D03 sự tương giao của hai đồ thị muc do 4

 Bốn điểm A B M N, , , là bốn đỉnh của hình bình hành xảy ra các trường hợp sau: Trường hợp 1: Bốn điểm lập thành hình bình hành ABNM.. Trường hợp 2: Bốn điểm lập thành hình bình hành A

Câu 1 [DS12.C1.5.E03.d] Trong mặt phẳng Oxycho parabol  P y: x2 mx3m 2

, đường thằng

 d :x y m   (m là tham số thực) và hai điểm 0 A   1; 1, B2; 2

Tìm m để đường thẳng

 d

cắt parabol  P

tại hai điểm phân biệt M N, sao cho A B M N, , , là bốn đỉnh của hình bình hành

Lời giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm của  P

và  d

:

x mx m  x m  x2m1x2m 2 0 1  

 Đường thẳng  d

cắt parabol  P

tại hai điểm phân biệt   1 có hai nghiệm phân biệt

m 12 4 2 m 2 0

      

9

m

m





Khi đó,  d cắt  P tại hai điểm M x x 1; 1m, N x x 2; 2 mvới x x là nghiệm của 1, 2  1 (giả sử

1 2

x x )

 Bốn điểm A B M N, , , là bốn đỉnh của hình bình hành xảy ra các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Bốn điểm lập thành hình bình hành ABNM

2 1

3

     

Kết hợp với định lý Vi-et ta có hệ:

1

1 2

2 1

1 2

2 2 1

4

2

m x

m















Suy ra

10

m

m





Với m  , 0  1 trở thành:

 

2 0

x







Với m  , 10  1 trở thành:

M x









hình bình hành

Trường hợp 2: Bốn điểm lập thành hình bình hành ANBM

Khi đó,

1 1

;

2 2

I  

  là trung điểm của AB cũng là trung điểm của MN nên

1 2

1 2

1

m











Vậy m  10

Câu 1 [DS12.C1.5.E03.d] (HSG Toán 12 - Thanh Hóa năm 1718) Cho hàm số

1 1

x y x





 có đồ thị là

 C

, hai đường thẳng cùng đi qua điểm I 1;1

có tổng các hệ số góc bằng

5

2 Mỗi đường thẳng cắt

đồ thị  C

tại bốn điểm phân biệt và bốn giao điểm đó là bốn đỉnh của một hình chữ nhật Viết phương trình hai đường thẳng đó

Lời giải

Do I 1;1

là tâm đối xứng của  C

nên hai đường thẳng qua I sẽ cắt  C

tạo thành một hình bình hành Hình bình hành đó là hình chữ nhật khi độ dài hai đường chéo đó bằng nhau

Gọi d là đường thẳng đi qua I có hệ số góc k  d y k x:    1 1

Hoành độ giao điểm của d và  C

là nghiệm của phương trình

1

1 1

1

x

k x

x



  kx2 2kx k  2 0  *

Để d cắt  C

tại hai điểm phân biệt thì  *

phải có hai nghiệm phân biệt

0

k







Gọi A, B là giao điểm của d và  C  A x kx 1; 1 k1, B x kx 2; 2 k1trong đó x , 1 x là2

nghiệm của  *

Ngĩa là

1 2

1 2

2 2

k

x x

k









1 2 1 2

2





8 1 k

AB

k





Gọi k , 1 k2k1k2 lần lượt là hệ số góc của hai đường thẳng cần tìm Khi đó hai đường chéo của

hình bình hành có độ dài lần lượt là

1 1

8 1 k

k



và

2 2

8 1 k

k





1

1

8 1 k

k



2 2

8 1 k

k



2 1 1 1 1 2

 k1 k2 1 k k1 2  0 k k1 21



1

1 2

2

1 2

k

k

k k







1

2

1 2 2

k k











Vậy hai đường thẳng cần tìm là y2x1và

y x