10 2 gt12 ciii b1 nguyên hàm hdg

Chú ý: Người ta chứng minh được rằng: “Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K”... Khẳng định nào dưới đây đúng?A... Khẳng định nào dưới đây đúng?. Khẳng định nào dưới đây đú

CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

trên K.

b Đảo lại nếu F x G x ,  

là hai nguyên hàm của f x 

trên Kthì tồn tại một hằng số C sao

cho F x G x C

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x ký hiệu là f x  F x C.

Chú ý: Người ta chứng minh được rằng: “Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K”

5) Công thức đổi biến số

f u x u x x F u x[  ]  d  [  ]C.

6) Bảng nguyên hàm và vi phân của những hàm số thường gặp

a

5) sin d x x cosx C 5) sin d u u cosu C 5) sin(ax b x)d 1cos(ax b) C

a

2

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

Phương pháp đổi biến số được sử dụng khá phổ biến trong việc tính các tích phân bất định Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa trên định lý sau:

a) Nếu: f x( )F x( )C và với u x là hàm số có đạo hàm thì: f u du F u( )  ( )C

b) Nếu hàm số f(x) liên tục thì đặt x t Trong đó  t cùng với đạo hàm của nó (' t 

là những hàm số liên tục ) thì ta được: f x dx( ) f  t ' t dt g t dt G t( )  ( )C.

 Bước 1: Chọn t = f x dx g( )   x ' x dx g t dt ( )

Bước 4: Khi đó:

x đi kèm biểu thức theo ln x

6 f sin cos dx x x tsinx cos dx x đi kèm biểu thức theo sin x

7 f cos sin dx x x tcosx sin dx x đi kèm biểu thức theo cos x

e x đi kèm biểu thức theo e ax

Đôi khi thay cách đặt t t x   bởi t m t x  n ta sẽ biến đổi dễ dàng hơn

PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

Cho hai hàm số u và v liên tục trên đoạn a b; 

và có đạo hàm liên tục trên đoạn a b; 

.Khi đó:u v uvd   v ud  *

Để tính nguyên hàm f x x d bằng từng phần ta làm như sau:

Bước 1 Chọn u v, sao cho f x x u v d  d (chú ý dv v x x ' d )

d xd

x u

Câu 1: (MĐ 101-2022) Chof x x d  c so x C Khẳng định nào dưới đây đúng?

A f x   sinx B f x  cosx C f x  sinx D f x  cosx

Lời giải Chọn C

Ta có sinx xd  c so x C . Vậy f x  sin x

Ta có: f  x dx ex2 dx xexx2C.

Câu 3: (MĐ 101-2022) Cho hàm số   2

11cos 2

Có: f x dx   e x2x dx e xx2C.

Câu 5: (MĐ 102-2022) Cho f x x( )d  cosx C Khẳng định nào dưới đây đúng?

A f x( ) sinx B f x( ) cos x C f x( ) sin x D f x( ) cosx

Lời giải Chọn C

Câu 9: (MĐ 103-2022) Cho hàm số f x    1 e2x Khẳng định nào sau đây đúng?

f x

x



Lời giải Chọn C

Câu 12: (MĐ 104-2022) Cho hàm số f x   1 e2x Khẳng định nào dưới đây đúng?

x

f x dx x  e C

Lời giải Chọn D

Câu 14: (TK 2020-2021) Cho hàm số f x  cos 2 x

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Câu 22: (MĐ 101 2020-2021 – ĐỢT 2) Cho hàm số f x   4 cosx

Khẳng định nào dưới đây đúng?

Câu 27: (MĐ 104 2020-2021 – ĐỢT 2) Cho hàm số f x  4x3 4 Khẳng định nào dưới đây đúng?

nên hàm số f x  liên tục tại x  1

Suy ra hàm số f x  liên tục trên .

Do đó hàm số F x  liên tục trên  nên hàm số F x  liên tục tại x 1.

Suy ra lim ( ) lim ( )1 1 (1) 5 4 1 1 1

Câu 30: (MĐ 103 2020-2021 – ĐỢT 2) Cho hàm số yf x , liên tục trên 1;6 và có đồ thị là

đường gấp khúc ABC trong hình bên.Biết F x( ) là nguyên hàm của f x( ) thoả mãn( 1) 1

Câu 31: (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Hàm số ( )F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên

khoảng K nếu

A F x'( ) f x( ), x K B f x'( )F x( ), x K.

C F x'( )f x( ), x K D f x'( ) F x( ), x K

Lời giải Chọn C

Theo định nghĩa thì hàm số ( )F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên khoảng K nếu

Câu 33: (Mã 102 - 2020 Lần 1) Họ nguyên hàm của hàm số f x  x3 là

Ta có

4

3d4

Câu 36: (Mã 101- 2020 Lần 2)

4

5x dx

 bằng

Câu 41: (Mã 104 - 2019) Họ tất cả nguyên hàm của hàm số f x  2x4 là

A x2C B 2x2C C 2x24x C D x24x C

Lời giải Chọn D

Ta có f x dx   2x4dx x 24x C .

Câu 42: (Mã 102 - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x  2x là6

A x2C B x26x C C 2x2C D 2x26x C

Lời giải Chọn B

Câu 45: (Mã 101 2018) Nguyên hàm của hàm số f x  x3 làx

A x23x C B 2x23x C C x2C D 2x2C.

Lời giải Chọn A

1 2

1

21

2 1 2 13

Ta có

3 2

2

d3

Câu 52: (Đề Tham Khảo 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x  e x làx

A e x 1 C B e xx2C C

2

12

Câu 53: (Mã 101 - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x( ) 2 x5 là

A x2C B x25x C C 2x25x C D 2x2C

Lời giải Chọn B

Câu 58: (Mã 105 2017) Cho F x là một nguyên hàm của hàm số   f x( )e x2x thỏa mãn   

302

F

.Tìm F x  

A     

2 12

x

F x e x

B     

2 52

x

F x e x

C     

2 32

x

F x e x

D     

2 12

2

x

Lời giải Chọn A

Có F x f x x d  sinxcosx xd  cosxsinx C

A 2e x2x2C B

1

.2

Ta có: F x e x  2x2

là một nguyên hàm của hàm số f x 

trên Suy ra:

x

e  x C

Lời giải Chọn A

Trên khoảng 1;  thì x  1 0nên

là

A  

2 3ln 2

là

A  

2 2ln 1

3 3 2 3( 1) 2 3 2( )

Đặt x  2 t x t  1 dx dt với t 0

 



22

x

C x

x x

C x







Lời giải Chọn B

 



11

x

C x

 



11

x

C x







Lời giải Chọn D

Vậy g x dx( ) (x1) ( )f x  f x dx( ) 2 2

( 1)( )





 B 2

44

x

C x

 



Lời giải Chọn B

C x



 



Câu 74: (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hàm số f x 

liên tục trên  Biết cos 2x là một nguyên

hàm của hàm số f x ex

, họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x ex

là:

A  sin 2xcos 2x C B 2sin 2xcos 2x C

C 2sin 2x cos 2x C D 2sin 2x cos 2x C

Lời giải Chọn C

Do cos 2x là một nguyên hàm của hàm số f x ex

nên f x ex cos 2x f x ex 2sin 2x

Ta có f x  4 1 lnx  x F x  4 1 lnx  x dx 

Ta có:

 

2

1d2

f x x

A f x e  2xdx4 2 x e xC B f x e  2xdxx 2e xC

C   2 2

d2

Theo đề bài ta có f x e  d2x xx1e xC, suy ra f x e . 2x x1e xe xx1  e x



B

140



C

41400



D

110



Lời giải Chọn D