27 hsg9 hai phong 22 23

Kẻ đường cao AH AB AC a Chứng minh tứ giác BCQP nội tiếp.. b Hai đường thẳng PQ và BC cắt nhau tại M, đường thẳng AM cắt đường tròn  O tại điểm thứ hai là K K khác A.. c Gọi I là tâm

TP Hải Phòng

.

a) Rút gọn biểu thức

2

4 :

A

b

b) Chứng minh rằng

    (trong đó biểu thức chứa căn có 2023 dấu căn ở tử số và 2022 dấu căn ở mẫu số)

a) Cho phương trình x2 4m1x4m2  (với m là tham số ) 1 0

Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x thoả mãn điều kiện 1, 2 x  và 1 0 x1 x2

b) Giải hệ phương trình

1

1

x

x y y

x y







a) Tìm x nguyên dương để 4x314x29x 6 là số chính phương

b) Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn x z Chứng minh rằng

2 2

2



Câu 4 (3,0 điểm) Cho ABC nhọn không cân tại đỉnh A, nội tiếp đường tròn  O

Kẻ đường cao AH

AB AC

a) Chứng minh tứ giác BCQP nội tiếp

b) Hai đường thẳng PQ và BC cắt nhau tại M, đường thẳng AM cắt đường tròn  O

tại

điểm thứ hai là K ( K khác A ) Chứng minh rằng MH2MK MA

c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCQP. Chứng minh ba điểm I H K, , thẳng hàng

9

Học sinh giỏi

Câu 5 (1,0 điểm) Tìm độ dài nhỏ nhất của cạnh một hình vuông sao cho có thể đặt vào trong nó 5

hình tròn có bán kính bằng 1, biết rằng các hình tròn này đôi một không có quá một điểm chung.1 Ý đầu tiên

-Hết -HƯỚNG DẪN GIẢI

a) Rút gọn biểu thức

2

4 :

A

b

b) Chứng minh rằng

    (trong đó biểu thức chứa căn có 2023 dấu căn ở tử số và 2022 dấu căn ở mẫu số)

Lời giải

a) Với a b ta có 0

2

ç

÷

ç +

A

b

   

2

4 2 2

4





4

4

a

a





b) Đặt

và a  6 6   6 (Với 2023 dấu căn)

suy ra a  2 6 6 6   6 (Với 2022 dấu căn)

1 3

a A

a a





Ta có a  6 6   6 3 (Với 2023 dấu căn)

 

6 3

a

a



a

a

Từ  2

và  3

suy ra

6A27

a) Cho phương trình x2 4m1x4m2  (với m là tham số ) 1 0

Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x thoả mãn điều kiện 1, 2 x  và 1 0 x1 x2

b) Giải hệ phương trình

1

1

x

x y y

x y







Lời giải

a) Giả sử x x là các nghiệm của phương trình đã cho.1, 2

Ta có

0







2 2

1

1

4

m m







 



1 4

m m





 

  



Vậy

b) Giải hệ phương trình

 

1

1

x

x y

I y

x y





 ĐKXĐ: x0,y0, x y 0.

Do đó:

2

x

x y



Do x+ y >0 nên từ (2) suy ra

0

2 x  2 y 

Nhân vế với vế của (1) và (2) ta có:

   

9







  



Vì x0, y0 nên x9y (không thoả mãn)

Với x ta có y

Ta thấy x y ;  1;1

thoả mãn hệ phương trình  I Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y ;  1;1 

a) Tìm x nguyên dương để 4x314x29x 6 là số chính phương

b) Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn x z Chứng minh rằng

2 2

2



Lời giải

a) Vì 4x314x29x 6 là số chính phương, nên ta có 4x314x29x 6k2 với k N *

Ta có 4x314x29x 6  x2 4  x26x 3

Đặt x2 4  x26x 3 k2

Gọi x2, 4x26x 3 d

với d *

Ta có x2, 4x26x 3d

Ta lại có 4x26x 3d 4x26x 3  4x26x 4d 1d d 1

Vậy x2, 4x26x 3 1

mà x2 4  x26x 3 k2

nên ta có x  và 2 4x26x 3 là số chính phương

Cách 1:

Đặt x 2 a2 và 4x26x 3b2 với a b N,  *

Vì x nguyên dương nên ta có

4x b 4x 12x 9 2x b  2x3

Vì b lẻ nên b 2x1  4x 6x 3 4 x 4x 1 x2.

Với x  ta có 2 4x314x29x 6 100 10  2 là số chính phương

Cách 2

Vì 4x26x 3là số chính phương, đặt 4x26x 3b b N2(  *)

Vì 4x 3 2b4x 3 2b; 4x 3 2b với mọi x, b nguyên dương nên ta có:9

Với x = 2 ta có x + 2 = 4 cũng là số chính phương

Vậy giá trị x cần tìm là x = 2

b) Với x0,y0,z0 ta có

2 2

2

2

2

1

y

yz





1 2



2 x; 2 y; 2 z

và

Ta có

2



Do đó

 

2

1 1

c



Đẳng thức xảy ra khi a b .

Khi đó

2

3

1

c

c

c





Từ  1

và  2

suy ra điều phải chứng minh Dấu “=” xảy ra khi x y z

Câu 4 (3,0 điểm) Cho ABC nhọn không cân tại đỉnh A, nội tiếp đường tròn  O

Kẻ đường cao AH

AB AC

a) Chứng minh tứ giác BCQP nội tiếp

b) Hai đường thẳng PQ và BC cắt nhau tại M, đường thẳng AM cắt đường tròn  O

tại

điểm thứ hai là K ( K khác A ) Chứng minh rằng MH2MK MA

c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCQP. Chứng minh ba điểm I H K, , thẳng hàng

Lời giải

I J

D

K

M

Q P

H O A

a) APHAQH 900900 1800HPAB HQ, AC

 Tứ giác APHQ nội tiếp

b) MPB MCQ (g.g) MP MQ MB MC  1

MBK

 MAC (g.g) MK MB MK MA MB MC  2

Ta có BHP BAH (cùng phụ AHP)

BAH PQH (hai góc nội tiếp cùng chắnHP)

 MHP MQH (g.g) 

Từ    1 , 2

và  3

suy ra MH2 MK MA

c) Vẽ đường kính AD của đường tròn  O

 ABD 90 0

Ta có DAC AQP  = DBC ABC  = ABD 900  ADPQ

MKH

 MHA (c.g.c)  MKH MHA  90 0

 K thuộc đường tròn đường kính AH và HK AM  4

Gọi J là trung điểm của AH Ta có J là tâm của đường tròn đi qua 5 điểm . A K P H Q, , , ,

Có  I

và  J

cắt nhau tại P Q,  IJ PQ (tính chất đường nối tâm ) mà ADPQ //

AD IJ

Ta có AO IJ và // AJ OI  Tứ giác AJOI là hình bình hành//

 AJ JH OI mà AH OI  Tứ giác JOIH là hình bình hành//

 IH OJ// .

mà OJ AK ( tính chất đường nối tâm )  IH AM  5

Từ    4 , 5

 I H K, , thẳng hàng

Câu 5 (1,0 điểm) Tìm độ dài nhỏ nhất của cạnh một hình vuông sao cho có thể đặt vào trong nó 5

hình tròn có bán kính bằng 1, biết rằng các hình tròn này đôi một không có quá một điểm chung

Lời giải

Gọi độ dài nhỏ nhất của cạnh một hình vuông ABCD thoả mãn yêu cầu đề bài là x

Từ đây suy ra các tâm của 5 hình tròn này nằm trong hoặc trên cạnh của hình vuông MNPQ

có cạnh bằng x  (như hình vẽ)2

Chia hình vuông MNPQ thành 4 hình vuông nhỏ có độ dài mỗi cạnh là

2 2

x 

Theo nguyên lí Dirichlet có ít nhất hai tâm hình tròn nằm trong hoặc trên cạnh của một hình

vuông nhỏ Giả sử hai tâm đó là I và J

x x-2

1

1

J I

Q

M

P

N

Vì hai hình tròn này có không quá 1 điểm chung trong nên IJ không nhỏ hơn hai lần bán kính

và không lớn hơn độ dài đường chéo của hình vuông cạnh

2 2

x 

Suy ra

2

2

x

2

x



Vậy độ dài nhỏ nhất của cạnh hình vuông cần tìm là 2 2 2

-Hết -Quy định khi gõ lời giải:

1 Phông chữ:Times New Roman, cỡ chữ 12

2 Công thức gõ trên mathtype, cỡ chữ 12

3 Hình vẽ được vẽ trên các phần mềm: geogebra; Geometer’s Sketchpad

4 Tên file: stt+ hsg9+ tên tỉnh Ví dụ: 1.hsg9 An Giang.docx