 điểm từ những điểm này HÊT _ - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay - Giám thị coi thi không giải thích gì thêm Họ tên học sinh:
Số báo danh:
Họ tên giám thị số 1: Chữ ký:
Chữ ký giám thị số 2: Chữ ký:
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH YÊN BÁI
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC
SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2011 – 2012
MÔN: TOÁN
I
Cho hàm số : y x 3 3x1 (C)
1 Có bao nhiêu tiếp tuyến với (C) đi qua điểm A(3; 3), vì sao?
2 Tìm trên (C) những điểm M sao cho qua M chỉ có một tiếp
tuyến với (C)
5 đ
1
(3đ)
Mọi x R y : ' 3 x2 3, tiếp tuyến tại ( ; ) ( );x y o o C y o x o3 3x o 1
có PT là: y (3x o2 3).(x x o) ( x o3 3x o 1)
Tiếp tuyến này qua A(3; 3) khi và chỉ khi:
3 (3 x o2 3).(3 x o) ( x3o 3x o 1)
2x o3 9x o2 11 0 x o 1 2 x o2 11x o 11 0
Phương trình này, ẩn xo , có 3 nghiệm phân biệt:
1 1; 2 11 33; 3 11 33
x x x
là các hoành độ của 3 tiếp điểm tương ứng với 3 tiếp tuyến cuả (C)
Vậy qua điểm A(3; 3) có 3 tiếp tuyến với (C)
1 đ
1 đ
1 đ
2
2 đ
Đường thẳng qua điểm ( xo; yo ) (C), với hệ số góc k có PT là:
y k x x ( o) x o3 3x o 1
Đường thẳng này là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
2
x x k x x x x
k x
2
x x x x x x x
x x x x
Qua điểm ( xo; yo ) (C) có tiếp tuyến duy nhất cần và đủ là PT (1) có
nghiệm duy nhất Điều này thực hiện được khi và chỉ khi
0 1
2
o
x
x x y
1 đ
1 đ
Trang 3Vậy có duy nhất một điểm: M ( 0; 1 ) trên (C) có một tiếp tuyến đi qua.
II
Giải hệ phương trình:
2 2 4 2
4đ
Nếu y = 0, từ (1) suy ra x = 0 Ta thấy x = y = 0 không thỏa mãn (2)
Vậy y ≠ 0 Chia cả 2 vế của (1) cho y3 ≠ 0 thì được:
3
Xét hàm: f t t3 t t R có f t'( ) 3 t2 1 0 t R Nên
hàm f t( ) đồng biến trên R Từ (*) suy ra f x f y( ) x y
2 0
x y Thế vào (2) thì được:
x232 x 2 x2
2
2 2
2
4
2 2
32 6
2 2
32 6
x x
x
x
x x
x
Vì : 2 2 1 2
2 2
32 6
x
x x
x
< 0 , với mọi x > 0
Suy ra: x 2; y 2 Thử vào hệ ta thấy đúng
Vậy hệ có 2 nghiệm: x y ; 2; 2 , 2; 2
1 đ
1 đ
1 đ
1 đ
III Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Đường phân giác trong
AD, trung tuyến AM của tam giác ABC theo thứ tự cắt đường tròn tại
các điểm thứ hai là P và Q Hãy chứng minh: DP ≥ MQ
4đ
Trang 4Nếu AB = AC, tam giác ABC cân tại A thì D M, P Q nên DP = MQ.
Nếu AB ≠ AC thì D ≠ M, P ≠ Q Gọi I là điểm dối xứng với D qua M
Do AD là phân giác của BAC nên BP CP , Suy ra: PM BC và
PI = PD
Măt khác MQP = 1
2sđ AB + 1
2sđ BP=1
2sđ AB + 1
2sđCP= PDM=
=MIP Tứ giác PMIQ nôi tiếp
Từ PMI = 90o PI là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác
PMIQ Do đó: PI > MQ DP > MQ
Vậy: theo cả hai trường hợp ta nhận được: DP ≥ MQ ( đpcm )
P
Q A
1 đ
1 đ
1 đ
1 đ
IV
Cho đa thức bậc ba :P x1( ) x3 3 x Ký hiệu:
P x n( ) P P1( n1( )),x n 2
Hãy xác định số nghiệm của phương trình: P2011( ) x x . 4đ
Xét trường hợp x 2 Đặt x = 2cost với: t [0; ]
1( ) (2cos ) 3(2cos ) 2(4 os 3cos ) 2cos3
P x t t c t t t 1 đ
Trang 53 3 2
P x P P x t t c t t t
Bằng quy nạp ta chứng minh được:
( ) 2 os3n
n
P x c t
Phương trình: Pn(x) = x trở thành:
1 1
2 2
2cos3 2cos
n n n
n
n
Có đúng 3n giá trị k1 và k2 để t[0; ]
Vì vậy, PT đã cho bậc 32011 ,với ẩn x có 32011 nghiệm thỏa mãn: x 2
nên không còn nghiệm nào thỏa mãn x 2 nữa
Đáp số: 32011 nghiệm
1 đ
1 đ
1 đ
V
Trên mặt phẳng cho 2011 điểm phân biệt Chứng minh rằng có một
đường tròn không đi qua một điểm nào trong 2011 điểm đã cho và bên
trong nó chứa đúng 2000 điểm từ những điểm này. 3đ
Do số điểm 2011 là hữu hạn, nên trên mp tồn tại 2 điểm có khoảng
cách lớn nhất
Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng nối 2 điểm này và R là khoảng
cách giữa chúng Vẽ đường tròn tâm O bán kính R
Ta nhận thấy (O) không đi qua 1 điểm nào và 2011 điểm đã cho nằm
hoàn toàn phía trong (O) Lấy điểm A trên đường tròn (O) sao cho A
không nằm trên đường thẳng qua 2 điểm bất kỳ nào trong số các điểm đã
cho Vẽ tia tiếp tuyến At với (O)
Quay tia này quanh A, theo một hướng nhất định ta sẽ đặt tên: A1,
A2, , A 2011 cho các điểm mà nó lần lượt đi qua
Gọi các giao điểm thứ hai của các tia AA2000 và AA2001 với (O) thứ tự là
B và C Đường trung trực của đoạn AB cắt đường gấp khúc ACB ở D và
1 đ
1 đ
1 đ
Trang 6cắt đường thẳng qua B và vuông góc với BD ở I
Đường tròn tâm ( I ) bán kính IB không qua đi qua điểm nào và chứa bên trong nó đúng 2000 điểm trong các điểm đã cho
O
A
C
B
A2000
A2001
D I
Cách 2: Với 2 điểm bất kỳ từ 2011 điểm đã cho ta dưng đường trung
trực của nó, cả thảy có 2
2011
2010.2011 2
C đường trung trực
Lấy điểm O bât kỳ không thuộc một đường trung trực nào Như vậy, khoảng cách từ O đến mỗi điểm khác nhau Ta đặt tên: A1, A2, , A2011 cho những điểm đã cho theo thứ tự khoảng cách tăng dần từ O
Chọn R sao cho:
OA2000 < R < OA2011
Vẽ đường tròn tâm O bán kính R, đường tròn này sẽ không đi qua điểm nào trong 2011 điểm đã cho và bên trong nó chứa đúng 2000 điểm tư những điểm này ( có đúng 11 điểm ở bên ngoài đường tròn )
1
1
1