D03 tìm m để hàm số, đồ thị hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện muc do 2

Tìm m để C mcó ba điểm cực trị tạo thành tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm.. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục tung.

Câu 1 [DS12.C1.2.E03.b] Cho hàm số y x 42m 4x2m5có đồ thị C m Tìm m để C mcó ba

điểm cực trị tạo thành tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm.

Lời giải

TXĐ: D 

Ta có:

3

2

0

4

x





 

Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị  y' 0 có 3 nghiệm phân biệt m 4

Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là

0; 5

A m  , B 4 m m; 29m11

, C 4 m m; 29m11

Vì O là trọng tâm tam giác ABC nên ta có

 

 

2

1

2







 

Vậy m  1

Câu 1 [DS12.C1.2.E03.b] (HSG Toán 12 – Cần Thơ năm 1819) Cho hàm số

y x  mx  m  m m  có đồ thị ( )C và điểm H(0;1) Tìm tất cả các giá trị của mđể

đồ thị ( )C có 3 cực trị là A B C, , sao cho Hlà trực tâm tam giác ABC.

Lời giải

TXĐ: D ,

2

0

4

x









Để đồ thị ( )C có 3 điểm cực trị thì m 0.

Không mất tính tổng quát, giả sử các điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

0;16 2 1 ,  2 ;1 ,  2 ;1 

Ta có : AH 0;m16m2 ; BC  4 m;0 ;  CH 2 m m; ; AB2 m; 16 m2

Điểm Hlà trực tâm tam giác ABCkhi

2 2

AH BC





 

 

3

0

2

m

m







 

 Kết hợp với điều kiện m 0tìm được

1 2

m 

Vậy

1 2

m 

là giá trị cần tìm

Câu 1 [DS12.C1.2.E03.b](HSG 12 ĐỒNG NAI 2018-2019) Cho hàm số y2x3 3m3x218mx8

, trong đó m là tham số thực Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm

về hai phía đối với trục tung

Lời giải

* Để hàm số đã cho có hai điểm cực trị điều kiện là phương trình y 0có hai nghiệm phân biệt

2

0 m 6m 9 0 m 3



        

* Với m  phương trình 3 y 0có hai nghiệm phân biệt là

1 2

3

x









 Để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục tung điều kiện là x x1 2  0 m 0

Kết hợp các điều kiện ta được m  0

Câu 1 [DS12.C1.2.E03.b] [HSG-12-HƯNG YÊN-18-19] Cho hàm số y2x 2 m x2 4x  với m là5

tham số Tìm các giá trị của m để hàm số có cực tiểu?

Lời giải

Hàm số xác định trên 

2

2

4 5

x



  

 

2

2 2

2

4 5

4 5

x



 



 

m



     2 4 532

m





  Nếu m  thì 0 y  nên hàm số không có cực trị.2

Với m  ta thấy dấu của ychỉ phụ thuộc vào m nên để hàm số có cực tiểu tại điểm 0 x thì0

 0 0

y x   m Khi đó hàm số có cực tiểu khi phương trình 0 y  có nghiệm.0

Ta có: y  0 2 x2 4x 5 m x.  2  2 x 22 1 m x.  2  *

Vì m 0 x 2 0 Đặt t x 2phương trình  * trở thành:

2

0

t







2 2

0 1 4

t t m







 









4 0

2

m m

m





      

 Kết hợp với điều kiện m  ta được 0 m   2

2

4 5

x

   1

2

x  không là nghiệm của phương trình  1 Do đó  

2

1

2

m

x

 

  2

Vì m 0 x Xét hàm 2  

2

2

g

x

 với x  2

 

2 2

2

2 4

4 5

2

x

x

g x

x









2

0



với x  2

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có m   2

Câu 1 [DS12.C1.2.E03.b] (HSG LỚP 12 - SỞ BẮC GIANG- 2016-2017)Tìm các giá trị của tham số m

để đồ thị hàm số f x( )x3(m2 3)x m 2m 2cĩ hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường

thẳng

1 2 2

y x

Lời giải

Ta cĩ y 3x2m2 3 Để hàm số cĩ cực đại và cực tiểu thì m2 3 0  m 3

Giả sử A x y , ( ; )1 1 B x y là hai điểm cực trị ( ;2 2)

Tính được hệ số gĩc của đường thẳng ABlà

2

( ) ( ) 2

( 3) 3

f x f x

x x



Hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng

1 2 2

y x

suy ra

2

Thử lại thấy m 0thỏa mãn

Câu 1 [DS12.C1.2.E03.b] (HSG 12 –Đồng Nai - 2018)Cho hàm số y x 4 2m1x22018 C

, m

là tham số

Định m để đồ thị  C

cĩ ba điểm cực trị , ,A B C và tam giác ABC là tam giác đều.

Lời giải

Để hàm số cĩ 3 cực trị  ab  0 2m1 0 m1 * 

Xét y' 4 x3 4m1x

2

0

1

x







          



 



Do ABC luơn cân tại A nên ABC đều khi AB2 BC2

 1  14 4 1  13 3 1 ( 3 )

1 3 (thỏa (*))

m loại

m





 



Câu 1 [DS12.C1.3.E06.c] (HSG 12 –Đồng Nai - 2018) Cho hàm số 2 3 

2

x

x





 Tìm tọa độ điểm

 

M H

sao cho khoảng cách từ M đến  d :y7x20

là nhỏ nhất

Lời giải

Do M H

nên

7

; 2

2

M x

x





  x 2

và  d : 7x y  20 0

Nên

;

d M d

Xét   7 18 7  2

2

x

 GTNN của d M d ; 

là GTNN của

  50

f x

 

 2

7

2

f x

x



2 2

1

3 2

x x

f x

x x



Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có f x 

đạt GTNN tại x  (thỏa 3 x  )2 Vậy ta có M3;9