D03 tìm m để hàm số, đồ thị hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện muc do 3

Tìm tất cả các giá trị của mđể đồ thị C có ba điểm cực trị A B C, , sao cho H là trực tâm của tam giác ABC... Tìm các giá trị của m5 để hàm số có cực tiểu?. Khi đó hàm số có cực tiểu kh

Câu 1 [DS12.C1.2.E03.c] Cho hàm số y=x4- 8mx2+16m2- m+1(với mlà tham số thực) có đồ thị

( )C và điểm H( )0;1 Tìm tất cả các giá trị của mđể đồ thị ( )C có ba điểm cực trị A B C, , sao cho

H là trực tâm của tam giác ABC.

Lời giải

Tập xác định: D= ¡

Ta có: y'=4x3- 16mx=4 (x x2- 4 )m

2

2

0

4

x

é = ê

Đồ thị ( )C có ba điểm cực trị khi và chỉ khi m>0 (1)

Giả sử các điểm cực trị là A(0;16m2- m+1)

, B(2 m;1- m)

, C(- 2 m;1- m)

Ta có: uuurAH =(0;m- 16m2),uuurBC= -( 4 m;0)

(2 ; ), (2 ; 16 2)

CHuuur= m m ABuuur= m - m

Do H( )0;1 là trực tâm của tam giác ABCnên:

3

AH BC

ì

uuur uuur

uuur uuur

2

0 0

1 1

2

2

m m

m m

m

é

ê = ê

ê = ê

Kết hợp với điều kiện (1)ta có:

1 2

m=

Vậy giá trị mcần tìm là:

1 2

m=

Câu 1 [DS12.C1.2.E03.c] (HSG Toán 12 - Lâm Đồng năm 1819) Tìm tất cả các giá trị của tham số m

để hàm số yx33x23m21x 3m21

có hai điểm cực trị x , 1 x thỏa 2 x14x2  0

Lời giải

Tập xác định: D 

y  x  x m 

1

0

1

y

 



 Hàm số có hai điểm cực trị  y có hai nghiệm phân biệt 0  m0

+) TH1:

1 2

1 1

 





 



3

(TM)

+) TH2:

1 2

1 1

 





 

Khi đó x14x2 0 1 4 1  0 5

3

(TM)

Vậy

5 3

m 

là các giá trị cần tìm

Câu 1 [DS12.C1.2.E03.c] Cho hàm số y2x 2 m x2 4x  với m là tham số Tìm các giá trị của m5

để hàm số có cực tiểu?

Lời giải

Hàm số xác định trên 

2

x



  

 

2

2 2

2

x





m



m





Với m  ta thấy dấu của 0 y chỉ phụ thuộc vào m nên để hàm số có cực tiểu tại điểm x thì0

 0 0

y x   m Khi đó hàm số có cực tiểu khi phương trình 0 y 0có nghiệm

Ta có: y  0 2 x2 4x 5 m x.  2  2 x 22 1 m x.  2  *

Vì m 0 x 2 0 Đặt t x  2phương trình  * trở thành:

2

0

t







2 2

0 1 4

t t m







 





4 0

2

m m

m





 Kết hợp với điều kiện m  ta được 0 m   2

2

x

2

2

1

2

m

x

Vì m 0 x Xét hàm 2  

2

2

g

x

 

 

 

2 2

2

2

x

x

g x

x







 



 2 2

2

0



Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có m   2

Câu 1 [DS12.C1.2.E03.c] (HSG LỚP 12 - SỞ BẮC GIANG- 2016-2017)Tìm các giá trị của tham số m

để đồ thị hàm số f x( )x3(m2 3)x m 2m 2có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng

1 2 2

Lời giải

Ta có y 3x2m2 3 Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì

2

Giả sử A x y , ( ; )1 1 B x y là hai điểm cực trị ( ;2 2)

Tính được hệ số góc của đường thẳng ABlà

2

3



Hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng

1 2 2

suy ra 2

Thử lại thấy m 0thỏa mãn

Câu 1 [DS12.C1.2.E03.c] (HSG Toán 12 – Bình Phước năm 1819) Cho hàm số

y x   m x m C Tìm tất cả giá trị mđể đồ thị C m

có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác

có diện tích lớn nhất

Lời giải

Ta có y' 4 x3 4(1 m x2) 4 (x x2 1 m2)

Để hàm số có ba cực trị thì 1 m2  0 m ( 1;1) (1)

2

Ba điểm cực trị là: A(0;m1), ( 1B  m2;m42m2m C), ( 1 m2;m42m2m)

Tam giác ABC cân tại A

Gọi I là trung điểm của BC Khi đó I(0;m42m2m),

AI  m  m  m  m  BC  m

Diện tích tam giác ABC là: S ABC  (1 m2 2) 1 m2    1, m ( 1;1)

Do đó: MaxS ABC  khi 1 m 0 (2).

Từ (1) và (2) ta có m  thỏa bài toán.0

Câu 1 [DS12.C1.2.E03.c] (HSG 12 Bình Thuận 18-19) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ

thị hàm số y x 3 3x2  3mx m có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục hoành

Lời giải

Tập xác định D 

Đạo hàm của hàm số là y' 3 x2 6x 3m

Yêu cầu bài toán Phương trình ' 0y  có hai nghiệm phân biệt x , 1 x thỏa mãn 2 y x y x    1 2 0 Phương trình y  có hai nghiệm phân biệt 10  m 0 m  (*).1

Khi đó đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị là A x y 1; 1, B x y 2; 2

3 3

x

Do đó y1 y x 1 2m1x1

, y2 y x 2 2m1x2

   1 2 0 4 12 1 2 0

1 2 0 0 0

Kết hợp với điều kiện (*) ta có m  thỏa mãn bài toán.0

Câu 1 [DS11.C3.3.E02.c] (HSG 12 Bình Thuận 18-19)Tìm số hạng tổng quát của dãy số   un

biết u12

và u n12u n5,   n *.

Lời giải

*,

n

   ta có u n1 2u n 5 u n1 5 2u n5

Đặt w n u n5,   n *.

Khi đó w n12 ,w n   n *

Do đó w n

là cấp số nhân có w1    công bội u1 5 7, q 2

n

Vậy u n 7.2n1 5, n *.

Câu 1 [DS12.C1.2.E03.c] Cho hàm số yf x 

có đạo hàm

   2018 2 1  2 

3

8

có đúng 3điểm cực trị sao cho x12x22x32 50,trong đó x ,1 x ,2 x là hoành độ của ba cực trị đó.3

Lời giải Cách 1.

Ta có

 

3

2

x

x









 

 Trong đó,x 3 là nghiệm bội chẵn

Xét hàm g x f x 2 8x m 

có g x   2x 8 f x 2 8x m 

.Khi đó,

 

 

2 2

2 2

4 4

0

x x

g x



















Ta xét hàm h x  x2 8x

.Hàm số này có bảng biến thiên như sau

Nếu 3 m 16 m19thì các phương trình  1 , 2 , 3 đều vô nghiệm.Do đó,hàm số g x chỉ có

một cực trị

Nếu 2 m16 3  m18m19thì phương trình  1

có 2 nghiệm bội chẵn hoặc nghiệm kép,phương trình  2

vô nghiệm hoặc có nghiệm kép,phương trình  3

vô nghiệm.Do đó,hàm số g x 

chỉ

có một cực trị

Nếu m16 2  m16m18thì phương trình  1 có 2 nghiệm bội chẵn,phương trình  2 có 2 nghiệm bội lẻ,phương trình  3 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.Do đó,hàm số g x có ba cực trị.Khi

đó,giả sử x  thì 1 4 x ,2 x là hai nghiệm của phương trình 3  2 thỏa mãn điều kiện

 2

Kết hợp với định lý Vi-et ta có 64 2 m 2 34 m17

(thỏa điều kiện 16m18)

Nếu m 16 m16thì phương trình  1

có 2 nghiệm bội chẵn,phương trình  2

có 2 nghiệm đơn,phương trình  3

có 5nghiệm đơn.Do đó,hàm số g x 

không thỏa mãn có ba cực trị

Vậy m 17là giá trị cần tìm

Cách 2.

Xét hàm g x f x 2 8x m 

có

   2 2018 2 2 16 2 2 8 1  2 2  2 

3

Dấu của g x 

cùng dấu với 2x 8x2 8x m 2 2x2 8x m 

Ta có

Ta xét hàm h x  x2 8x

.Hàm số này có bảng biến thiên như sau

Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi m16 2  m16m18.Khi đó,giả sử x  thì 1 4 x ,2 x là hai3 nghiệm của phương trình x2 8x 2 mthỏa mãn điều kiện

 2

Kết hợp với định lý Vi-et ta có 64 2 m 2 34 m17

(thỏa điều kiện 16m18)

Vậy m 17là giá trị cần tìm

Câu 1 [DS12.C1.2.E03.c] (HSG 12 Cần Thơ 2017 - 2018)

Cho hàm số y=1x3- 1(m+4)x2- (2m2- 5m- 3)x+2m- 1

của mđể hàm số đã cho có hai điểm cực trị x x1, 2sao cho x x1, 2lần lượt là độ dài hai cạnh liên tiếp của một hình chữ nhật có đường chéo nhỏ nhất

Lời giải

TXĐ D = ¡

Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y¢= 0có hai nghiệm phân biệt

( ) ( )

D ³ 0 m+42- 4 2- m2+5m+ >3 0

9m2- 12m+ >4 0 3m- 22>0 m¹ 2

3

Khi đó nghiệm của y¢= 0là x=2m+1;x=- m+3

Theo giả thiết x x1, 2lần lượt là độ dài hai cạnh liên tiếp của một hình chữ nhật nên



m

m m

íï- + >

ïî

3

Đường chéo của hình chữ nhật là p= x2+x2= m2- m+

ç

2

5

5 khi và chỉ khi m = .

1 5

So với điều kiện, m =

1

5là giá trị cần tìm.

Câu 1 [DS12.C1.2.E03.c] Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số f x( )x3(m2 3)x m 2m 2

có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng

1 2 2

y x

Lời giải

Ta có y' 3 x2m2 3 Để hàm số cực đại và cực tiểu thì m2 3 0 | |m  3

Giả sử A x y B x y là hai điểm cực trị.( ; ),1 1 ( ; )2 2

Suy ra hệ số góc của đường thẳng ABlà

2

3

k

Hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng

1 2 2

y x

, suy ra 2

Thử lại m  thỏa mãn.0

Câu 1 [DS12.C1.2.E03.c] Cho hàm số y x 3 3mx24m2 2có đồ thị C mvà điểm C1; 4  Tìm m để

đồ thị hàm số C mcó hai điểm cực trị ,A B sao cho diện tích tam giác ABC bằng 4.

Lời giải

Tập xác định: D 

Ta có

2

x





+) Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị  y có hai nghiệm phân biệt 0  m (*).0

+) Gọi A0; 4m2 2 , B m2 ; 4 m34m2 2

là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số C m.

 phương trình đường thẳng AB:

2

3

x

2

4

m

m

Ta có  

2 4

4

ABC

m

m





3 2

3

m m

TH1:

1

m

m





TH2:

1

m

m





Vậy có 4 giá trị của tham số m cần tìm là m1;m2

Câu 1 [DS12.C1.2.E03.c] (HSG lớp 12 SGD Hà Nam NH 18 – 19) Cho hàm số

y mx  mx  m x  m  1 , với m là tham số thực Tìm tất cả các giá trị của tham số

1 15

;

2 4

thẳng AB đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải

TXĐ: D 

Ta có: y 3mx2  6mx2m1

Hàm số  1 có 2 điểm cực trị  PT: y  có 2 nghiệm phân biệt 0

0 0

m 



 

0

m





 

 0

1

m m





Ta có:

Khi đó đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị A và B của đồ thị hàm số  1 là

 : 2 1 10

m

     2m1x3y m 10 0

Giả sử đường thẳng   luôn đi qua điểm M x y 0; 0

cố định với mọi giá trị của m

Suy ra: 2m1 x03y0m10 0, m  m x2 01 2x03y010 0, m

0

1

2





1

;3 2

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên  như hình vẽ

I

M

Khi đó: d I ,  IH IM

Do đó d I  ,  lớn nhất khi H M  IM    IM u  .  0 3 31  0

3

m

3

4

)

Nhận xét: (Lê Thanh Bình)

Xử lý bài toán khoảng cách từ

1 15

;

2 4

  đến đường thẳng AB: 2m1x3y m 10 0 bằng đại

số như sau: Ta có

;

d I AB

Đặt t2m1ta được

2

3

4

;

4

t

d I AB



Đẳng thức xảy ra

3

3 1 4

t

(thỏa mãn  * ).

Câu 1 [DS12.C1.2.E03.c] (HSG toán 12 Đồng Nai năm học 2017-2018) Cho hàm số

, mlà tham số Định mđể đồ thị  C

có ba điểm cực trị ,A B C và,

tam giác ABC là tam giác đều.

Lời giải

Để hàm số có 3 cực trị  ab  0 2m1 0 m1 * 

Xét y' 4 x3 4m1x

2

0

1

x











Do ABC luôn cân tại A nên ABC đều khi AB2BC2

3

1 (loai)

m

m





 



Câu 1 [DS12.C1.2.E03.c] (HSG12 Đồng Tháp 2016-2017)Cho hàm số y x 4 2m x2 2m4mcó đồ thị

C m

, m là tham số Với những giá trị nào của m thì đồ thị C m

có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị

đó lập thành một tam giác có diện tích bằng 32

Lời giải

Ta có y 4x3 4m x2 4x x 2 m2

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi m 2 0 m0 

Gọi các điểm cực trị của đồ thị C m

là: A0;m4m

, B m m ; 

, Cm m; 

Gọi H là trung điểm BC  H0;m

Vì tam giác ABC cân tại A nên AH là đường cao của tam giác ABC

Ta có AH m4; BC 2 m;

1 2

ABC

Theo giả thiết SABC 32  m m4 32  m 2

Kết hợp với điều kiện   , ta được giá trị m cần tìm là m  2

Câu 1 [DS12.C1.2.E03.c] (HSG 12 Bình Thuận 18-19) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ

thị hàm số y x 3 3x2  3mx m có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục hoành

Lời giải

Tập xác định D 

Đạo hàm của hàm số là y' 3 x2 6x 3m

Yêu cầu bài toán  Phương trình ' 0y  có hai nghiệm phân biệt x , 1 x thỏa mãn 2 y x y x    1 2 0 Phương trình y  có hai nghiệm phân biệt 10  m 0 m  (*).1

Khi đó đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị là A x y 1; 1

, B x y 2; 2

3 3

x

Do đó y1y x 1 2m1x1, y2 y x 2 2m1x2

   1 2 0 4 12 1 2 0

Kết hợp với điều kiện (*) ta có m  thỏa mãn bài toán.0

Câu 1 [DS12.C1.2.E03.c] (SỞ GD-ĐT HẢI PHÒNG) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm

số

2

Lời giải

2

x



+) Ta có: Hàm số có đạo hàm liên tục trên nên hàm số có cực tiểu thì phương trình

' 0

+) Xét phương trình

2

2

x



Đặt

2

2

x

4



ta có xlim ( )g x 2; lim ( ) 2x g x

, từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số y g x  

như sau

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình y ' 0có nghiệm khi và chỉ m    ( ; 2) (2; )

+) Trường hợp 1: m 2

Phương trình y ' 0có nghiệm duy nhất x , khi đó ta có: 0 xlim ' 2y m 0; lim ' 2x y m 0

nên

ta có bảng biến thiên của hàm số có dạng

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số có cực tiểu

+) Trường hợp 2: m   suy luận tương tự ta suy ra hàm số chỉ có cực đại, không thỏa mãn.2

Câu 1 [DS12.C1.2.E03.c] (HSG LÂM ĐỒNG 18-19) Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể hàm số

có hai điểm cực trị x x thỏa mãn 1; 2 x14x2 0

Lời giải

Ta có y'3x26x3m21

Để hàm số có hai điểm cực trị thì ' 0y  có hai nghiệm phân biệt

2

0

m

Áp dụng định lý Vi-et ta có:

2

1 2

2 1





 

2

2

1

1

Vậy

5 3

m 

Câu 1 [DS12.C1.2.E03.c] (Đề HSG K12 Đồng Nai 2018-2019) Cho hàm số

nằm về hai phía của trục tung

Lời giải

Đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung khi y  có hai nghiệm trái0 dấu

2

 x  m x m

có hai nghiệm trái dấu  m0.

Câu 1 [DS12.C1.2.E03.c] (HSG QUẢNG NINH 18-19)Cho hàm sốy x 4 2mx22m  với m là 1

tham số Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị là 3 đỉnh của một

tam giác vuông

Lời giải

 2  4

y  x x  m

 2 

2

0









Để hàm số có ba điểm cực trị thì y 0có ba nghiệm phân biệt tức là m  0

Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là

 ; m2 2 1 , 0; 2 1 ,  ; 2 2 1

Vì hàm số đã cho là hàm số chẵn nên tam giác ABC cân tại B Oy A C ; , đối xứng nhau qua trục

Oy Nên để tam giác ABC là tam giác vuông thì tam giác ABC vuông và cân tại B.

Khi đó

2

0

m

m







Kết luận m  1

Câu 1 [DS12.C1.2.E03.c] Cho hàm số y x 3 3mx24m2 2có đồ thị là C m

Tìm m để đồ thị hàm số

C m

có hai điểm cực trị A B, sao cho diện tích tam giác ABC bằng 4, với C1; 4

Lời giải

Cho hàm số y x 3 3mx24m2 2có đồ thị là C m

Tìm m để đồ thị hàm số C m

có hai điểm cực trị A B, sao cho diện tích tam giác ABC bằng 4, với C1; 4

TXĐ: D 

Đạo hàm y 3x2 6mx

0

y   3x2  6mx0

0 2

x







Đồ thị có hai điểm cực trị khi y 0có hai nghiệm phân biệt, khi m 0

Tọa độ hai điểm cực trị là A0; 4m 2 2

; B m2 ; 4 m34m2 2

Ta có AB2 ; 4m  m3

Phương trình đường thẳng AB là: 2m x y2   4m2 2 0

2 4

6 2 ,

1 4

m

d C AB

m





Suy ra, diện tích tam giác ABC là: 1  ,  6 2 3

2

Từ giả thiết suy ra:

3

6m 2m 4

1 2

m m







Câu 1 [DS12.C1.2.E03.c] (HSG HƯNG YÊN 18-19) Cho hàm số y2x 2 m x2 4x với m là5

tham số Tìm các giá trị của m để hàm số có cực tiểu

Lời giải

Xét y2x 2 m x2 4x5

TXĐ: 

 

2

2

m x



 +) Hàm số có cực tiểu thì trước hết phương trình y ' 0có nghiệm

2

2

x



2

2

g x

x





 

 

 

2 2

2

x





BBT:

Từ bảng biến thiên ta có phương trình (*) có nghiệm

2 2

m m





+)

 

2 2

2

2

x

m





Với m 2 y'' 0 : Hàm số không có cực tiểu

Với m 2 y'' 0 : Hàm số có cực tiểu

Vậy m   thì hàm số có cực tiểu.2

Câu 1 [DS12.C1.2.E03.c] Cho hàm số y x 42m1x2m2m  , với m là tham số Tìm các giá trị1

của m để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác đều.

Lời giải

Hàm số y xác định với mọi x   và y' 4 x34m1x4x x 2m1

0 ' 0

1

x y





  

 Hàm số có 3 điểm cực trị   m1 0 m  (*).1

Với điều kiện (*) thì đồ thị hàm số đã cho có 3 điểm cực trị là

0; 2 1

A m m

, B m1;m 2

, C m1;m 2

Ta có

 14  1





Do đó để tam giác ABC đều thì AB BC  m143m1 0  m 1 33

Vậy với m  1 33thì đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác đều

Câu 1 [DS12.C1.2.E03.c] (HSG BÀ RỊA VŨ TÀU 17-18) Cho hàm số

1

3

với m là tham số Tìm tất cả giá trị của m để hàm số đã

cho có hai điểm cực trị x ; 1 x thỏa mãn 2 x1 2 x2

Lời giải

Ta có y x22m 2x5m4

Hàm số đã cho có hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y  có hai nghiệm phân biệt0

m 22 5m 4 0



9 0

m m





Với điều kiện  *

ta có: x1 2 x2 2 x1 x2 2 0  2x1x2 2x x1 2 4 0  1

Theo Viet x1x2 2m 2, x x1 2 5m 4

Do đó  1  4 2  m  5m4 4 0  m Kết hợp với điều kiện 0  *

ta có m  0